Отрицательное число

В математике отрицательное число является противоположностью (математике) положительного действительного числа . ^[1] Эквивалентно, отрицательное число является действительным числом, которое меньше нуля . Отрицательные числа часто используются для представления величины убытка или дефицита. Долг , который должен быть выплачен, можно рассматривать как отрицательный актив. Если величина, такая как заряд электрона, может иметь один из двух противоположных смыслов, то можно выбрать различие между этими смыслами — возможно, произвольно — как положительный и отрицательный . Отрицательные числа используются для описания значений на шкале, которая идет ниже нуля, такой как шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры. Законы арифметики для отрицательных чисел гарантируют, что здравый смысл идеи противоположности отражается в арифметике. Например, − ‍ ( −3) = 3, потому что противоположность противоположности является исходным значением.

Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус впереди. Например, −3 представляет собой отрицательное количество с величиной три и произносится как «минус три» или «отрицательная тройка». И наоборот, число, которое больше нуля, называется положительным ; ноль обычно ( но не всегда ) не считается ни положительным, ни отрицательным . ^[2] Положительность числа можно подчеркнуть, поставив перед ним знак плюс, например +3. В общем, отрицательность или положительность числа называется его знаком .

Каждое действительное число, отличное от нуля, является либо положительным, либо отрицательным. Неотрицательные целые числа называются натуральными числами (т. е. 0, 1, 2, 3...), а положительные и отрицательные целые числа (вместе с нулем) называются целыми числами . (Некоторые определения натуральных чисел исключают ноль.)

В бухгалтерском учете суммы задолженности часто обозначаются красными цифрами или числом в скобках в качестве альтернативного обозначения для представления отрицательных чисел.

Отрицательные числа использовались в « Девяти главах о математическом искусстве» , которые в своей нынешней форме датируются периодом китайской династии Хань (202 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но вполне могут содержать гораздо более старый материал. ^[3] Лю Хуэй (ок. 3 в.) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. ^[4] К 7 в. индийские математики, такие как Брахмагупта, описывали использование отрицательных чисел. Исламские математики далее разработали правила вычитания и умножения отрицательных чисел и решали задачи с отрицательными коэффициентами . ^[5] До появления концепции отрицательных чисел математики, такие как Диофант, считали отрицательные решения задач «ложными», а уравнения, требующие отрицательных решений, описывались как абсурдные. ^[6] Западные математики, такие как Лейбниц, считали отрицательные числа недействительными, но все равно использовали их в вычислениях. ^[7]^[8]

Введение

Числовая прямая

Связь между отрицательными числами, положительными числами и нулем часто выражается в виде числовой прямой :

Числовая прямая

Числа, которые находятся правее на этой линии, больше, а числа, которые находятся левее, меньше. Таким образом, ноль находится посередине, положительные числа справа, а отрицательные слева.

Обратите внимание, что отрицательное число с большей величиной считается меньшим. Например, хотя (положительное) $8$ больше, чем (положительное) $5$ , записанное

8 > 5

Минус $8$ считается меньше минус $5$ :

-8 < -5.

Подписанные числа

В контексте отрицательных чисел число, большее нуля, называется положительным . Таким образом, каждое действительное число, отличное от нуля, является либо положительным, либо отрицательным, в то время как сам ноль считается не имеющим знака. Положительные числа иногда пишутся со знаком плюс впереди, например, $+3$ обозначает положительную тройку.

Поскольку ноль не является ни положительным, ни отрицательным, термин «неотрицательный» иногда используется для обозначения числа, которое является либо положительным, либо нулевым, в то время как «неположительный» используется для обозначения числа, которое является либо отрицательным, либо нулевым. Ноль — нейтральное число.

В результате вычитания

Отрицательные числа можно рассматривать как результат вычитания большего числа из меньшего. Например, минус три — это результат вычитания трех из нуля:

0 - 3 = -3.

В общем случае вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат, причем величина результата равна разнице между двумя числами. Например,

5 - 8 = -3

так как $8 - 5 = 3$ .

Повседневное использование отрицательных чисел

Спорт

Разница забитых и пропущенных мячей в американском футболе и хоккее ; разница очков в регби ; чистая скорость забитых и пропущенных очков в крикете ; результаты в гольфе относительно номинала .
Плюс-минус разница в хоккее с шайбой : разница в общем количестве забитых голов за команду (+) и против команды (−), когда конкретный игрок находится на льду, является рейтингом игрока +/−. Игроки могут иметь отрицательный (+/−) рейтинг.
Разница очков в бейсболе : разница очков отрицательна, если команда пропускает больше очков, чем набирает.
Клубы могут быть лишены очков за нарушение правил и, таким образом, иметь отрицательный общий счет очков до тех пор, пока они не заработают по крайней мере столько же очков в этом сезоне. ^[9]^[10]
Время круга (или сектора) в Формуле-1 может быть указано как разница по сравнению с предыдущим кругом (или сектором) (например, предыдущим рекордом или кругом, только что пройденным гонщиком впереди), и будет положительным, если медленнее, и отрицательным, если быстрее. ^[11]
В некоторых легкоатлетических дисциплинах, таких как спринтерский бег , барьерный бег , тройной прыжок и прыжки в длину , измеряется и регистрируется ^[12]содействие ветру , которое является положительным при попутном ветре и отрицательным при встречном ветре. ^[13]

Наука

Температуры ниже 0 °C или 0 °F. ^[14]^[15]
Широта к югу от экватора и долгота к западу от нулевого меридиана .
Топографические особенности земной поверхности характеризуются высотой над уровнем моря , которая может быть отрицательной (например, высота поверхности Мертвого моря или Долины Смерти , или высота туннеля под Темзой ).
Электрические цепи . Когда батарея подключена в обратной полярности, говорят, что приложенное напряжение противоположно ее номинальному напряжению. Например, 6-вольтовая батарея, подключенная в обратной полярности, прикладывает напряжение −6 вольт.
Ионы имеют положительный или отрицательный электрический заряд.
Сопротивление АМ-башни вещания, используемой в многобашенных направленных антенных решетках, может быть положительным или отрицательным.

Финансы

Финансовые отчеты могут включать отрицательные остатки, обозначенные либо знаком «минус», либо заключением остатка в скобки. ^[16] Примерами служат овердрафты по банковским счетам и коммерческие убытки (отрицательная прибыль ).
Годовой процентный рост ВВП страны может быть отрицательным, что является одним из показателей рецессии . [ ^17]
Иногда уровень инфляции может быть отрицательным ( дефляция ), что указывает на падение средних цен. ^[18]
Ежедневное изменение цены акций или индекса фондового рынка , например FTSE 100 или Dow Jones .
Отрицательное число в финансах является синонимом «долга» и «дефицита», которые также известны как «нахождение в минусе».
Процентные ставки могут быть отрицательными, ^[19]^[20]^[21] когда кредитору необходимо внести свои деньги.

Другой

Нумерация этажей в здании ниже первого этажа.
При воспроизведении аудиофайла на портативном медиаплеере , например iPod , на экране может отображаться оставшееся время в виде отрицательного числа, которое увеличивается до нуля с той же скоростью, с которой увеличивается от нуля уже воспроизведенное время.
Телевизионные игровые шоу :
- Участники QI часто заканчивают с отрицательным результатом.
- Команды, участвующие в University Challenge, получают отрицательный балл, если их первые ответы неверны и они прерывают вопрос.
- В Jeopardy! отрицательный денежный счет — участники играют за определенную сумму денег, и любой неправильный ответ, который стоит им больше, чем у них есть сейчас, может привести к отрицательному счету.
- В ценовой игре «Купи или продай» от The Price Is Right , если теряется сумма денег, превышающая текущую сумму в банке, это влечет за собой отрицательную оценку.
Изменение поддержки политической партии между выборами, известное как колебание .
Рейтинг одобрения политика . ^[22]
В видеоиграх отрицательное число указывает на потерю жизни, повреждение, штрафные очки или потребление ресурса в зависимости от жанра симуляции.
Сотрудники с гибким графиком работы могут иметь отрицательный баланс в своем табеле учета рабочего времени , если они отработали меньше часов, чем было оговорено в контракте на тот момент. Сотрудники могут взять больше, чем им положено по годовому отпуску в году, и перенести отрицательный баланс на следующий год.
Транспонированные ноты на электронной клавиатуре отображаются на дисплее положительными числами для повышения и отрицательными числами для понижения, например, «−1» для понижения на один полутон .

Арифметика с отрицательными числами

Знак минус "−" обозначает оператор как для бинарной (двухоперандной ) операции вычитания ( как в $y - z$ ), так и для унарной (однооперандной) операции отрицания (как в $- x$ , или дважды в $-(- x)$ ). Особый случай унарного отрицания возникает, когда оно применяется к положительному числу, и в этом случае результатом является отрицательное число (как в $-5$ ).

Неоднозначность символа "−" обычно не приводит к неоднозначности в арифметических выражениях, поскольку порядок операций делает возможным только одно толкование для каждого "−". Однако это может привести к путанице и затруднить понимание выражения, когда символы операторов появляются рядом друг с другом. Решением может быть заключение в скобки унарного "−" вместе с его операндом.

Например, выражение $7 + -5$ может быть понятнее, если записать его как $7 + (-5)$ (хотя формально они означают одно и то же). Выражение вычитания $7 - 5$ — это другое выражение, которое не представляет те же операции, но вычисляет тот же результат.

Иногда в начальных школах перед числом может стоять верхний индекс со знаком минус или плюс, чтобы явно различать отрицательные и положительные числа, как в ^[23].

- 2 + - 5

дает

- 7

Добавление

Визуальное представление сложения положительных и отрицательных чисел. Большие шары представляют числа с большей величиной.

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел. Например,

(-3) + (-5) = -8

Идея состоит в том, что два долга можно объединить в один долг большего размера.

При сложении смеси положительных и отрицательных чисел можно думать об отрицательных числах как о вычитаемых положительных величинах. Например:

8 + (-3) = 8 - 3 = 5

(-2) + 7 = 7 - 2 = 5

В первом примере кредит $8$ объединяется с долгом $3$ , что дает общий кредит $5.$ Если отрицательное число имеет большую величину, то результат будет отрицательным:

(-8) + 3 = 3 - 8 = -5

2 + (-7) = 2 - 7 = -5

Здесь кредит меньше долга, поэтому чистый результат — долг.

Вычитание

Как обсуждалось выше, вычитание двух неотрицательных чисел может дать отрицательный ответ:

5 - 8 = -3

В общем случае вычитание положительного числа дает тот же результат, что и прибавление отрицательного числа равной величины. Таким образом

5 - 8 = 5 + (-8) = -3

(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

С другой стороны, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и сложение положительного числа равной величины. (Идея состоит в том, что потеря долга — это то же самое, что и получение кредита.) Таким образом

3 - (-5) = 3 + 5 = 8

(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3

Умножение

При умножении чисел величина произведения всегда равна произведению двух величин. Знак произведения определяется следующими правилами:

Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Таким образом

(-2) \times 3 = -6

(-2) \times (-3) = 6

Причина первого примера проста: сложение трех $-2$ дает $-6$ :

(-2) \times 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6

Рассуждения во втором примере более сложные. Идея снова в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потеря двух долгов по три каждый — это то же самое, что получение кредита в шесть:

(-2

долга

) \times (-3

каждый

) = +6

кредитов.

Соглашение о том, что произведение двух отрицательных чисел положительно, также необходимо для того, чтобы умножение подчинялось распределительному закону . В этом случае мы знаем, что

(-2) \times (-3) + 2 \times (-3) = (-2 + 2) \times (-3) = 0 \times (-3) = 0

Поскольку $2 \times (-3) = -6$ , произведение $(-2) \times (-3)$ должно быть равно $6$ .

Эти правила приводят к другому (эквивалентному) правилу — знак любого произведения a × b зависит от знака a следующим образом:

если a положительно, то знак a × b такой же, как знак b , и
если a отрицательно, то знак a × b противоположен знаку b .

Обоснование того, почему произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, можно найти в анализе комплексных чисел .

Разделение

Правила знаков для деления такие же, как и для умножения. Например,

8 \div (-2) = -4

(-8) \div 2 = -4

(-8) \div (-2) = 4

Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, результат положительный, если знаки разные, результат отрицательный.

Отрицание

Отрицательная версия положительного числа называется его отрицанием . Например, −3 является отрицанием положительного числа 3. Сумма $числа$ и $его$ отрицания равна нулю:

3 + (-3) = 0

То есть отрицание положительного числа является аддитивным обратным числом.

Используя алгебру , мы можем записать этот принцип в виде алгебраического тождества :

х + (- х) = 0

Это тождество справедливо для любого положительного числа $x$ . Его можно сделать справедливым для всех действительных чисел, расширив определение отрицания, включив в него ноль и отрицательные числа. А именно:

Отрицание 0 равно 0, и
Отрицанием отрицательного числа является соответствующее положительное число.

Например, отрицание $-3$ равно $+3$ . В общем случае,

-(- х) = х

Абсолютное значение числа — это неотрицательное число с той же величиной. Например, абсолютное значение $-3$ и абсолютное значение $3$ оба равны $3$ , а абсолютное значение $0$ равно $0$ .

Формальное построение отрицательных целых чисел

Аналогично рациональным числам , мы можем расширить натуральные числа N до целых чисел Z , определив целые числа как упорядоченную пару натуральных чисел ( a , b ). Мы можем расширить сложение и умножение до этих пар с помощью следующих правил:

(а, б) + (с, г) = (а + с, б + г)

(а, б) \times (с, г) = (а \times с + б \times г, а \times г + б \times г)

Определим отношение эквивалентности ~ для этих пар по следующему правилу:

( a , b ) ~ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d = b + c .

Это отношение эквивалентности совместимо с определенными выше сложением и умножением, и мы можем определить Z как фактор-множество N ²/~, т.е. мы идентифицируем две пары ( a , b ) и ( c , d ), если они эквивалентны в указанном выше смысле. Обратите внимание, что Z , снабженное этими операциями сложения и умножения, является кольцом и фактически является прототипическим примером кольца.

Мы также можем определить общий порядок на Z, записав

(a, b) \leq (c, d) тогда и только тогда, когда a + d \leq b + c

Это приведет к аддитивному нулю вида ( a , a ), аддитивному обратному элементу ( a , b ) вида ( b , a ), мультипликативной единице вида ( a + 1, a ) и определению вычитания

(а, б) - (с, г) = (а + г, б + в)

Эта конструкция является частным случаем конструкции Гротендика .

Уникальность

Аддитивная обратная величина числа уникальна, как показывает следующее доказательство. Как упоминалось выше, аддитивная обратная величина числа определяется как значение, которое при добавлении к числу дает ноль.

Пусть x — число, а y — его аддитивное обратное число. Предположим, что y′ — это еще одно аддитивное обратное число x . По определению, $x+y'=0,\quad {\text{и}}\quad x+y=0.$

Итак, x + y′ = x + y . Используя закон сокращения для сложения, видно, что y′ = y . Таким образом, y равен любому другому аддитивному обратному x . То есть, y является единственным аддитивным обратным x .

История

Долгое время понимание отрицательных чисел задерживалось из-за невозможности иметь отрицательное числовое значение физического объекта, например «минус три яблока», а отрицательные решения задач считались «ложными».

В эллинистическом Египте греческий математик Диофант в 3 веке нашей эры сослался на уравнение, которое было эквивалентно (имеющему отрицательное решение) в Арифметике , заявив, что уравнение было абсурдным. ^{[24] По этой причине}греческие геометры могли геометрически решить все формы квадратного уравнения, которые дают положительные корни; в то время как они не могли принимать во внимание другие. ^[25] $4x+20=4$

Отрицательные числа впервые в истории появляются в « Девяти главах о математическом искусстве» (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), которые в своей нынешней форме датируются периодом Хань , но вполне могут содержать гораздо более старый материал. ^[3] Математик Лю Хуэй (ок. 3 в.) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Историк Жан-Клод Марцлофф предположил, что важность двойственности в китайской натурфилософии облегчила китайцам принятие идеи отрицательных чисел. ^[4] Китайцы могли решать одновременные уравнения с участием отрицательных чисел. « Девять глав» использовали красные счетные палочки для обозначения положительных коэффициентов и черные палочки для отрицательных. ^[4]^[26] Эта система является полной противоположностью современной печати положительных и отрицательных чисел в области банковского дела, бухгалтерского учета и торговли, где красные числа обозначают отрицательные значения, а черные числа — положительные значения. Лю Хуэй пишет:

Теперь есть два противоположных вида счетных стержней для прибылей и убытков, назовем их положительными и отрицательными. Красные счетные стержни — положительные, черные счетные стержни — отрицательные. ^[4]

Древний индийский манускрипт Бахшали производил вычисления с отрицательными числами, используя «+» в качестве отрицательного знака. ^[27] Дата рукописи неизвестна. Л. В. Гурджар датирует ее не позднее 4-го века, ^[28] Хёрнле датирует ее между третьим и четвертым веками, Айянгар и Пингри датируют ее 8-м или 9-м веками, ^[29] а Джордж Гевергезе Джозеф датирует ее около 400 года н.э. и не позднее начала 7-го века, ^[30]

В 7 веке нашей эры отрицательные числа использовались в Индии для представления долгов. Индийский математик Брахмагупта в своей работе «Брахма-Спхута-Сиддханта» (написанной около 630 года нашей эры) обсуждал использование отрицательных чисел для получения общей квадратичной формулы, похожей на ту, что используется сегодня. ^[24]

В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из трудов индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. ^[5] Аль-Хорезми в своем труде «Аль-джабр валь-мукабала» (от которого произошло слово «алгебра») не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. ^[5] Но через пятьдесят лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения , ^[31] а аль-Караджи написал в своем «Аль-Фахри» , что «отрицательные величины должны считаться членами». ^[5] В X веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . ^[31] $(a\pm b)(c\pm d)$

К XII веку последователи аль-Караджи сформулировали общие правила знаков и использовали их для решения задач деления многочленов . ^[5] Как пишет аль-Самав'аль :

произведение отрицательного числа — al-nāqiṣ (убыток) — на положительное число — al-zāʾid (прибыль) — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычитаем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток — их отрицательная разность. Разность остается положительной, если мы вычитаем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычитаем отрицательное число из положительного числа, остаток — их положительная сумма. Если мы вычитаем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток будет тем же отрицательным, а если мы вычитаем отрицательное число из пустой степени, остаток — тем же положительным числом. ^[5]

В XII веке в Индии Бхаскара II дал отрицательные корни для квадратных уравнений, но отверг их, поскольку они были неуместны в контексте задачи. Он заявил, что отрицательное значение «в этом случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых проблемах, где они могли быть интерпретированы как дебеты (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позднее — как убытки (во Flos , 1225).

В XV веке француз Николя Шюке использовал отрицательные числа в качестве показателей степени ^[32], но называл их «абсурдными числами». ^[33]

Михаэль Штифель рассматривал отрицательные числа в своей работе «Arithmetica Integra» (1544 г.) , где он также называл их numeri absurdi (абсурдными числами).

В 1545 году Джероламо Кардано в своем труде Ars Magna дал первую в Европе удовлетворительную трактовку отрицательных чисел. ^[24] Он не допускал отрицательных чисел при рассмотрении кубических уравнений , поэтому ему приходилось рассматривать, например, отдельно от (с в обоих случаях). В целом, Кардано был вынужден изучить тринадцать типов кубических уравнений, в каждом из которых все отрицательные члены были перемещены на другую сторону знака =, чтобы сделать их положительными. (Кардано также имел дело с комплексными числами , но, по понятным причинам, любил их еще меньше.) $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$ $а,б>0$

Смотрите также

Ссылки

Цитаты

^ «Целые числа — это множество целых чисел и их противоположностей», Ричард У. Фишер, «Алгебра без излишеств», 2-е издание, Основы математики, ISBN 978-0999443330
^ Соглашение о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, не является универсальным. Например, во французской конвенции ноль считается как положительным, так и отрицательным. Французские слова positif и négatif означают то же самое, что английские «положительный или ноль» и «отрицательный или ноль» соответственно.
^ ab Struik, страницы 32–33. «В этих матрицах мы находим отрицательные числа, которые появляются здесь впервые в истории».
^ abcd Ходжкин, Люк (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Oxford University Press. стр. 88. ISBN 978-0-19-152383-0. Лю ясно говорит об этом; в том месте, где Девять глав дают подробное и полезное «Правило знака»
^ abcdef Рашид, Р. (30 июня 1994 г.). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Springer. стр. 36–37. ISBN 9780792325659.
^ Диофант , Арифметика .
^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 252.
^ Марта Смит. «История отрицательных чисел».
^ "Нарушение потолка зарплат Сарацинов: чемпионы Премьер-лиги не будут оспаривать санкции". BBC Sport . Получено 18 ноября 2019 г. Команда Марка Макколла впоследствии опустилась с третьего на последнее место Премьер-лиги с −22 очками
^ "Болтон Уондерерс 1−0 Милтон Кейнс Донс". BBC Sport . Получено 30 ноября 2019 г. Но на третьей минуте компенсированного времени нападающий реализовал передачу Люка Мерфи с восьми ярдов, заработав третью подряд победу в Лиге 1 для команды Хилла, которая начала кампанию с −12 очками после перехода под внешнее управление в мае.
^ "Glossary". Formula1.com . Получено 30 ноября 2019 г. Delta time: Термин, используемый для описания разницы во времени между двумя разными кругами или двумя разными автомобилями. Например, обычно существует отрицательная дельта между лучшим временем круга на тренировке и лучшим временем круга в квалификации, поскольку он использует низкий уровень топлива и новые шины.
^ "BBC Sport - Олимпийские игры - Лондон 2012 - Прыжки в длину среди мужчин: Легкая атлетика - Результаты". 5 августа 2012 г. Архивировано из оригинала 5 августа 2012 г. Получено 5 декабря 2018 г.
^ "Как ветер помогает в легкой атлетике". elitefeet.com . 3 июля 2008 г. . Получено 18 ноября 2019 г. Ветровая помощь обычно выражается в метрах в секунду, как положительных, так и отрицательных. Положительное значение означает, что ветер помогает бегунам, а отрицательное значение означает, что бегунам пришлось работать против ветра. Так, например, ветры со скоростью −2,2 м/с и +1,9 м/с являются законными, в то время как ветер со скоростью +2,1 м/с является слишком большой помощью и считается незаконным. Также часто используются термины "попутный ветер" и "встречный ветер". Попутный ветер толкает бегунов вперед (+), а встречный ветер толкает бегунов назад (−)
^ Форбс, Роберт Б. (6 января 1975 г.). Вклад в геологию бассейна Берингова моря и прилегающих регионов: избранные доклады симпозиума по геологии и геофизике региона Берингова моря, проведенного по случаю открытия здания CT Elvey, Университет Аляски, 26–28 июня 1970 г., и со 2-го международного симпозиума по арктической геологии, состоявшегося в Сан-Франциско, 1–4 февраля 1971 г. Геологическое общество Америки. стр. 194. ISBN 9780813721514.
^ Уилкс, Дэниел С. (6 января 2018 г.). Статистические методы в атмосферных науках. Academic Press. стр. 17. ISBN 9780123850225.
^ Кэрисфорт, Кэрол; Нилд, Майк (2002), Двойная премия, Heinemann, стр. 375, ISBN 978-0-435-44746-5
^ "Экономика Великобритании сократилась в конце 2012 года". BBC News . 25 января 2013 г. Получено 5 декабря 2018 г.
^ "Первый отрицательный показатель инфляции с 1960 года" . The Independent . 21 апреля 2009 г. Архивировано из оригинала 18 июня 2022 г. Получено 5 декабря 2018 г.
^ "ЕЦБ вводит отрицательную процентную ставку". BBC News . 5 июня 2014 г. Получено 5 декабря 2018 г.
^ Линн, Мэтью. «Думаете, отрицательные процентные ставки не могут случиться здесь? Подумайте еще раз». MarketWatch . Получено 5 декабря 2018 г.
^ "Швейцарская процентная ставка станет отрицательной". BBC News . 18 декабря 2014 г. Получено 5 декабря 2018 г.
^ Винтур, Патрик (17 июня 2014 г.). «Популярность Милибэнда и Клегга падает до самых низких уровней, зафиксированных опросом ICM». The Guardian . Получено 5 декабря 2018 г. – через www.theguardian.com.
^ Грант П. Уиггинс; Джей МакТай (2005). Понимание по замыслу . ACSD Publications. стр. 210. ISBN 1-4166-0035-3.
^ abc Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и земле (переиздание). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 90. ISBN 0-521-05801-5.
^ Хит, Томас Л. (1897). Труды Архимеда. Cambridge University Press. стр. cxxiii.
^ Нидхэм, Джозеф; Ван, Лин (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небесах и земле (переиздание). Кембридж: Cambridge University Press. С. 90–91. ISBN 0-521-05801-5.
^ Терези, Дик. (2002). Утраченные открытия: Древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8 . Страница 65.
^ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Рукопись Бахшали». Архив истории математики MacTutor . Получено 24 июля 2007 г.
^ Хаяси, Такао (2008), «Рукопись Бахшали», в Helaine Selin (ред.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures , т. 1, Springer, стр. B2, ISBN 9781402045592
^ Терези, Дик. (2002). Утраченные открытия: Древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8 . Стр. 65–66.
^ аб Бин Исмаил, Мэт Рофа (2008), «Алгебра в исламской математике», в Хелейн Селин (редактор), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , том. 1 (2-е изд.), Springer, с. 115, ISBN 9781402045592
^ Флегг, Грэм; Хей, К.; Мосс, Б. (1985), Николя Шуке, математик эпохи Возрождения: исследование с обширными переводами математической рукописи Шуке, завершенной в 1484 году, D. Reidel Publishing Co., стр. 354, ISBN 9789027718723.
^ Джонсон, Арт (1999), Знаменитые проблемы и их математики, Greenwood Publishing Group, стр. 56, ISBN 9781563084461.

Библиография

Бурбаки, Николя (1998). Элементы истории математики . Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 .
Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications.

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с отрицательными числами .

Биографические данные Масереса
BBC Radio 4, серия In Our Time, о "Отрицательных числах", 9 марта 2006 г.
Бесконечные примеры и упражнения: операции со знаковыми целыми числами
Форум по математике: Вопрос доктору Математика FAQ: Отрицательное число, умноженное на отрицательное