Модель осциллятора Лоренца

Теоретическая модель, описывающая оптический отклик связанных зарядов

Электроны связаны с атомным ядром аналогично пружинам разной прочности, также известным как неизотропные пружины , также известные как анизотропные .

Модель осциллятора Лоренца описывает оптический отклик связанных зарядов . Модель названа в честь голландского физика Хендрика Антона Лоренца . Это классическая феноменологическая модель материалов с характерными резонансными частотами (или другими характерными энергетическими масштабами) для оптического поглощения, например, ионных и молекулярных колебаний , межзонных переходов (полупроводники), фононов и коллективных возбуждений. ^{[1] [2]}

Вывод движения электрона

Модель получена путем моделирования электрона, вращающегося вокруг массивного неподвижного ядра, как системы пружина-масса-демпфер . ^{[2] [3] [4]} Электрон моделируется таким образом, чтобы он был связан с ядром посредством гипотетической пружины, а его движение демпфировалось посредством гипотетического демпфера. Сила демпфирования гарантирует, что отклик генератора будет конечным на его резонансной частоте. Что касается движущей силы, гармонической во времени, которая возникает из электрического поля, к электрону можно применить второй закон Ньютона, чтобы получить движение электрона и выражения для дипольного момента , поляризации , восприимчивости и диэлектрической функции . ^[4]

Уравнение движения электронного осциллятора: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{damping}}+\mathbf {F} _{\text{spring}}+\mathbf {F} _{\text{driving}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k\mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t)\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$– смещение заряда из положения покоя,
• ${\displaystyle t}$это время,
• ${\displaystyle \tau }$– время релаксации/время рассеяния,
• ${\displaystyle k}$– постоянный коэффициент, характеризующий пружину,
• ${\displaystyle m}$- эффективная масса электрона,
• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$- резонансная частота генератора,
• ${\displaystyle e}$это элементарный заряд,
• ${\displaystyle \mathbf {E} (t)}$является электрическое поле.

Для гармонических полей: $${\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t}}$$

Стационарное решение этого уравнения движения: $${\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={\frac {\frac {-e}{m}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega /\tau }}\mathbf {E} (\omega )}$$

Тот факт, что приведенное выше решение является сложным, означает, что существует временная задержка (сдвиг фазы) между движущим электрическим полем и реакцией на движение электрона. ^[4]

Дипольный момент

Смещение, , индуцирует дипольный момент, , определяемый выражением ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )}$- поляризуемость одиночного осциллятора, определяемая выражением $${\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.}$$

поляризация

Поляризация – это дипольный момент единицы объема. Для макроскопических свойств материала N — это плотность зарядов (электронов) в единице объема. Учитывая, что каждый электрон действует с одним и тем же дипольным моментом, мы имеем поляризацию, как показано ниже. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

Электрическое перемещение

Электрическое смещение связано с плотностью поляризации соотношением ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ $${\displaystyle \mathbf {D} ={\hat {\varepsilon }}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\alpha }})\mathbf {E} }$$

Диэлектрическая функция

Модель осциллятора Лоренца. Действительная (синяя сплошная линия) и мнимая (оранжевая пунктирная линия) компоненты относительной диэлектрической проницаемости построены для модели одиночного генератора с параметрами (12,6 мкм), , и . Эти параметры приближаются к гексагональному карбиду кремния. ^[5] ${\displaystyle \omega _{0}=\mathrm {23.8\,THz} }$ ${\displaystyle s/\omega _{0}^{2}=\mathrm {3.305} }$ ${\displaystyle \Gamma /\omega _{0}=\mathrm {0.006} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }=\mathrm {6.7} }$

Комплексная диэлектрическая функция определяется выражением где и – так называемая плазменная частота . $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}}$$ ${\displaystyle 4\pi Ne^{2}/m=\omega _{p}^{2}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

На практике модель обычно модифицируется для учета нескольких механизмов поглощения, присутствующих в среде. Модифицированная версия представлена ​​в ^[6] где и $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})}$$ $${\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }}}$$

• ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$- значение диэлектрической функции на бесконечной частоте, которое можно использовать в качестве регулируемого параметра для учета механизмов высокочастотного поглощения,
• ${\displaystyle s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}}$и связано с силой механизма поглощения, ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \Gamma _{j}=1/\tau }$.

Разделение действительных и мнимых составляющих, $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]}$$

Комплексная проводимость

Комплексная оптическая проводимость в целом связана со сложной диэлектрической функцией $${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right)}$$

Подставив формулу в приведенное выше уравнение, получим ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$ $${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}}$$

Разделение действительных и мнимых составляющих, $${\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}}$$

Смотрите также

• Уравнение Коши
• Уравнение Селлмейера
• Модель Форуи – Блумера
• Модель Таука – Лоренца
• Модель осциллятора Бренделя – Бормана

Рекомендации

1. Лоренц, Хендрик Антон (1909). Теория электронов и ее приложения к явлениям света и лучистого тепла . Том. Бд. XXIX, корп. 29. Нью-Йорк; Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. ОСЛК  535812.
2. Дрессел, Мартин; Грюнер, Джордж (2002). «Полупроводники». Электродинамика твердых тел: оптические свойства электронов в веществе . Кембридж. стр. 136–172. дои : 10.1017/CBO9780511606168.008. ISBN 9780521592536.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Альмог, ЕСЛИ; Брэдли, MS; Булович, В. (2011). «Осциллятор Лоренца и его применение» (PDF) . Массачусетский технологический институт, факультет электротехники и информатики . Массачусетский Институт Технологий . Проверено 24 ноября 2021 г.
4. Колтон, Джон (2020). «Модель осциллятора Лоренца» (PDF) . Университет Бригама Янга, факультет физики и астрономии . Университет Бригама Янга . Проверено 18 ноября 2021 г.
5. Спитцер, WG; Кляйнман, Д.; Уолш, Д. (1959). «Инфракрасные свойства гексагонального карбида кремния». Физический обзор . 113 (1): 127–132. Бибкод : 1959PhRv..113..127S. дои : 10.1103/PhysRev.113.127 . Проверено 24 ноября 2021 г.
6. Чжан, ЗМ; Лефевер-Баттон, Г.; Пауэлл, Франция (1998). «Инфракрасный показатель преломления и коэффициент затухания полиимидных пленок». Международный журнал теплофизики . 19 (3): 905–916. дои : 10.1023/А: 1022655309574. S2CID  116271335 . Проверено 24 ноября 2021 г.