Обратное Мура – ​​Пенроуза

Самая известная обобщенная обратная матрица.

В математике и, в частности , в линейной алгебре , обратная матрица Мура-Пенроуза является наиболее широко известным обобщением обратной матрицы . ^{[1] [2] [3] [4]} Он был независимо описан Э. Х. Муром ^[5] в 1920 году, Арне Бьерхаммаром ^[6] в 1951 году и Роджером Пенроузом ^[7] в 1955 году. Ранее Эрик Ивар Фредхольм ввел Концепция псевдообратного интегрального оператора в 1903 году. При обращении к матрице термин псевдообратный без дальнейшего уточнения часто используется для обозначения обратного Мура – ​​Пенроуза. Термин «обобщенная инверсия» иногда используется как синоним псевдоинверсии. ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$

Псевдообратное обычно используется для вычисления «наилучшего» ( наименьших квадратов ) решения системы линейных уравнений , у которой нет решения (см. ниже в разделе § Приложения). Другое использование — найти минимальное ( евклидово ) нормированное решение системы линейных уравнений с несколькими решениями. Псевдообратное облегчает формулировку и доказательство результатов линейной алгебры.

Псевдообратная определена и уникальна для всех матриц, элементы которых являются действительными или комплексными числами. Его можно вычислить с помощью разложения по сингулярным значениям . В специальном случае, когда нормальная матрица (например, эрмитова матрица), псевдообратная аннулирует ядро ​​и действует как традиционная инверсия на подпространстве , ортогональном ядру. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Обозначения

В последующем обсуждении принимаются следующие соглашения.

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$будет обозначать одно из полей действительных или комплексных чисел, обозначаемых , , соответственно. Векторное пространство матриц над обозначается . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m\times n}}$
• Для обозначается транспонирование и обозначается эрмитово транспонирование (также называемое сопряженным транспонированием ) . Если , то . ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{*}=A^{\operatorname {T} }}$
• Для ( обозначает « диапазон ») обозначает пространство столбцов ( изображение ) (пространство, охватываемое векторами-столбцами ) и обозначает ядро ​​(пустое пространство) из . ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker(A)}$ ${\displaystyle A}$
• Для любого положительного целого числа обозначается единичная матрица . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle I_{n}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$

Определение

Для псевдообратная A определяется как матрица, удовлетворяющая всем следующим четырем критериям, известным как условия Мура – ​​Пенроуза: ^{[7] [8]} ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A^{+}\in \mathbb {K} ^{n\times m}}$

1. ${\displaystyle AA^{+}}$не обязательно должна быть общей единичной матрицей, но она отображает все векторы-столбцы A в себя:
   $${\displaystyle AA^{+}A=\;A.}$$
2. ${\displaystyle A^{+}}$действует как слабая инверсия :
   $${\displaystyle A^{+}AA^{+}=\;A^{+}.}$$
3. ${\displaystyle AA^{+}}$является эрмитовым :
   $${\displaystyle \left(AA^{+}\right)^{*}=\;AA^{+}.}$$
4. ${\displaystyle A^{+}A}$также является эрмитовым:
   $${\displaystyle \left(A^{+}A\right)^{*}=\;A^{+}A.}$$

Заметим, что и являются операторами ортогонального проектирования, как это следует из и . Точнее, проецируется на изображение (эквивалентно диапазону строк ) и проецируется на изображение (эквивалентно диапазону столбцов ). По сути, приведенные выше четыре условия полностью эквивалентны и являются такими ортогональными проекциями: проецирование на образ имплиц и проецирование на образ имплиц . ${\displaystyle A^{+}A}$ ${\displaystyle AA^{+}}$ ${\displaystyle (AA^{+})^{2}=AA^{+}}$ ${\displaystyle (A^{+}A)^{2}=A^{+}A}$ ${\displaystyle A^{+}A}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}A}$ ${\displaystyle AA^{+}}$ ${\displaystyle AA^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (AA^{+})A=A}$ ${\displaystyle A^{+}A}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle (A^{+}A)A^{+}=A^{+}}$

Псевдообратная существует для любой матрицы . Если, кроме того , является полным рангом , то есть его ранг равен , то можно задать особенно простое алгебраическое выражение. В частности: ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \min\{m,n\}}$ ${\displaystyle A^{+}}$

• Когда имеет линейно независимые столбцы (т. е. является инъективным и, следовательно, обратимым), его можно вычислить как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{+}}$
  $${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}.}$$
  Этот конкретный псевдоинверсный является левым инверсным , то есть . ${\displaystyle A^{+}A=I}$
• Если, с другой стороны, имеет линейно независимые строки (т. е. является сюръективным и, следовательно, обратимым), его можно вычислить как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A^{+}}$
  $${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}.}$$
  Это правая инверсия , т.к. ${\displaystyle AA^{+}=I}$

В более общем случае псевдообратное можно выразить, используя разложение по сингулярным значениям . Любую матрицу можно разложить как на некоторые изометрии , так и на диагональную положительную действительную матрицу . Тогда псевдообратное можно записать как . То, что эта матрица удовлетворяет вышеуказанному требованию, непосредственно проверяется наблюдением того, что и , которые являются проекциями на изображение и опору соответственно. ${\displaystyle A=UDV^{*}}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A^{+}=VD^{-1}U^{*}}$ ${\displaystyle AA^{+}=UU^{*}}$ ${\displaystyle A^{+}A=VV^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

Существование и уникальность

Как обсуждалось выше, для любой матрицы существует одна и только одна псевдообратная . ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$

Матрица, удовлетворяющая только первому из приведенных выше условий, а именно , называется обобщенной обратной. Если матрица удовлетворяет также второму условию, а именно , она называется обобщенно -рефлексивной обратной . Обобщенные обратные всегда существуют, но, как правило, не уникальны. Уникальность является следствием двух последних условий. ${\textstyle AA^{+}A=A}$ ${\textstyle A^{+}AA^{+}=A^{+}}$

Основные свойства

Доказательства приведенных ниже свойств можно найти на сайте b: Темы абстрактной алгебры/линейной алгебры.

• Если есть реальные записи, то и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$
• Если является обратимым , его псевдообратным является его инверсия. То есть, . ^{[9] : 243} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}=A^{-1}}$
• Псевдообратной псевдообратной является исходная матрица: . ^{[9] : 245} ${\displaystyle \left(A^{+}\right)^{+}=A}$
• Псевдоинверсия коммутирует с транспозицией, комплексным сопряжением и сопряженным транспонированием: ^{[9] : 245}
  $${\displaystyle \left(A^{\operatorname {T} }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\operatorname {T} },\quad \left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {A^{+}}},\quad \left(A^{*}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{*}.}$$
• Псевдообратным скалярному кратному является обратное кратное : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$
  $${\displaystyle \left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}}$$
  для . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$
• Ker и образ псевдообратного преобразования совпадают с образами сопряженного транспонирования: и . ${\displaystyle \ker \left(A^{+}\right)=\ker \left(A^{*}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} \left(A^{+}\right)=\operatorname {ran} \left(A^{*}\right)}$

Личности

Следующая формула тождества может использоваться для отмены или расширения определенных подвыражений, включающих псевдообратные:

$${\displaystyle A={}A{}A^{*}{}A^{+*}{}={}A^{+*}{}A^{*}{}A.}$$

${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A^{+}={}A^{+}{}A^{+*}{}A^{*}{}={}A^{*}{}A^{+*}{}A^{+},}$$

${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A^{*}={}A^{*}{}A{}A^{+}{}={}A^{+}{}A{}A^{*}.}$$

Приведение к эрмитовому случаю

Вычисление псевдообратного метода сводится к его построению в эрмитовом случае. Это возможно через эквивалентности:

$${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{+}A^{*},}$$

$${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+},}$$

как и эрмитовы. ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$

Псевдообратные произведения

Равенство не имеет места вообще. Вернее, предположим . Тогда следующие утверждения эквивалентны: ^[10] ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n},\ B\in \mathbb {K} ^{n\times p}}$

1. $${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$$
2. $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{+}ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{+}A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}$$
3. $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{+}ABB^{*}\right)^{*}&=A^{+}ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{+}\right)^{*}&=A^{*}ABB^{+}.\end{aligned}}}$$
4. $${\displaystyle A^{+}ABB^{*}A^{*}ABB^{+}=BB^{*}A^{*}A}$$
5. $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{+}AB&=B(AB)^{+}AB,\\BB^{+}A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{+}.\end{aligned}}}$$

Достаточными условиями являются : ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$

1. ${\displaystyle A}$имеет ортонормированные столбцы (тогда ), или ${\displaystyle A^{*}A=A^{+}A=I_{n}}$
2. ${\displaystyle B}$имеет ортонормированные строки (тогда ), или ${\displaystyle BB^{*}=BB^{+}=I_{n}}$
3. ${\displaystyle A}$имеет линейно независимые столбцы (тогда ) и имеет линейно независимые строки (тогда ), или ${\displaystyle A^{+}A=I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BB^{+}=I}$
4. ${\displaystyle B=A^{*}}$, или
5. ${\displaystyle B=A^{+}}$.

Обязательным условием является следующее : ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$

1. ${\displaystyle (A^{+}A)(BB^{+})=(BB^{+})(A^{+}A)}$

Четвертое достаточное условие дает равенства

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}}$$

Вот контрпример, где : ${\displaystyle (AB)^{+}\neq B^{+}A^{+}}$

$${\displaystyle {\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}}$$

Проекторы

${\displaystyle P=AA^{+}}$и являются ортогональными операторами проектирования , т. е. являются эрмитовыми ( , ) и идемпотентными ( и ). Следующие положения имеют место: ${\displaystyle Q=A^{+}A}$ ${\displaystyle P=P^{*}}$ ${\displaystyle Q=Q^{*}}$ ${\displaystyle P^{2}=P}$ ${\displaystyle Q^{2}=Q}$

• ${\displaystyle PA=AQ=A}$и ${\displaystyle A^{+}P=QA^{+}=A^{+}}$
• ${\displaystyle P}$является ортогональным проектором на диапазон ( который равен ортогональному дополнению ядра ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$
• ${\displaystyle Q}$является ортогональным проектором на диапазон (который равен ортогональному дополнению ядра ). ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle I-Q=I-A^{+}A}$является ортогональным проектором на ядро ​​. ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle I-P=I-AA^{+}}$является ортогональным проектором на ядро ​​. ^[8] ${\displaystyle A^{*}}$

Последние два свойства подразумевают следующие тождества:

• ${\displaystyle A\,\ \left(I-A^{+}A\right)=\left(I-AA^{+}\right)A\ \ =0}$
• ${\displaystyle A^{*}\left(I-AA^{+}\right)=\left(I-A^{+}A\right)A^{*}=0}$

Другое свойство следующее: если эрмитова и идемпотентна (истинна тогда и только тогда, когда она представляет собой ортогональный проектор), то для любой матрицы выполняется следующее уравнение: ^[11] ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A(BA)^{+}=(BA)^{+}}$$

Это можно доказать, определив матрицы , и проверив, что они действительно являются псевдообратными для, проверив, что определяющие свойства псевдообратных матриц сохраняются, когда эрмитова и идемпотентна. ${\displaystyle C=BA}$ ${\displaystyle D=A(BA)^{+}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$

Из последнего свойства следует, что если эрмитова и идемпотентна, то для любой матрицы ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{n\times m}}$

$${\displaystyle (AB)^{+}A=(AB)^{+}}$$

Наконец, если – матрица ортогонального проектирования, то ее псевдообратная тривиально совпадает с самой матрицей, т. е. . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}=A}$

Геометрическая конструкция

Если мы рассматриваем матрицу как линейное отображение поля, ее можно разложить следующим образом. Мы пишем для прямой суммы , для ортогонального дополнения , для ядра карты и для образа карты. Обратите внимание, что и . Тогда ограничение является изоморфизмом. Это означает, что on является обратным этому изоморфизму и равен нулю на ${\displaystyle A:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A^{+}:\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle \operatorname {ran} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }}$ ${\displaystyle A:\left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }.}$

Другими словами: чтобы найти заданное в , сначала спроецируйте ортогонально на диапазон , найдя точку в диапазоне. Затем сформируйте , то есть найдите те векторы, которые отправляют в . Это будет аффинное подпространство, параллельное ядру . Элемент этого подпространства, имеющий наименьшую длину (то есть ближайший к началу координат), и есть ответ, который мы ищем. Его можно найти, взяв произвольный член и спроектировав его ортогонально на ортогональное дополнение ядра . ${\displaystyle A^{+}b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(b)}$ ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}b}$ ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$ ${\displaystyle A}$

Это описание тесно связано с решением линейной системы с минимальной нормой.

Предельные отношения

Псевдообратными являются пределы:

$${\displaystyle A^{+}=\lim _{\delta \searrow 0}\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \searrow 0}A^{*}\left(AA^{*}+\delta I\right)^{-1}}$$

Тихоновскую регуляризацию^{[8] : 263} ${\displaystyle \left(AA^{*}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \left(A^{*}A\right)^{-1}}$

Непрерывность

В отличие от обычного обращения матрицы, процесс получения псевдообратных не является непрерывным : если последовательность сходится к матрице (скажем, в максимальной норме или норме Фробениуса ), то не обязательно сходиться к . Однако, если все матрицы имеют тот же ранг, что и , будет сходиться к . ^[12] ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A_{n})^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A_{n})^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$

Производная

Производная вещественной псевдообратной матрицы, имеющей постоянный ранг в точке, может быть вычислена через производную исходной матрицы: ^[13] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{+}(x)=-A^{+}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A\right)A^{+}~+~A^{+}A^{+{\textsf {T}}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\operatorname {T} }\right)\left(I-AA^{+}\right)~+~\left(I-A^{+}A\right)\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}A^{\operatorname {T} }\right)A^{+{\textsf {T}}}A^{+}.}$$

^[14][15]

Примеры

Поскольку для обратимых матриц псевдообратная равна обычной обратной, ниже рассматриваются только примеры необратимых матриц.

• Для псевдоинверсии является Уникальность этой псевдоинверсии можно увидеть из требования , поскольку умножение на нулевую матрицу всегда будет давать нулевую матрицу. ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$ ${\displaystyle A^{+}=A^{+}AA^{+}}$
• Ибо псевдообратная есть . ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$

Действительно, и, таким образом , . Аналогично , и таким образом . ${\displaystyle A\,A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A\,A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A}$ ${\displaystyle A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A^{+}A\,A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+}}$

Обратите внимание, что это не является ни инъективным, ни сюръективным, и, следовательно, псевдообратный не может быть вычислен через ни , поскольку и оба сингулярны, и, кроме того, не является ни левым, ни правым обратным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}$ ${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A^{+}}$

Тем не менее, псевдообратное можно вычислить с помощью SVD, наблюдая за этим и, следовательно , . ${\displaystyle A={\sqrt {2}}\left({\frac {\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}}{\sqrt {2}}}\right)\mathbf {e} _{1}^{*}}$ ${\displaystyle A^{+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\mathbf {e} _{1}\left({\frac {\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}}{\sqrt {2}}}\right)^{*}}$

• Для ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.}$
• Для . Знаменатели здесь . ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$
• Для ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.}$
• Ибо псевдообратная есть . ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

Для этой матрицы существует левая обратная и, таким образом, равна , действительно, ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Особые случаи

Скаляры

Также возможно определить псевдообратное значение для скаляров и векторов. Это равносильно тому, чтобы рассматривать их как матрицы. Псевдообратный скаляр равен нулю, если равен нулю, и обратному значению в противном случае: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{+}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0;\\x^{-1},&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Векторы

Псевдообратным нулевому вектору (все нули) является транспонированный нулевой вектор. Псевдообратным ненулевого вектора является сопряженный транспонированный вектор, деленный на квадрат его величины:

x → + = { 0 → T , if  x → = 0 → ; x → ∗ x → ∗ x → , otherwise . {\displaystyle {\vec {x}}^{+}={\begin{cases}{\vec {0}}^{\operatorname {T} },&{\text{if }}{\vec {x}}={\vec {0}};

Псевдообратная диагональная матрица в квадрате получается путем взятия обратной величины ненулевых диагональных элементов. Формально, если - квадратная диагональная матрица с и , то . В более общем смысле, если это любая прямоугольная матрица, единственные ненулевые элементы которой находятся на диагонали, что означает , , то это прямоугольная матрица, диагональные элементы которой являются обратными исходным, то есть . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D={\tilde {D}}\oplus \mathbf {0} _{k\times k}}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}>0}$ ${\displaystyle D^{+}={\tilde {D}}^{-1}\oplus \mathbf {0} _{k\times k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A_{ij}=\delta _{ij}a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A_{ii}\neq 0\implies A_{ii}^{+}=1/A_{ii}}$

Линейно независимые колонны

Если ранг идентичен рангу его столбца , , (для ,) существуют линейно независимые столбцы и обратим. В этом случае явная формула имеет вид: ^[16] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\leq m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

$${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}.}$$

Отсюда следует, что тогда это левая инверсия :   . ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}A=I_{n}}$

Линейно независимые строки

Если ранг идентичен рангу строки , , (для ,) существуют линейно независимые строки и обратим. В этом случае явная формула имеет вид: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle AA^{*}}$

$${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}.}$$

Отсюда следует, что является правой обратной :   . ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA^{+}=I_{m}}$

Ортонормированные столбцы или строки

Это особый случай либо полного ранга столбца, либо полного ранга строки (рассмотрено выше). Если имеются ортонормированные столбцы ( ) или ортонормированные строки ( ), то: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=I_{n}}$ ${\displaystyle AA^{*}=I_{m}}$

$${\displaystyle A^{+}=A^{*}.}$$

Нормальные матрицы

Если является нормальным , то есть он коммутирует со своим сопряженным транспонированием, то его псевдообратное можно вычислить путем его диагонализации, отображения всех ненулевых собственных значений в их обратные и отображения нулевых собственных значений в ноль. Следствием является то, что коммутация с его транспонированием подразумевает, что он коммутирует со своим псевдообратным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

EP-матрицы

(Квадратная) матрица называется матрицей EP, если она коммутирует со своей псевдообратной. В таких случаях (и только в таких случаях) можно получить псевдообратный полином от . Полином, такой, что можно легко получить из характеристического многочлена или, в более общем смысле, из любого аннулирующего многочлена . ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle A^{+}=p(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Матрицы ортогональных проекций

Это частный случай нормальной матрицы с собственными значениями 0 и 1. Если – матрица ортогонального проектирования, то есть и , то псевдообратная тривиально совпадает с самой матрицей: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}}$ ${\displaystyle A^{2}=A}$

$${\displaystyle A^{+}=A.}$$

Циркулянтные матрицы

Для циркулянтной матрицы разложение по сингулярным значениям задается преобразованием Фурье , то есть сингулярные значения являются коэффициентами Фурье. Пусть – матрица дискретного преобразования Фурье (ДПФ) ; тогда ^[18] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\mathcal {F}}\cdot \Sigma \cdot {\mathcal {F}}^{*},\\C^{+}&={\mathcal {F}}\cdot \Sigma ^{+}\cdot {\mathcal {F}}^{*}.\end{aligned}}}$$

Строительство

Разложение рангов

Пусть обозначает ранг . _ Тогда можно (ранг) разложить как где и имеют ранг . Затем . ${\displaystyle r\leq \min(m,n)}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=BC}$ ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{m\times r}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {K} ^{r\times n}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A^{+}=C^{+}B^{+}=C^{*}\left(CC^{*}\right)^{-1}\left(B^{*}B\right)^{-1}B^{*}}$

QR-метод

Явное вычисление произведения или их обратных чисел на практике часто является источником ошибок числового округления и затрат на вычисления. Вместо этого можно использовать альтернативный подход с использованием QR -разложения . ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A}$

Рассмотрим случай, когда имеет полный ранг столбца, так что . Тогда можно использовать разложение Холецкого , где – верхняя треугольная матрица . Умножение на обратное затем легко выполняется путем решения системы с несколькими правыми частями: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}A=R^{*}R}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad \left(A^{*}A\right)A^{+}=A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad R^{*}RA^{+}=A^{*}}$$

которую можно решить прямой заменой с последующей обратной заменой .

Разложение Холецкого можно вычислить без явного формирования , альтернативно используя QR-разложение , где имеет ортонормированные столбцы, и является верхнетреугольным. Затем ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A=QR}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q^{*}Q=I}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle A^{*}A\,=\,(QR)^{*}(QR)\,=\,R^{*}Q^{*}QR\,=\,R^{*}R,}$$

то же самое относится и к фактору Холецкого . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

Случай полного ранга строки рассматривается аналогично с использованием формулы и аналогичного аргумента, меняя роли и . ${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Использование полиномов в матрицах

Для произвольного имеем нормальную и, как следствие, матрицу EP. Тогда Она сможет найти такой полином , что . В этом случае псевдообратная функция имеет вид ^[17] ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle (A^{*}A)^{+}=p(A^{*}A)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A^{+}=p(A^{*}A)A^{*}=A^{*}p(AA^{*}).}$$

Разложение по сингулярным значениям (SVD)

Вычислительно простой и точный способ вычисления псевдообратного значения — использование разложения по сингулярным значениям . ^{[16] [8] [19]} Если - разложение по сингулярным значениям , то . Для прямоугольной диагональной матрицы, такой как , мы получаем псевдообратную величину, беря обратную величину каждого ненулевого элемента на диагонали, оставляя нули на месте, а затем транспонируя матрицу. В численных вычислениях только элементы, превышающие некоторый малый допуск, считаются ненулевыми, а остальные заменяются нулями. Например, в функции MATLAB или GNU Octave pinv допуск принимается равным t = ε⋅max( m , n )⋅max(Σ) , где ε — машинный эпсилон . ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

В вычислительных затратах этого метода преобладает стоимость вычисления SVD, которая в несколько раз превышает стоимость умножения матриц на матрицы, даже если используется современная реализация (например, LAPACK ) .

Приведенная выше процедура показывает, почему получение псевдообратного преобразования не является непрерывной операцией: если исходная матрица имеет сингулярное значение 0 (диагональный элемент матрицы выше), то небольшая модификация может превратить этот ноль в крошечное положительное число, тем самым повлияв на псевдообратное число. драматично, поскольку теперь нам приходится брать обратную величину крошечного числа. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle A}$

Блочные матрицы

Существуют оптимизированные подходы для расчета псевдообратных матриц с блочной структурой.

Итерационный метод Бен-Исраэля и Коэна

Другой метод вычисления псевдообратного (см. обратное Дразина ) использует рекурсию

$${\displaystyle A_{i+1}=2A_{i}-A_{i}AA_{i},}$$

которую иногда называют последовательностью гипермощности. Эта рекурсия создает последовательность, квадратично сходящую к псевдообратной, если она начинается с соответствующего удовлетворяющего . Утверждается, что выбор (где , с обозначением наибольшего сингулярного значения ) ^[20] неконкурентен методу с использованием упомянутого выше SVD, поскольку даже для умеренно плохо обусловленных матриц требуется много времени, прежде чем он попадет в область квадратичная сходимость. ^[21] Однако, если начать с уже близкого к обратному Мура-Пенроуза и , например , сходимости будет быстрой (квадратичной). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}}$ ${\displaystyle A_{0}=\alpha A^{*}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <2/\sigma _{1}^{2}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}}$

Обновление псевдоинверсии

Для случаев, когда имеет полный ранг строки или столбца и обратная корреляционная матрица ( для полного ранга строки или для полного ранга столбца) уже известна, псевдообратная для матриц, связанных с, может быть вычислена путем применения формулы Шермана-Моррисона- Формула Вудбери для обновления обратной корреляционной матрицы, что может потребовать меньше усилий. В частности, если связанная матрица отличается от исходной только измененной, добавленной или удаленной строкой или столбцом, существуют дополнительные алгоритмы, использующие эту взаимосвязь. ^{[22] [23]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A}$

Аналогичным образом можно обновить коэффициент Холецкого при добавлении строки или столбца, не создавая явно обратную матрицу корреляции. Однако обновление псевдоинверсии в общем случае с дефицитом ранга гораздо сложнее. ^{[24] [25]}

Библиотеки программного обеспечения

Качественные реализации SVD, QR и обратной замены доступны в стандартных библиотеках, таких как LAPACK . Написание собственной реализации SVD — это крупный программный проект, требующий значительных вычислительных знаний . Однако в особых обстоятельствах, таких как параллельные вычисления или встроенные вычисления , альтернативные реализации с помощью QR или даже использование явной обратной операции могут быть предпочтительными, а пользовательские реализации могут быть неизбежными.

Пакет Python NumPy обеспечивает псевдообратные вычисления с помощью своих функций matrix.Iи linalg.pinv; он pinvиспользует алгоритм на основе SVD. SciPy добавляет функцию scipy.linalg.pinv, которая использует решатель наименьших квадратов.

Пакет MASS для R обеспечивает вычисление обратной функции Мура – ​​Пенроуза с помощью этой ginvфункции. ^[26] Функция ginvвычисляет псевдообратную, используя разложение по сингулярным значениям, предоставляемое функцией svdв базовом пакете R. Альтернативой является использование pinvфункции, доступной в пакете pracma.

Язык программирования Octave обеспечивает псевдоинверсию через стандартную функцию пакета pinvи pseudo_inverse()метод.

В Julia (язык программирования) пакет LinearAlgebra стандартной библиотеки обеспечивает реализацию обратного Мура-Пенроуза, pinv()реализуемую посредством разложения по сингулярным значениям. ^[27]

Приложения

Линейный метод наименьших квадратов

Псевдообратное обеспечивает решение системы линейных уравнений методом наименьших квадратов . ^[28] При задана система линейных уравнений ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle Ax=b,}$$

в общем случае вектор , решающий систему, может не существовать, а если он и существует, то не быть уникальным. Более конкретно, решение существует тогда и только тогда, когда находится в образе , и уникально тогда и только тогда, когда оно инъективно. Псевдообратная задача решает задачу «наименьших квадратов» следующим образом: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {K} ^{n}}$, имеем где и обозначает евклидову норму . Это слабое неравенство выполняется с равенством тогда и только тогда, когда для любого вектора ; это обеспечивает бесконечное количество минимизирующих решений, если только он не имеет полного ранга столбца, и в этом случае это нулевая матрица. ^[29] Решение с минимальной евклидовой нормой: ^[29] ${\displaystyle \left\|Ax-b\right\|_{2}\geq \left\|Az-b\right\|_{2}}$ ${\displaystyle z=A^{+}b}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle x=A^{+}b+\left(I-A^{+}A\right)w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(I-A^{+}A\right)}$ ${\displaystyle z.}$

Этот результат легко распространяется на системы с кратными правыми частями, когда евклидова норма заменяется нормой Фробениуса. Позволять . ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{m\times p}}$

• ${\displaystyle \forall X\in \mathbb {K} ^{n\times p}}$, имеем где и обозначает норму Фробениуса . ${\displaystyle \|AX-B\|_{\mathrm {F} }\geq \|AZ-B\|_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle Z=A^{+}B}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathrm {F} }}$

Получение всех решений линейной системы

Если линейная система

$${\displaystyle Ax=b}$$

имеет какие-либо решения, все они заданы формулой ^[30]

$${\displaystyle x=A^{+}b+\left[I-A^{+}A\right]w}$$

для произвольного вектора . Решение(я) существует тогда и только тогда, когда . ^[30] Если последнее верно, то решение уникально тогда и только тогда, когда имеет полный ранг столбца, и в этом случае это нулевая матрица. Если решения существуют, но не имеют полного ранга столбца, то мы имеем неопределенную систему , все бесконечные решения которой задаются этим последним уравнением. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle AA^{+}b=b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I-A^{+}A}$ ${\displaystyle A}$

Решение минимальной нормы линейной системы

Для линейных систем с неединственными решениями (например, недоопределенных систем) псевдообратное можно использовать для построения решения минимальной евклидовой нормы среди всех решений. ${\displaystyle Ax=b,}$ ${\displaystyle \|x\|_{2}}$

• Если выполнимо, то вектор является решением и удовлетворяет всем решениям. ${\displaystyle Ax=b}$ ${\displaystyle z=A^{+}b}$ ${\displaystyle \|z\|_{2}\leq \|x\|_{2}}$

Этот результат легко распространяется на системы с кратными правыми частями, когда евклидова норма заменяется нормой Фробениуса. Позволять . ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{m\times p}}$

• Если выполнимо, матрица является решением и удовлетворяет всем решениям. ${\displaystyle AX=B}$ ${\displaystyle Z=A^{+}B}$ ${\displaystyle \|Z\|_{\mathrm {F} }\leq \|X\|_{\mathrm {F} }}$

Номер условия

Используя псевдообратное и матричную норму , можно определить число обусловленности для любой матрицы:

$${\displaystyle {\mbox{cond}}(A)=\|A\|\left\|A^{+}\right\|.}$$

Большое число обусловленности означает, что задача поиска решений методом наименьших квадратов соответствующей системы линейных уравнений плохо обусловлена ​​в том смысле, что небольшие ошибки в записях могут привести к огромным ошибкам в записях решения. ^[31] ${\displaystyle A}$

Обобщения

Чтобы решить более общие задачи наименьших квадратов, можно определить обратные Мура – ​​Пенроуза для всех непрерывных линейных операторов между двумя гильбертовыми пространствами и , используя те же четыре условия, что и в нашем определении выше. Оказывается, не всякий непрерывный линейный оператор имеет в этом смысле непрерывный линейный псевдообратный. ^[31] Те, кто это делает, — это именно те, чей диапазон ограничен в . ${\displaystyle A:H_{1}\rightarrow H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Понятие псевдообратного существует для матриц над произвольным полем , наделенных произвольным инволютивным автоморфизмом . В этом более общем случае данная матрица не всегда имеет псевдообратную. Необходимым и достаточным условием существования псевдообратного является то , что , где обозначает результат применения операции инволюции к транспонированию . Когда оно существует, оно уникально. ^[32] Пример : рассмотрим поле комплексных чисел, снабженное тождественной инволюцией (в отличие от инволюции, рассматриваемой в другом месте статьи); существуют ли матрицы, которые не имеют псевдообратных в этом смысле? Рассмотрим матрицу . Обратите внимание на это, пока . Таким образом, эта матрица не имеет псевдообратной в этом смысле. ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} \left(A^{*}A\right)=\operatorname {rank} \left(AA^{*}\right)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&i\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} \left(AA^{\operatorname {T} }\right)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} \left(A^{\operatorname {T} }A\right)=0}$

В абстрактной алгебре инверсия Мура-Пенроуза может быть определена на *-регулярной полугруппе . Это абстрактное определение совпадает с определением в линейной алгебре.

Смотрите также

• Дразин инверсный
• Матрица шляпы
• Обратный элемент
• Линейный метод наименьших квадратов (математика)
• Псевдодетерминант
• Обычное кольцо фон Неймана

Примечания

1. Бен-Исраэль и Гревилл 2003, с. 7.
2. Кэмпбелл и Мейер 1991, с. 10.
3. Накамура 1991, с. 42.
4. Рао и Митра 1971, с. 50–51.
5. Мур, Э.Х. (1920). «Об обратной общей алгебраической матрице». Бюллетень Американского математического общества . 26 (9): 394–95. дои : 10.1090/S0002-9904-1920-03322-7 .
6. Бьерхаммар, Арне (1951). «Применение матричного исчисления к методу наименьших квадратов; со специальными ссылками на геодезические расчеты». Пер. Рой. Инст. Тех. Стокгольм . 49 .
7. Пенроуз, Роджер (1955). «Обобщенное обратное для матриц». Труды Кембриджского философского общества . 51 (3): 406–13. Бибкод : 1955PCPS...51..406P. дои : 10.1017/S0305004100030401 .
8. Голуб, Джин Х .; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Балтимор: Джонс Хопкинс. стр. 257–258. ISBN 978-0-8018-5414-9.
9. Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002). Введение в численный анализ (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95452-3..
10. Гревилл, Теннесси (1 октября 1966). «Примечание об обобщенном обратном матричном произведении». Обзор СИАМ . 8 (4): 518–521. Бибкод : 1966SIAMR...8..518G. дои : 10.1137/1008107. ISSN  0036-1445.
11. Мациевский, Энтони А.; Кляйн, Чарльз А. (1985). «Обход препятствий для кинематически избыточных манипуляторов в динамически изменяющихся средах». Международный журнал исследований робототехники . 4 (3): 109–117. дои : 10.1177/027836498500400308. HDL : 10217/536 . S2CID  17660144.
12. Ракочевич, Владимир (1997). «О непрерывности обратных Мура – ​​Пенроуза и Дрейзина» (PDF) . Математический весник . 49 : 163–72.
13. Голуб, Г.Х.; Перейра, В. (апрель 1973 г.). «Дифференциация псевдообратных и нелинейных задач наименьших квадратов, переменные которых разделяются». SIAM Journal по численному анализу . 10 (2): 413–32. Бибкод : 1973SJNA...10..413G. дои : 10.1137/0710036. JSTOR  2156365.
14. Хьёрунгнес, Аре (2011). Производные комплексных матриц: с применением в обработке сигналов и связи . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 52. ИСБН 9780521192644.
15. Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц; Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих; Баксалари, Оскар Мария (2023). «Профессор Хайнц Нойдекер и матричное дифференциальное исчисление». Статистические документы . doi : 10.1007/s00362-023-01499-w.
16. Бен-Исраэль и Гревилл 2003.
17. Баджо, И. (2021). «Вычисление обратных операций Мура – ​​Пенроуза с полиномами в матрицах». Американский математический ежемесячник . 128 (5): 446–456. дои : 10.1080/00029890.2021.1886840.
18. Столлингс, WT; Бульон, ТЛ (1972). «Псевдообратная r -циркулянтная матрица». Труды Американского математического общества . 34 (2): 385–88. дои : 10.2307/2038377. JSTOR  2038377.
19. Линейные системы и псевдообратные
20. Бен-Исраэль, Ади; Коэн, Дэн (1966). «Об итеративном вычислении обобщенных обратных и связанных с ними проекций». SIAM Journal по численному анализу . 3 (3): 410–19. Бибкод : 1966SJNA....3..410B. дои : 10.1137/0703035. JSTOR  2949637.PDF
21. Седерстрем, Торстен; Стюарт, GW (1974). «О численных свойствах итерационного метода вычисления обобщенного обратного Мура – ​​Пенроуза». SIAM Journal по численному анализу . 11 (1): 61–74. Бибкод : 1974SJNA...11...61S. дои : 10.1137/0711008. JSTOR  2156431.
22. Грамс, Тино (1992). Worterkennung mit einem künstlichen Neuronalen Netzwerk (докторская диссертация). Университет Георга Августа в Геттингене. ОСЛК  841706164.
23. Эмтияз, Мохаммад (27 февраля 2008 г.). «Обновление обратной матрицы при добавлении/удалении столбца» (PDF) .
24. Мейер, Карл Д. младший (1973). «Обобщенные обратные и ранги блочных матриц». СИАМ J. Appl. Математика . 25 (4): 597–602. дои : 10.1137/0125057.
25. Мейер, Карл Д. младший (1973). «Обобщенное обращение модифицированных матриц». СИАМ J. Appl. Математика . 24 (3): 315–23. дои : 10.1137/0124033.
26. «R: Обобщенная обратная матрица».
27. "ЛинейнаяАлгебра.pinv".
28. Пенроуз, Роджер (1956). «О наилучшем приближенном решении линейных матричных уравнений». Труды Кембриджского философского общества . 52 (1): 17–19. Бибкод : 1956PCPS...52...17P. дои : 10.1017/S0305004100030929. S2CID  122260851.
29. Планитц, М. (октябрь 1979 г.). «Несовместные системы линейных уравнений». Математический вестник . 63 (425): 181–85. дои : 10.2307/3617890. JSTOR  3617890. S2CID  125601192.
30. Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенная инверсия». Математический вестник . 62 (420): 109–14. дои : 10.1017/S0025557200086460. S2CID  126385532.
31. Хаген, Роланд; Рох, Штеффен; Зильберманн, Бернд (2001). «Раздел 2.1.2». C*-алгебры и численный анализ . ЦРК Пресс.
32. Перл, Мартин Х. (1 октября 1968). «Обобщенные обратные матрицы с элементами, взятыми из произвольного поля». Линейная алгебра и ее приложения . 1 (4): 571–587. дои : 10.1016/0024-3795(68)90028-1 . ISSN  0024-3795.

Рекомендации

• Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Н.Э. (2003). Обобщенные обратные: Теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Кэмпбелл, СЛ; Мейер, CD-младший (1991). Обобщенные обратные линейные преобразования . Дувр. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Накамура, Ёсихико (1991). Передовая робототехника: резервирование и оптимизация . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0201151985.
• Рао, К. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 240. ИСБН 978-0-471-70821-6.

Внешние ссылки

• Псевдообратная в PlanetMath .
• Интерактивная программа и учебное пособие по псевдоинверсии Мура – ​​Пенроуза
• Обобщенное обратное Мура-Пенроуза в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Псевдообратная». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсия Мура – ​​Пенроуза». Математический мир .
• Псевдообратная связь Мура–Пенроуза. Учебный обзор теории
• Онлайн калькулятор обратной Мура – ​​Пенроуза