Мотивные когомологии являются инвариантом алгебраических многообразий и более общих схем . Это тип когомологий, связанных с мотивами , и включает кольцо Чжоу алгебраических циклов как частный случай. Некоторые из самых глубоких проблем в алгебраической геометрии и теории чисел являются попытками понять мотивные когомологии.
Пусть X — схема конечного типа над полем k . Ключевой целью алгебраической геометрии является вычисление групп Чжоу X , поскольку они дают сильную информацию обо всех подмногообразиях X. Группы Чжоу X обладают некоторыми формальными свойствами гомологии Бореля–Мура в топологии, но некоторые вещи отсутствуют. Например, для замкнутой подсхемы Z X существует точная последовательность групп Чжоу, последовательность локализации
тогда как в топологии это было бы частью длинной точной последовательности .
Эта проблема была решена путем обобщения групп Чжоу до биградуированного семейства групп, групп мотивной гомологии (Бореля–Мура) (которые впервые были названы высшими группами Чжоу Блохом ). [1] А именно, для каждой схемы X конечного типа над полем k и целыми числами i и j мы имеем абелеву группу H i ( X , Z ( j )), причем обычная группа Чжоу является частным случаем
Для замкнутой подсхемы Z схемы X существует длинная точная последовательность локализации для групп мотивной гомологии, заканчивающаяся последовательностью локализации для групп Чжоу:
Фактически, это одна из четырех теорий, построенных Воеводским : мотивные когомологии, мотивные когомологии с компактным носителем, мотивные гомологии Бореля-Мура (как выше) и мотивные гомологии с компактным носителем. [2] Эти теории обладают многими формальными свойствами соответствующих теорий в топологии. Например, группы мотивных когомологий H i (X, Z ( j )) образуют биградуированное кольцо для каждой схемы X конечного типа над полем. Когда X является гладким с размерностью n над k , существует изоморфизм двойственности Пуанкаре
В частности, группа Чжоу CH i ( X ) циклов коразмерности i изоморфна H 2 i ( X , Z ( i )), когда X является гладким над k .
Мотивные когомологии H i ( X , Z ( j )) гладкой схемы X над k — это когомологии X в топологии Зарисского с коэффициентами в некотором комплексе пучков Z (j) на X . (Некоторые свойства проще доказать с помощью топологии Нисневича , но это дает те же самые группы мотивных когомологий. [3] ) Например, Z ( j) равно нулю при j < 0, Z (0) — постоянный пучок Z , а Z (1) изоморфен в производной категории X группе G m [−1]. [4] Здесь G m ( мультипликативная группа ) обозначает пучок обратимых регулярных функций , а сдвиг [−1] означает, что этот пучок рассматривается как комплекс в степени 1.
Четыре версии мотивных гомологии и когомологии могут быть определены с коэффициентами в любой абелевой группе. Теории с различными коэффициентами связаны теоремой об универсальных коэффициентах , как в топологии.
По Блоху, Лихтенбауму , Фридлендеру , Суслину и Левину, для каждой гладкой схемы X над полем существует спектральная последовательность от мотивных когомологий до алгебраической K-теории , аналогичная спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха в топологии:
Как и в топологии, спектральная последовательность вырождается после тензорного умножения на рациональные числа. [5] Для произвольных схем конечного типа над полем (не обязательно гладким) существует аналогичная спектральная последовательность от мотивной гомологии до G-теории (K-теории когерентных пучков , а не векторных расслоений ).
Мотивные когомологии предоставляют богатый инвариант уже для полей. (Обратите внимание, что поле k определяет схему Spec( k ), для которой определены мотивные когомологии.) Хотя мотивные когомологии H i ( k , Z ( j )) для полей k далеки от понимания в общем случае, существует описание для случая i = j :
где K j M ( k ) — j -я K-группа Милнора поля k . [6] Поскольку K-теория Милнора поля явно определяется генераторами и соотношениями, это полезное описание одной части мотивных когомологий поля k .
Пусть X — гладкая схема над полем k , и пусть m — положительное целое число, обратимое в k . Тогда существует естественный гомоморфизм ( циклическое отображение ) из мотивных когомологий в этальные когомологии :
где Z / m ( j ) справа означает этальный пучок (μ m ) ⊗ j , где μ m — корни степени m из единицы. Это обобщает отображение циклов из кольца Чжоу гладкого многообразия на этальные когомологии.
Частой целью в алгебраической геометрии или теории чисел является вычисление мотивных когомологий, тогда как этальные когомологии часто проще понять. Например, если базовое поле k — это комплексные числа, то этальные когомологии совпадают с сингулярными когомологиями (с конечными коэффициентами). Мощный результат, доказанный Воеводским, известный как гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума , гласит, что многие группы мотивных когомологий на самом деле изоморфны группам этальных когомологий. Это является следствием теоремы об изоморфизме норменного вычета . А именно, гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума (теорема Воеводского) гласит, что для гладкой схемы X над полем k и m — положительного целого числа, обратимого в k , отображение цикла
является изоморфизмом для всех j ≥ i и инъективен для всех j ≥ i − 1. [7]
Для любого поля k и коммутативного кольца R Воеводский определил R -линейную триангулированную категорию, называемую производной категорией мотивов над k с коэффициентами в R , DM( k ; R ). Каждая схема X над k определяет два объекта в DM, называемые мотивом X , M ( X ), и компактным мотивом X , M c ( X ); эти два объекта изоморфны, если X является собственным над k .
Одним из основных моментов производной категории мотивов является то, что четыре типа мотивных гомологий и мотивных когомологий возникают как наборы морфизмов в этой категории. Чтобы описать это, сначала отметим, что существуют мотивы Тейта R ( j ) в DM( k ; R ) для всех целых чисел j , такие, что мотив проективного пространства является прямой суммой мотивов Тейта:
где M ↦ M [1] обозначает сдвиг или «функтор трансляции» в триангулированной категории DM( k ; R ). В этих терминах мотивные когомологии (например) задаются как
для каждой схемы X конечного типа над k .
Когда коэффициенты R являются рациональными числами, современная версия гипотезы Бейлинсона предсказывает, что подкатегория компактных объектов в DM(k; Q ) эквивалентна ограниченной производной категории абелевой категории MM( k ), категории смешанных мотивов над k . В частности, гипотеза подразумевала бы, что мотивные когомологические группы могут быть отождествлены с группами Ext в категории смешанных мотивов. [8] Это далеко не известно. Конкретно, гипотеза Бейлинсона подразумевала бы гипотезу Бейлинсона- Суле о том, что H i (X, Q ( j )) равно нулю для i < 0, что известно только в нескольких случаях.
Наоборот, вариант гипотезы Бейлинсона-Соуле вместе со стандартными гипотезами Гротендика и гипотезами Мюрре о мотивах Чжоу подразумевал бы существование абелевой категории MM ( k ) как ядра t-структуры на DM ( k ; Q ). [9] Потребовалось бы больше для того, чтобы идентифицировать группы Ext в MM ( k ) с мотивными когомологиями.
Для k, подполя комплексных чисел, кандидат на абелеву категорию смешанных мотивов был определен Нори. [10] Если категория MM ( k ) с ожидаемыми свойствами существует (в частности, что функтор реализации Бетти из MM ( k ) в Q -векторные пространства является точным ), то она должна быть эквивалентна категории Нори.
Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым полем. Гипотеза Блоха-Като о значениях L-функций предсказывает, что порядок обращения в нуль L-функции X в целочисленной точке равен рангу подходящей мотивной когомологической группы. Это одна из центральных проблем теории чисел, включающая более ранние гипотезы Делиня и Бейлинсона. Гипотеза Бирча-Суиннертона-Дайера является частным случаем. Точнее, гипотеза предсказывает старший коэффициент L-функции в целочисленной точке в терминах регуляторов и спаривания по высоте на мотивных когомологиях.
Первым явным признаком возможного обобщения групп Чжоу до более общей теории мотивных когомологий для алгебраических многообразий было определение и разработка Квилленом алгебраической K-теории (1973), обобщающей группу Гротендика K 0 векторных расслоений. В начале 1980-х годов Бейлинсон и Соуле заметили, что операции Адамса дают расщепление алгебраической K-теории, тензоризированной рациональными числами; слагаемые теперь называются мотивными когомологиями (с рациональными коэффициентами). Бейлинсон и Лихтенбаум выдвинули влиятельные гипотезы, предсказывающие существование и свойства мотивных когомологий. Большинство, но не все их гипотез теперь доказаны.
Определение Блоха высших групп Чжоу (1986) было первым интегральным (в отличие от рационального) определением мотивных гомологий для схем над полем k (и, следовательно, мотивных когомологий, в случае гладких схем). Определение высших групп Чжоу X является естественным обобщением определения групп Чжоу, включающим алгебраические циклы на произведении X с аффинным пространством, которые пересекают множество гиперплоскостей (рассматриваемых как грани симплекса ) в ожидаемой размерности.
Наконец, Воеводский (основываясь на своей работе с Суслиным) определил четыре типа мотивной гомологии и мотивной когомологии в 2000 году, а также производную категорию мотивов. Связанные категории также были определены Ханамурой и Левином.
Работа Элманто и Морроу [11] расширила конструкцию мотивных когомологий до произвольных квазикомпактных, квазиразделенных схем над полем.
![{\ displaystyle M (\ mathbf {P} _ {k} ^ {n}) \ cong \ oplus _ {j = 0} ^ {n} R (j) [2j],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84342525df2e30f1ab854fa13211aac96453b46)
![{\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9937f305ae94970ecf8a015b384b96c57ac91e35)
{{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )