Группа Чоу

Аналоги групп гомологии для алгебраических многообразий

В алгебраической геометрии группы Чжоу (названные в честь Вэй-Ляна Чжоу Клодом Шевалле  (1958)) алгебраического многообразия над любым полем являются алгебро-геометрическими аналогами гомологии топологического пространства . Элементы группы Чжоу образуются из подмногообразий (так называемых алгебраических циклов ) аналогично тому, как симплициальные или клеточные группы гомологии образуются из подкомплексов. Когда многообразие гладкое , группы Чжоу можно интерпретировать как группы когомологий (сравните двойственность Пуанкаре ) и иметь умножение, называемое произведением пересечений . Группы Чжоу несут богатую информацию об алгебраическом многообразии, и их, соответственно, трудно вычислить в общем случае.

Рациональная эквивалентность и группы Чжоу

Для дальнейшего определим многообразие над полем как целочисленную схему конечного типа над . Для любой схемы конечного типа над алгебраический цикл на означает конечную линейную комбинацию подмногообразий с целыми коэффициентами. (Здесь и далее подмногообразия понимаются замкнутыми в , если не указано иное.) Для натурального числа группа -мерных циклов (или -циклов , для краткости) на является свободной абелевой группой на множестве -мерных подмногообразий . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

Для множества размерностей и любой рациональной функции, на которой не равен тождественно нулю, делителем является -цикл ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

где сумма пробегает все -мерные подмногообразия , а целое число обозначает порядок исчезновения вдоль . (Таким образом , отрицательно, если имеет полюс вдоль .) Определение порядка исчезновения требует некоторой осторожности для сингулярных чисел. ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

Для схемы конечного типа над группа -циклов , рационально эквивалентных нулю, является подгруппой из , порожденной циклами для всех -мерных подмногообразий из и всех ненулевых рациональных функций на . Группа Чжоу -мерных циклов на является факторгруппой из по подгруппе циклов, рационально эквивалентных нулю. Иногда пишут для класса подмногообразия в группе Чжоу, и если два подмногообразия и имеют , то и называются рационально эквивалентными . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle CH_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle [Z]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [Z]=[W]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

Например, когда — многообразие размерности , группа Чжоу является группой классов дивизоров . Когда — гладкое над (или, в более общем случае, локально нётерова нормальная факторная схема ^[2] ), это изоморфно группе Пикара линейных расслоений на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Примеры рациональной эквивалентности

Рациональная эквивалентность в проективном пространстве

Рационально эквивалентные циклы, определяемые гиперповерхностями, легко построить на проективном пространстве, поскольку все они могут быть построены как исчезающие локусы одного и того же векторного расслоения. Например, если даны два однородных полинома степени , то , мы можем построить семейство гиперповерхностей, определяемых как исчезающие локусы . Схематически это можно построить как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

Используя проекцию, мы можем увидеть, что волокно над точкой является проективной гиперповерхностью, определяемой . Это можно использовать для того, чтобы показать, что класс циклов каждой гиперповерхности степени рационально эквивалентен , поскольку можно использовать для установления рациональной эквивалентности. Обратите внимание, что геометрическое место является и имеет кратность , которая является коэффициентом его класса циклов. ${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$ ${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$ ${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$ ${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle d}$

Рациональная эквивалентность циклов на кривой

Если мы возьмем два различных линейных расслоения гладкой проективной кривой , то исчезающее множество общего сечения обоих линейных расслоений определяет неэквивалентные классы циклов в . Это происходит потому , что для гладких многообразий классы дивизоров и определяют неэквивалентные классы. ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CH(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$ ${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

Ринг Чоу

Когда схема гладкая над полем , группы Чжоу образуют кольцо , а не просто градуированную абелеву группу. А именно, когда гладкая над , определяем как группу Чжоу коразмерности - циклов на . (Когда является многообразием размерности , это просто означает, что .) Тогда группы образуют коммутативное градуированное кольцо с произведением: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

Произведение возникает из пересекающихся алгебраических циклов. Например, если и являются гладкими подмногообразиями коразмерности и соответственно, и если и пересекаются трансверсально , ​​то произведение в является суммой неприводимых компонент пересечения , которые все имеют коразмерность . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle i+j}$

В более общем смысле, в различных случаях теория пересечений строит явный цикл, который представляет произведение в кольце Чжоу. Например, если и являются подмногообразиями дополнительной размерности (что означает, что их размерности в сумме равны размерности ), пересечение которых имеет размерность ноль, то равно сумме точек пересечения с коэффициентами, называемыми числами пересечений . Для любых подмногообразий и гладкой схемы над , без предположения о размерности пересечения, теория пересечений Уильяма Фултона и Роберта Макферсона строит канонический элемент групп Чжоу , образ которого в группах Чжоу является произведением . ^[3] ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$

Примеры

Проективное пространство

Кольцо Чжоу проективного пространства над любым полем — это кольцо ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

где — класс гиперплоскости (нулевой локус одной линейной функции). Более того, любое подмногообразие степени и коразмерности в проективном пространстве рационально эквивалентно . Отсюда следует, что для любых двух подмногообразий и дополнительной размерности в и степеней , , соответственно, их произведение в кольце Чжоу просто ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle dH^{a}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

где — класс -рациональной точки в . Например, если и пересекаются трансверсально, то отсюда следует, что — нулевой цикл степени . Если базовое поле алгебраически замкнуто , это означает, что точек пересечения ровно ; это версия теоремы Безу , классического результата исчислительной геометрии . ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ab}$

Формула проективного расслоения

Если задано векторное расслоение ранга над гладкой собственной схемой над полем, то кольцо Чжоу соответствующего проективного расслоения можно вычислить с помощью кольца Чжоу и классов Черна . Если мы положим и классы Черна , то существует изоморфизм колец ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

Поверхности Хирцебруха

Например, кольцо Чжоу поверхности Хирцебруха можно легко вычислить с помощью формулы проективного расслоения. Напомним, что оно строится как над . Тогда единственным нетривиальным классом Черна этого векторного расслоения является . Это означает, что кольцо Чжоу изоморфно ${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

Замечания

Для других алгебраических многообразий группы Чжоу могут иметь более богатое поведение. Например, пусть будет эллиптической кривой над полем . Тогда группа Чжоу нулевых циклов на вписывается в точную последовательность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

Таким образом, группа Чжоу эллиптической кривой тесно связана с группой - рациональных точек . Когда — числовое поле , называется группой Морделла–Вейля , и некоторые из самых глубоких проблем в теории чисел — это попытки понять эту группу. Когда — комплексные числа , пример эллиптической кривой показывает, что группы Чжоу могут быть несчетными абелевыми группами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

Функториальность

Для собственного морфизма схем над существует прямой гомоморфизм для каждого целого числа . Например, для собственной схемы над это дает гомоморфизм , который переводит замкнутую точку в в ее степень над . (Замкнутая точка в имеет вид для конечного поля расширения , а ее степень означает степень поля над .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$

Для плоского морфизма схем над со слоями размерности (возможно, пустыми) существует гомоморфизм . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

Ключевым вычислительным инструментом для групп Чжоу является локализационная последовательность , как показано ниже. Для схемы над полем и замкнутой подсхемы , существует точная последовательность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

где первый гомоморфизм — это прямой проталкивание, связанное с собственным морфизмом , а второй гомоморфизм — обратный проталкивание относительно плоского морфизма . ^[4] Последовательность локализации может быть расширена влево с помощью обобщения групп Чжоу, групп мотивной гомологии (Бореля–Мура), также известных как высшие группы Чжоу . ^[5] ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle X-Z\to X}$

Для любого морфизма гладких схем над существует гомоморфизм обратного проецирования , который на самом деле является кольцевым гомоморфизмом . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

Примеры плоских откатов

Обратите внимание, что не-примеры можно построить с помощью раздутий; например, если мы возьмем раздутие начала координат в , то волокно над началом координат будет изоморфно . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Разветвленные покрытия кривых

Рассмотрим разветвленное покрытие кривых

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

Так как морфизм разветвляется всякий раз, когда мы получаем факторизацию ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

где один из . Это подразумевает, что точки имеют кратности соответственно. Плоский откат точки тогда ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

Плоское семейство сортов

Рассмотрим плоское семейство разновидностей

${\displaystyle X\to S}$

и подмногообразие . Затем, используя декартов квадрат ${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

мы видим, что изображение является подмножеством . Следовательно, мы имеем ${\displaystyle S'\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

Карты велосипедных маршрутов

Существует несколько гомоморфизмов (известных как отображения циклов ) из групп Чжоу в более вычислимые теории.

Во-первых, для схемы X над комплексными числами существует гомоморфизм из групп Чжоу в гомологии Бореля–Мура : ^[6]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

Множитель 2 появляется, поскольку i -мерное подмногообразие X имеет действительную размерность 2 i . Когда X является гладким по комплексным числам, это отображение цикла можно переписать, используя двойственность Пуанкаре как гомоморфизм

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

В этом случае ( X гладкое над C ) эти гомоморфизмы образуют кольцевой гомоморфизм из кольца Чжоу в кольцо когомологий. Интуитивно это происходит потому, что произведения как в кольце Чжоу, так и в кольце когомологий описывают пересечение циклов.

Для гладкого комплексного проективного многообразия отображение циклов из кольца Чжоу в обычные когомологии пропускается через более богатую теорию, когомологии Делиня . ^[7] Это включает отображение Абеля–Якоби из циклов, гомологически эквивалентных нулю, в промежуточный якобиан . Экспоненциальная последовательность показывает, что CH ¹ ( X ) отображается изоморфно в когомологии Делиня, но это не выполняется для CH ^j ( X ) с j > 1.

Для схемы X над произвольным полем k существует аналогичное отображение цикла из групп Чжоу в этальные гомологии (Бореля–Мура) . Когда X является гладким над k , этот гомоморфизм можно отождествить с кольцевым гомоморфизмом из кольца Чжоу в этальные когомологии. ^[8]

Связь с К-теорией

(Алгебраическое) векторное расслоение E на гладкой схеме X над полем имеет классы Черна c _i ( E ) в CH ⁱ ( X ) с теми же формальными свойствами, что и в топологии. ^[9] Классы Черна дают тесную связь между векторными расслоениями и группами Чжоу. А именно, пусть K 0 ₍ X ) будет группой Гротендика векторных расслоений на X . В рамках теоремы Гротендика–Римана–Роха Гротендик показал, что характер Черна дает изоморфизм

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

Этот изоморфизм показывает важность рациональной эквивалентности по сравнению с любым другим адекватным отношением эквивалентности на алгебраических циклах.

Догадки

Некоторые из самых глубоких гипотез в алгебраической геометрии и теории чисел являются попытками понять группы Чжоу. Например:

• Теорема Морделла–Вейля подразумевает, что группа классов дивизоров CH _{n -1} ( X ) конечно порождена для любого многообразия X размерности n над числовым полем. Открытой проблемой является то, являются ли все группы Чжоу конечно порожденными для каждого многообразия над числовым полем. Гипотеза Блоха – Като о значениях L-функций предсказывает, что эти группы конечно порождены. Более того, ранг группы циклов по модулю гомологической эквивалентности, а также группы циклов, гомологически эквивалентных нулю, должен быть равен порядку обращения в нуль L-функции данного многообразия в некоторых целочисленных точках. Конечность этих рангов также следует из гипотезы Басса в алгебраической K-теории.
• Для гладкого комплексного проективного многообразия X гипотеза Ходжа предсказывает образ ( тензорный с рациональными числами Q ) отображения цикла из групп Чжоу в сингулярные когомологии. Для гладкого проективного многообразия над конечно порожденным полем (таким как конечное поле или числовое поле) гипотеза Тейта предсказывает образ (тензорный с Q _l ) отображения цикла из групп Чжоу в l-адические когомологии .
• Для гладкого проективного многообразия X над любым полем гипотеза Блоха – Бейлинсона предсказывает фильтрацию на группах Чжоу X (тензорных с рациональными числами) с сильными свойствами. ^[10] Гипотеза подразумевает тесную связь между сингулярными или этальными когомологиями X и группами Чжоу X.

Например, пусть X — гладкая комплексная проективная поверхность. Группа Чжоу нуль-циклов на X отображается на целые числа гомоморфизмом степеней; пусть K — ядро. Если геометрический род h ⁰ ( X , Ω ² ) не равен нулю, Мамфорд показал, что K является «бесконечномерным» (не является образом какого-либо конечномерного семейства нуль-циклов на X ). ^[11] Гипотеза Блоха–Бейлинсона влечет за собой удовлетворительное обратное утверждение, гипотезу Блоха о нуль-циклах : для гладкой комплексной проективной поверхности X с геометрическим родом ноль, K должен быть конечномерным; точнее, он должен изоморфно отображаться в группу комплексных точек многообразия Альбанезе X . ^[12]

Варианты

Бивариантная теория

Фултон и Макферсон расширили кольцо Чжоу до сингулярных многообразий, определив « операциональное кольцо Чжоу » и, в более общем смысле, бивариантную теорию, связанную с любым морфизмом схем. ^[13] Бивариантная теория — это пара ковариантных и контравариантных функторов , которые назначают отображению группу и кольцо соответственно. Она обобщает теорию когомологий , которая является контравариантным функтором, назначающим пространству кольцо, а именно кольцо когомологий . Название «бивариантный» относится к тому факту, что теория содержит как ковариантные, так и контравариантные функторы. ^[14]

Это в некотором смысле наиболее элементарное расширение кольца Чжоу на сингулярные многообразия; другие теории, такие как мотивные когомологии, отображаются в операциональное кольцо Чжоу. ^[15]

Другие варианты

Арифметические группы Чжоу представляют собой объединение групп Чжоу многообразий над Q вместе с компонентой, кодирующей теоретическую информацию Аракелова , то есть дифференциальные формы на ассоциированном комплексном многообразии.

Теория групп Чжоу схем конечного типа над полем легко распространяется на теорию алгебраических пространств . Главное преимущество этого расширения в том, что в последней категории проще формировать факторы, и поэтому более естественно рассматривать эквивариантные группы Чжоу алгебраических пространств. Гораздо более грозным расширением является группа Чжоу стека , которая была построена только в некотором частном случае и которая нужна, в частности, для того, чтобы придать смысл виртуальному фундаментальному классу .

История

Рациональная эквивалентность делителей (известная как линейная эквивалентность ) изучалась в различных формах в 19 веке, что привело к идеальной группе классов в теории чисел и якобиевому многообразию в теории алгебраических кривых. Для циклов более высокой коразмерности рациональная эквивалентность была введена Франческо Севери в 1930-х годах. В 1956 году Вэй-Лян Чжоу дал влиятельное доказательство того, что произведение пересечений хорошо определено на циклах по модулю рациональной эквивалентности для гладкого квазипроективного многообразия, используя лемму Чжоу о перемещении . Начиная с 1970-х годов Фултон и Макферсон дали текущую стандартную основу для групп Чжоу, работая с сингулярными многообразиями везде, где это возможно. В их теории произведение пересечений для гладких многообразий строится путем деформации к нормальному конусу . ^[16]

Смотрите также

• Теория пересечений
• Теорема Гротендика–Римана–Роха
• гипотеза Ходжа
• Мотив (алгебраическая геометрия)

Ссылки

Цитаты

1. Фултон. Теория пересечений, раздел 1.2 и Приложение A.3.
2. Проект Stacks, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9
3. Фултон, Теория пересечений, раздел 8.1.
4. Фултон, Теория пересечений, Предложение 1.8.
5. Блох, Алгебраические циклы и высшие K-группы; Воеводский, Триангулированные категории мотивов над полем, раздел 2.2 и предложение 4.2.9.
6. Фултон, Теория пересечений, раздел 19.1
7. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия, т. 1, раздел 12.3.3; т. 2, теорема 9.24.
8. Делинь, Этальные когомологии (SGA 4 1/2), Expose 4.
9. Фултон, Теория пересечений, раздел 3.2 и пример 8.3.3.
10. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия, т. 2, гипотеза 11.21.
11. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия, т. 2, теорема 10.1.
12. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия, т. 2, гл. 11.
13. Фултон, Теория пересечений, Глава 17.
14. Фултон, Уильям; Макферсон, Роберт (1981). Категориальная основа для изучения сингулярных пространств. Американское математическое общество . ISBN 9780821822432.
15. Б. Тотаро, Группы Чжоу, Когомологии Чжоу и линейные многообразия
16. Фултон, Теория пересечений, главы 5, 6, 8.

Вводный

• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо, 3264 и все такое: Второй курс алгебраической геометрии

Передовой

• Блох, Спенсер (1986), «Алгебраические циклы и высшая K -теория», Advances in Mathematics , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN  0001-8708, MR  0852815
• Клод, Шевалле (1958), «Les Classes d'équivalencerationnelle, I», Anneaux de Chow et application , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Клод, Шевалле (1958), «Les Classes d'équivalencerationnelle, II», Anneaux de Chow et application , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Чжоу, Вэй-Лян (1956), «О классах эквивалентности циклов в алгебраическом многообразии», Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi : 10.2307/1969596, ISSN  0003-486X, MR  0082173
• Делинь, Пьер (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, МР  0463174
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, г-н  1644323
• Севери, Франческо (1932), «La serie canonica e la teoria delle serie Principal di gruppi di punti sopra una superficie algebrica», Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi : 10.1007/bf01202721, JFM  58.1229.01
• Воеводский, Владимир (2000), «Триангулированные категории мотивов над полем», Циклы, трансферы и теории мотивной гомологии , Princeton University Press , стр. 188–238, ISBN 9781400837120, г-н  1764202
• Voisin, Claire (2002), Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, МР  1997577