Модель осциллятора Бренделя – Бормана

Модель осциллятора Бренделя-Бормана. Действительная (синяя пунктирная линия) и мнимая (оранжевая сплошная линия) компоненты относительной диэлектрической проницаемости построены для одной модели осциллятора с параметрами = 500 см , = 0,25 см , = 0,05 см и = 0,25 см . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle ^{-1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ^{-2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle ^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ^{-1}}$

Модель генератора Бренделя-Бормана представляет собой математическую формулу для частотной зависимости комплексной относительной диэлектрической проницаемости , иногда называемой диэлектрической функцией. Модель использовалась для подбора комплексного показателя преломления материалов с формой линий поглощения, демонстрирующих нелоренцево уширение, таких как металлы ^[1] и аморфные изоляторы, ^{[2] [3] [4] [5]} в широких спектральных диапазонах. обычно это ближние к ультрафиолету , видимые и инфракрасные частоты. Дисперсионное соотношение носит имена Р. Бренделя и Д. Бормана, которые вывели модель в 1992 году ^[2] , несмотря на то, что впервые оно было применено к оптическим константам в литературе Андреем М. Ефимовым и Е. Г. Макаровой в 1983 году. ^{[6] [ 7] [8]} Примерно в то же время несколько других исследователей также независимо открыли эту модель. ^{[3] [4] [5]} Модель осциллятора Бренделя-Бормана является афизической, поскольку она не удовлетворяет соотношениям Крамерса-Кронига . Модель является непричинной из-за особенности на нулевой частоте и неэрмитовой . Эти недостатки вдохновили Дж. Ороско и CFM Coimbra на разработку аналогичной модели причинного осциллятора. ^{[9] [10]}

Математическая формулировка

Общий вид модели осциллятора имеет вид ^[2]

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}}$

где

• ${\displaystyle \varepsilon }$относительная диэлектрическая проницаемость,
• ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$- значение относительной диэлектрической проницаемости на бесконечной частоте,
• ${\displaystyle \omega }$угловая частота ,
• ${\displaystyle \chi _{j}}$– вклад осциллятора механизма поглощения. ${\displaystyle j}$

Осциллятор Бренделя-Бормана связан с лоренцевым осциллятором и гауссовским осциллятором , определяемым формулой ${\displaystyle \left(\chi ^{L}\right)}$ ${\displaystyle \left(\chi ^{G}\right)}$

${\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }}}$

${\displaystyle \chi _{j}^{G}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{j}}}\exp {\left[-\left({\frac {\omega }{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)^{2}\right]}}$

где

• ${\displaystyle s_{j}}$– лоренцева сила осциллятора , ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \omega _{0,j}}$- лоренцева резонансная частота осциллятора , ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \Gamma _{j}}$– лоренцево уширение осциллятора , ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \sigma _{j}}$— гауссово уширение осциллятора . ${\displaystyle j}$

Осциллятор Бренделя-Бормана получается в результате свертки двух вышеупомянутых осцилляторов способом ${\displaystyle \left(\chi ^{BB}\right)}$

${\displaystyle \chi _{j}^{BB}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{j}^{G}(x-\omega _{0,j})\chi _{j}^{L}(\omega ;x)dx}$,

который дает

${\displaystyle \chi _{j}^{BB}(\omega )={\frac {i{\sqrt {\pi }}s_{j}}{2{\sqrt {2}}\sigma _{j}a_{j}(\omega )}}\left[w\left({\frac {a_{j}(\omega )-\omega _{0,j}}{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)+w\left({\frac {a_{j}(\omega )+\omega _{0,j}}{{\sqrt {2}}\sigma _{j}}}\right)\right]}$

где

• ${\displaystyle w(z)}$– функция Фаддеевой ,
• ${\displaystyle a_{j}={\sqrt {\omega ^{2}+i\Gamma _{j}\omega }}}$.

Квадратный корень в определении необходимо брать таким, чтобы его мнимая составляющая была положительной. Это достигается за счет: ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \Re \left(a_{j}\right)=\omega {\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\Gamma _{j}/\omega \right)^{2}}}+1}{2}}}}$

${\displaystyle \Im \left(a_{j}\right)=\omega {\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\Gamma _{j}/\omega \right)^{2}}}-1}{2}}}}$

Рекомендации

1. Ракич, Александр Д.; Джуришич, Александра Б.; Элазар, Йован М.; Маевски, Мариан Л. (1998). «Оптические свойства металлических пленок для оптоэлектронных приборов с вертикальным резонатором». Прикладная оптика . 37 (22): 5271–5283. Бибкод : 1998ApOpt..37.5271R. дои : 10.1364/AO.37.005271. ПМИД  18286006 . Проверено 13 октября 2021 г.
2. Брендель, Р.; Борман, Д. (1992). «Модель инфракрасной диэлектрической функции аморфных твердых тел». Журнал прикладной физики . 71 (1): 1–6. Бибкод : 1992JAP....71....1B. дои : 10.1063/1.350737 . Проверено 13 октября 2021 г.
3. Найман, ML; Кирк, Коннектикут; Акойн, Р.Дж.; Терри, Флорида; Вятт, П.В.; Сентурия, SD (1984). «Влияние азотирования диоксида кремния на его инфракрасный спектр». Журнал Электрохимического общества . 131 (3): 637–640. Бибкод : 1984JElS..131..637N. дои : 10.1149/1.2115648 . Проверено 20 октября 2021 г.
4. Кучиркова, А.; Навратил, К. (1994). «Интерпретация спектров инфракрасного пропускания тонких пленок SiO2». Прикладная спектроскопия . 48 (1): 113–120. Бибкод : 1994ApSpe..48..113K. дои : 10.1366/0003702944027534. S2CID  98613649 . Проверено 20 октября 2021 г.
5. Хоберт, Х.; Данкен, Х.Х. (1996). «Моделирование диэлектрических функций стекол методом свертки». Журнал некристаллических твердых тел . 195 (1–2): 64–71. Бибкод : 1996JNCS..195...64H. дои : 10.1016/0022-3093(95)00517-X . Проверено 20 октября 2021 г.
6. Ефимов, Андрей М.; Макарова, Е.Г. (1983). «[Стекловидное состояние и теория дисперсии]». Учеб. Седьмая Всесоюзная конф. о состоянии стекловидного тела . стр. 165–71.
7. Ефимов, Андрей М.; Макарова, Е.Г. (1985). «[Дисперсионное уравнение для константы комплексного уравнения стеклообразных тел и дисперсионный анализ их спектров отражения]». Физ. Хим. Стекло [ Советский журнал физики и химии стекла ] (на русском языке). 11 (4): 385–401.
8. Ефимов, AM (1996). «Количественная ИК-спектроскопия: приложения к изучению структуры и свойств стекла». Журнал некристаллических твердых тел . 203 : 1–11. Бибкод : 1996JNCS..203....1E. дои : 10.1016/0022-3093(96)00327-4 . Проверено 13 октября 2021 г.
9. Ороско, Дж.; Коимбра, CFM (2018). «О модели причинной дисперсии оптических свойств металлов». Прикладная оптика . 57 (19): 5333–5347. Бибкод : 2018ApOpt..57.5333O. дои : 10.1364/AO.57.005333. PMID  30117825. S2CID  51760671 . Проверено 14 октября 2021 г.
10. Ороско, Дж.; Коимбра, CFM (2018). «Оптический отклик тонких аморфных пленок на инфракрасное излучение». Физический обзор B . 97 (9): 094301. Бибкод : 2018PhRvB..97i4301O. дои : 10.1103/PhysRevB.97.094301 . Проверено 14 октября 2021 г.

Смотрите также

• Уравнение Коши
• Уравнение Селлмейера
• Модель Форуи – Блумера
• Модель Таука – Лоренца
• Модель осциллятора Лоренца