stringtranslate.com

Невыпуклость (экономика)

Невыпуклость (экономика) включена в коды классификации JEL как JEL:  C65.

В экономике невыпуклость относится к нарушениям предположений о выпуклости элементарной экономики . Базовые учебники по экономике концентрируются на потребителях с выпуклыми предпочтениями (которые не предпочитают крайности промежуточным значениям) и выпуклыми бюджетными множествами , а также на производителях с выпуклыми производственными множествами ; для выпуклых моделей прогнозируемое экономическое поведение хорошо понятно. [1] [2] Когда предположения о выпуклости нарушаются, то многие из хороших свойств конкурентных рынков не обязательно должны выполняться: Таким образом, невыпуклость связана с провалами рынка , [3] [4] когда спрос и предложение различаются или когда рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклые экономики изучаются с помощью негладкого анализа , который является обобщением выпуклого анализа . [8] [9] [10] [11]

Спрос со стороны многих потребителей

Если набор предпочтений невыпуклый , то некоторые цены определяют бюджетную линию, которая поддерживает две отдельные оптимальные корзины. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и, кроме того, что бюджета зоопарка достаточно для одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка рассматривает любое животное как одинаково ценное. В этом случае зоопарк купит либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный смотритель зоопарка не хочет покупать половину орла и половину льва. Таким образом, предпочтения смотрителя зоопарка невыпуклые: смотритель зоопарка предпочитает иметь любое животное, чем иметь любую строго выпуклую комбинацию обоих.

Если предпочтения потребителей имеют вогнутости, то линейные бюджеты не обязательно должны поддерживать равновесие : потребители могут переключаться между двумя отдельными распределениями (равной полезности ).

Когда множество предпочтений потребителя невыпуклое, то (для некоторых цен) спрос потребителя не связан ; несвязанный спрос подразумевает некоторое прерывистое поведение потребителя, как об этом говорил Гарольд Хотеллинг :

Если рассматривать кривые безразличия для покупок как имеющие волнообразный характер, выпуклые к началу координат в некоторых областях и вогнутые в других, то мы вынуждены прийти к выводу, что только части, выпуклые к началу координат, можно считать имеющими какое-либо значение, поскольку другие по сути ненаблюдаемы. Их можно обнаружить только по разрывам, которые могут возникнуть в спросе при изменении ценовых соотношений, что приводит к резкому скачку точки касания через пропасть при повороте прямой линии. Но, хотя такие разрывы могут обнаружить существование пропастей, они никогда не могут измерить их глубину. Вогнутые части кривых безразличия и их многомерные обобщения, если они существуют, должны навсегда остаться в неизмеримой неизвестности. [12]

Трудности изучения невыпуклых предпочтений подчеркивались Германом Уолдом [13] и Полом Самуэльсоном , который писал, что невыпуклости «окутаны вечной тьмой...» [14] , согласно Диверту. [15]

Когда предположения о выпуклости нарушаются, то многие из хороших свойств конкурентных рынков не обязательно должны выполняться: Таким образом, невыпуклость связана с провалами рынка , когда спрос и предложение различаются или когда рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] Невыпуклые предпочтения были освещены с 1959 по 1961 год серией статей в The Journal of Political Economy ( JPE ). Основными авторами были Майкл Фаррелл , [16] Фрэнсис Батор, [17] Тьяллинг Купманс , [18] и Джером Ротенберг. [19] В частности, в статье Ротенберга обсуждалась приблизительная выпуклость сумм невыпуклых множеств. [20] Эти статьи JPE стимулировали статью Ллойда Шепли и Мартина Шубика , в которой рассматривались выпуклые потребительские предпочтения и была введена концепция «приблизительного равновесия». [21] Статьи JPE и статья Шепли–Шубика повлияли на другое понятие «квазиравновесия», принадлежащее Роберту Ауманну . [22] [23]

Невыпуклые множества были включены в теории общего экономического равновесия. [24] Эти результаты описаны в учебниках для выпускников по микроэкономике , [25] общей теории равновесия, [26] теории игр , [27] математической экономике , [28] и прикладной математике (для экономистов). [29] Лемма Шепли-Фолкмана устанавливает, что невыпуклости совместимы с приблизительными равновесиями на рынках со многими потребителями; эти результаты также применимы к производственным экономикам со многими малыми фирмами . [30]

Поставка с небольшим количеством производителей

Невыпуклость важна в условиях олигополий и особенно монополий . [8] Опасения относительно крупных производителей, эксплуатирующих рыночную власть, инициировали литературу о невыпуклых множествах, когда Пьеро Сраффа писал о фирмах с возрастающей отдачей от масштаба в 1926 году, [31] после чего Гарольд Хотеллинг написал о ценообразовании на основе предельных издержек в 1938 году. [32] И Сраффа, и Хотеллинг осветили рыночную власть производителей без конкурентов, явно стимулируя литературу о стороне предложения в экономике. [33]

Современная экономика

Недавние исследования в области экономики признали невыпуклость в новых областях экономики. В этих областях невыпуклость связана с провалами рынка , где равновесия не обязательно должны быть эффективными или где не существует конкурентного равновесия, поскольку спрос и предложение различаются. [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклые множества возникают также с экологическими товарами (и другими внешними эффектами ), [6] [7] и с провалами рынка, [3] и государственной экономикой . [5] [34] Невыпуклости возникают также с информационной экономикой , [35] и с фондовыми рынками [8] (и другими неполными рынками ). [36] [37] Такие приложения продолжали мотивировать экономистов изучать невыпуклые множества. [1] В некоторых случаях нелинейное ценообразование или торги могут преодолеть провалы рынков с конкурентным ценообразованием; в других случаях регулирование может быть оправдано.

Оптимизация с течением времени

Ранее упомянутые приложения касаются невыпуклостей в конечномерных векторных пространствах , где точки представляют товарные пакеты. Однако экономисты также рассматривают динамические проблемы оптимизации с течением времени, используя теории дифференциальных уравнений , динамических систем , стохастических процессов и функционального анализа : Экономисты используют следующие методы оптимизации:

В этих теориях регулярные проблемы включают выпуклые функции, определенные на выпуклых областях, и эта выпуклость позволяет упростить методы и экономически осмысленные интерпретации результатов. [43] [44] [45] В экономике динамическое программирование использовалось Мартином Бекманном и Ричардом Ф. Мутом для работы над теорией запасов и теорией потребления. [46] Роберт К. Мертон использовал динамическое программирование в своей статье 1973 года о модели межвременного ценообразования капитальных активов . [47] (См. также задачу портфеля Мертона ). В модели Мертона инвесторы выбирали между доходом сегодня и будущим доходом или приростом капитала, и их решение находится с помощью динамического программирования. Стоки, Лукас и Прескотт используют динамическое программирование для решения задач в экономической теории, задач, связанных со случайными процессами. [48] Динамическое программирование использовалось в оптимальном экономическом росте , извлечении ресурсов , задачах принципала-агента , государственных финансах , бизнес- инвестициях , ценообразовании активов , предложении факторов производства и промышленной организации . Льюнгквист и Сарджент применяют динамическое программирование для изучения различных теоретических вопросов в денежно-кредитной политике , фискальной политике , налогообложении , экономическом росте, теории поиска и экономике труда . [49] Диксит и Пиндайк использовали динамическое программирование для бюджетирования капиталовложений . [50] Для динамических задач невыпуклости также связаны с провалами рынка, [51] так же, как и для задач с фиксированным временем. [52]

Негладкий анализ

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . Выпуклый анализ сосредотачивается на выпуклых множествах и выпуклых функциях, для которых он дает мощные идеи и ясные результаты, но он не подходит для анализа невыпуклостей, таких как возрастающая отдача от масштаба. [53] «Невыпуклости в [как] производстве, так и потреблении... требовали математических инструментов, которые выходили за рамки выпуклости, и дальнейшее развитие должно было ждать изобретения негладкого исчисления»: например, дифференциальное исчисление Кларка для непрерывных по Липшицу функций , которое использует теорему Радемахера и которое описано Рокафелларом и Ветсом (1998) [54] и Мордуховичем (2006), [9] согласно Хану (2008). [10] Браун (1995, стр. 1967–1968) писал, что «главным методологическим новшеством в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «введение методов негладкого анализа как [синтеза] глобального анализа (дифференциальной топологии) и [выпуклого] анализа». Согласно Брауну (1995, стр. 1966) , «негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичную аппроксимацию выпуклых множеств касательными конусами на множества», которые могут быть негладкими или невыпуклыми. [11] [55]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abcde Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь (первое изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 653–661. дои : 10.1057/9780230226203.3173. ISBN 9780333786765.
  2. ^ Грин, Джерри ; Хеллер, Уолтер П. (1981). "1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике". В Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, том  I. Справочники по экономике. Том 1. Амстердам: North-Holland Publishing Co. стр. 15–52. doi :10.1016/S1573-4382(81)01005-9. ISBN 0-444-86126-2. МР  0634800.
  3. ^ аб Саланье, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика рыночных провалов (английский перевод французской Microéconomie: Les défaillances du Marché (1998 г.) (Economica, Париж) изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 107–125. ISBN 0-262-19443-0.
  4. ^ abc Salanié (2000, стр. 36)
  5. ^ abc Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости». Fondements de L'Economie Publique [ Основы общественной экономики ]. Массачусетский технологический институт. стр. 63–65. ISBN 0-262-12127-1.
  6. ^ abc Starrett, David A. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории внешних эффектов». Журнал экономической теории . 4 (2): 180–199. doi :10.1016/0022-0531(72)90148-2. MR  0449575.
  7. ^ abc Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Баумол, Уильям Дж .; Оутс, Уоллес Э.; с участием В. С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (1988). «8 Вредных внешних эффектов и невыпуклостей в производственном множестве». Теория экологической политики (Второе издание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-31112-0.
  8. ^ abcde Страница 1: Guesnerie, Roger (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклых экономиках». Econometrica . 43 (1): 1–29. doi :10.2307/1913410. JSTOR  1913410. MR  0443877.( "Errata". Econometrica . Vol. 43, no. 5–6. 1975. p. 1010. doi :10.2307/1911353. JSTOR  1911353. MR  0443878.)
  9. ^ ab Мордухович, Борис С. (2006). "Глава 8 Приложения к экономике". Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование  II : Приложения . Основные принципы математических наук. Том 331. Springer. особенно Раздел 8.5.3 "Введите невыпуклость" (и оставшуюся часть главы), в частности, стр. 495. ISBN 978-3-540-25438-6. МР  2191745.

  10. ^ ab Khan, M. Ali (2008). «Совершенная конкуренция». В Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (ред.). Новый экономический словарь Palgrave (второе изд.). Palgrave Macmillan. стр. 354–365. doi :10.1057/9780230226203.1267. ISBN 978-0-333-78676-5.
  11. ^ ab Brown, Donald J. (1991). "36 Анализ равновесия с невыпуклыми технологиями". В Hildenbrand, Werner ; Sonnenschein, Hugo (ред.). Справочник по математической экономике, том  IV. Справочники по экономике. Том 1. Амстердам: North-Holland Publishing Co. стр. 1963–1995 [1966]. doi :10.1016/S1573-4382(05)80011-6. ISBN 0-444-87461-5. МР  1207195.
  12. ^ Хотеллинг (1935, стр. 74): Хотеллинг, Гарольд (январь 1935). «Функции спроса с ограниченными бюджетами». Econometrica . 3 (1): 66–78. doi :10.2307/1907346. JSTOR  1907346.
  13. ↑ Страницы 231 и 239 (Рисунок 10 a–b: Иллюстрация леммы 5 [страница 240]): Wold, Herman (1943b). «Синтез анализа чистого спроса  II ». Skandinavisk Aktuarietidskrift [Скандинавский актуарный журнал] . Том 26. С. 220–263. MR  0011939.

    Упражнение 45, стр. 146: Wold, Herman ; Juréen, Lars (совместно с Wold) (1953). "8 Некоторые дополнительные применения полей предпочтений (стр. 129–148)". Анализ спроса: исследование по эконометрике . Публикации Wiley по статистике. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc. Стокгольм: Almqvist and Wiksell. MR  0064385.

  14. ^ Самуэльсон (1950, стр. 359–360):

    Следует отметить, что любая точка, где кривые безразличия выпуклые, а не вогнутые, не может наблюдаться на конкурентном рынке. Такие точки окутаны вечной тьмой — если только мы не сделаем нашего потребителя монопсонистом и не позволим ему выбирать между товарами, лежащими на очень выпуклой «бюджетной кривой» (вдоль которой он влияет на цену того, что покупает). В этом случае монопсонии мы все еще могли бы вывести наклон кривой безразличия человека из наклона наблюдаемого ограничения в точке равновесия.

    В качестве эпиграфа к седьмой главе «Рынки с невыпуклыми предпочтениями и производство», представляя Старра (1969) , Эрроу и Хан (1971, стр. 169), цитируют описание (невыпуклого) Сербского болота, данное Джоном Мильтоном в «Потерянном рае » (книга II, строки 592–594):

    Пропасть глубокая, как Сербонское болото

    Между Дамиатой и старой горой Касий,

    Где затонули целые армии.

  15. ^ Диверт (1982, стр. 552–553).
  16. ^ Фаррелл, М. Дж. (август 1959 г.). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков». Журнал политической экономии . 67 (4): 371–391. doi :10.1086/258197. JSTOR  1825163. S2CID  153653926.Фаррелл, М. Дж. (октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 484–489. doi :10.1086/258541. JSTOR  1828538. S2CID  154398283. Фаррелл, М. Дж. (октябрь 1961b). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 493. doi :10.1086/258544. JSTOR  1828541. S2CID  154200859.
  17. ^ Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках». Журнал политической экономии . 69 (5): 480–483. doi :10.1086/258540. JSTOR  1828537. S2CID  153979194. Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961b). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 489. doi :10.1086/258542. JSTOR  1828539. S2CID  154255876.
  18. ^ Купманс, Тьяллинг К. (октябрь 1961 г.). «Предположения о выпуклости, эффективность распределения ресурсов и конкурентное равновесие». Журнал политической экономии . 69 (5): 478–479. doi :10.1086/258539. JSTOR  1828536. S2CID  154831335.

    Купманс (1961, стр. 478) и другие — например, Фаррелл (1959, стр. 390–391) и Фаррелл (1961a, стр. 484), Батор (1961a, стр. 482–483), Ротенберг (1960, стр. 438) и Старр (1969, стр. 26) — прокомментировали Купманса (1957, стр. 1–126, особенно 9–16 [1.3 Суммирование множеств возможностей], 23–35 [1.6 Выпуклые множества и ценовые последствия оптимальности] и 35–37 [1.7 Роль предположений о выпуклости в анализе]):

    Купманс, Тьяллинг К. (1957). «Распределение ресурсов и система цен». В Купманс, Тьяллинг К. (ред.). Три очерка о состоянии экономической науки . Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Company. стр. 1–126. ISBN 0-07-035337-9.

  19. ^ Ротенберг (1960, стр. 447): Ротенберг, Джером (октябрь 1960). «Невыпуклость, агрегация и оптимальность по Парето». Журнал политической экономии . 68 (5): 435–468. doi :10.1086/258363. JSTOR  1830308. S2CID  154192326.( Ротенберг, Джером (октябрь 1961 г.). «Комментарии о невыпуклости». Журнал политической экономии . 69 (5): 490–492. doi :10.1086/258543. JSTOR  1828540. S2CID  154070123.)
  20. ^ Эрроу и Хан (1980, стр. 182)
  21. ^ Shapley & Shubik (1966, стр. 806): Shapley, L. S. ; Shubik, M. (октябрь 1966). «Квазиядра в денежной экономике с невыпуклыми предпочтениями». Econometrica . 34 (4): 805–827. doi :10.2307/1910101. JSTOR  1910101. S2CID  46271184. Zbl  0154.45303.
  22. ^ Aumann (1966, стр. 1–2): Aumann, Robert J. (январь 1966). «Существование конкурентного равновесия на рынках с континуумом трейдеров». Econometrica . 34 (1): 1–17. doi :10.2307/1909854. JSTOR  1909854. MR  0191623. S2CID  155044347.Ауманн (1966) опирается на две статьи: Ауманн (1964, 1965).

    Ауманн, Роберт Дж. (январь–апрель 1964 г.). «Рынки с континуумом трейдеров». Econometrica . 32 (1–2): 39–50. doi :10.2307/1913732. JSTOR  1913732. MR  0172689.

    Ауманн, Роберт Дж. (август 1965 г.). «Интегралы функций со значениями множества». Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 . MR  0185073.

  23. ^ Взятие выпуклой оболочки невыпуклых предпочтений обсуждалось ранее Уолдом (1943b, стр. 243) и Уолдом и Жюрином (1953, стр. 146), согласно Диверту (1982, стр. 552).

  24. ^ Страницы 392–399 и страница 188: Arrow, Kenneth J. ; Hahn, Frank H. (1971). "Приложение B: Выпуклые и связанные множества" . Общий конкурентный анализ . Тексты по математической экономике [Расширенные учебники по экономике]. Сан-Франциско, Калифорния: Holden-Day, Inc. [North-Holland]. стр. 375–401. ISBN 0-444-85497-5. МР  0439057.

    Страницы 52–55 с приложениями на страницах 145–146, 152–153 и 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). "1.L Средние множества". Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии эконометрического общества. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26514-2. МР  1113262.

    Теорема C(6) на стр. 37 и приложения на стр. 115-116, 122 и 168: Hildenbrand, Werner (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Исследования Принстона по математической экономике. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04189-6. МР  0389160.

  25. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). "21.2 Выпуклость и размер". Микроэкономический анализ (3-е изд.). W. W. Norton & Company. стр. 393–394. ISBN 978-0-393-95735-8. МР  1036734.

    Страница 628: Мас–Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995). "17.1 Крупные экономики и невыпуклости". Микроэкономическая теория . Oxford University Press. С. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9.

  26. ↑ Страница 169 в первом издании: Starr, Ross M. (2011). "8 Выпуклые множества, теоремы разделения и невыпуклые множества в  R N ". Общая теория равновесия: Введение (Второе изд.). Кембридж: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781139174749. ISBN 978-0-521-53386-7. МР  1462618.[ требуется разъяснение ]

    Ellickson (1994, стр. xviii), и особенно Глава 7 "Вальрас встречает Нэша" (особенно раздел 7.4 "Невыпуклость" страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и Глава 8 "Что такое конкуренция?" (страницы 347 и 352): Ellickson, Bryan (1994). Конкурентное равновесие: Теория и приложения . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31988-1.

  27. ↑ Теорема 1.6.5 на страницах 24–25: Ичииси, Тацуро (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. ISBN 0-12-370180-5. МР  0700688.
  28. ^ Касселс, Дж. В. С. (1981). «Приложение А. Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия лекций Лондонского математического общества. Том 62. Кембридж, Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 33–34 и 127. ISBN 0-521-28614-X. МР  0657578.
  29. ↑ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-53192-5. МР  1865841.

    Страница 309: Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы для экономической теории: Том  I. Исследования по экономической теории. Том 9. Берлин: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-662-08544-8. ISBN 3-540-66235-9. МР  1727000.

    Страницы 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация . Исследования по экономической теории. Том 13. в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-56522-9. ISBN 3-540-41516-5. MR  1878374. S2CID  117240618.

  30. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества, используя передовую математику, в частности дифференциальную геометрию и топологию , категорию Бэра , теорию меры и интегрирования и эргодическую теорию : Trockel, Walter (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 223. Berlin: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-46488-1. ISBN 3-540-12881-6. МР  0737006.
  31. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы доходности в условиях конкуренции». Economic Journal . Vol. 36, no. 144. pp. 535–550. JSTOR  2959866.
  32. ↑ Хотеллинг, Гарольд (июль 1938 г.). «Общее благосостояние в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Econometrica . 6 (3): 242–269. doi :10.2307/1907054. JSTOR  1907054.
  33. ^ Страницы 5–7: Квинзи, Мартин (1992). Повышение отдачи и эффективности (Исправленный перевод (1988) Rendements croissant et efficacité economique . Париж: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique, изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-506553-0.
  34. ^ Старретт обсуждает невыпуклости в своем учебнике по экономике общественного сектора (страницы 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Старретт, Дэвид А. (1988). Основы экономики общественного сектора. Справочники по экономике Кембриджа. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521348010.
  35. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Econometrica . 36 (1): 31–53. doi :10.2307/1909602. JSTOR  1909602.
  36. ^ Страница 270: Drèze, Jacques H. (1987). "14 Инвестиции в условиях частной собственности: Оптимальность, равновесие и стабильность". В Drèze, J. H.location=Cambridge (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности . Cambridge University Press. стр. 261–297. doi :10.1017/CBO9780511559464. ISBN 0-521-26484-7. МР  0926685.(Первоначально опубликовано как Drèze, Jacques H. (1974). «Инвестиции в условиях частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». В Drèze, J. H. (ред.). Распределение в условиях неопределенности: равновесие и оптимальность . Нью-Йорк: Wiley. стр. 129–165.)
  37. ^ Magille & Quinzii, Раздел 31 «Партнерства», стр. 371) : Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). «6 Производство в финансовой экономике». Теория неполных рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 329–425.
  38. ^ Рэмси, Ф. П. (1928). «Математическая теория сбережений». Economic Journal . 38 (152): 543–559. doi :10.2307/2224098. JSTOR  2224098. S2CID  154223797.
  39. ^ Хотеллинг, Гарольд (1931). «Экономика исчерпаемых ресурсов». Журнал политической экономии . 39 (2): 137–175. doi :10.1086/254195. JSTOR  1822328. S2CID  222432341.
  40. ↑ Адда, Джером; Купер, Рассел (2003), Dynamic Economics, MIT Press, архивировано из оригинала 2008-12-05 , извлечено 2011-03-01
  41. ^ Говард, Рональд А. (1960). Динамическое программирование и марковские процессы . Издательство MIT.
  42. ^ Сети, С. П.; Томпсон, Г. Л. (2000). Оптимальная теория управления: приложения к науке управления и экономике (2-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 0-387-28092-8.Слайды доступны по адресу http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html
  43. ^ Troutman, John L. (1996). При содействии William Hrusa (ред.). Вариационное исчисление и оптимальное управление: оптимизация с элементарной выпуклостью . Undergraduate Texts in Mathematics (Второе изд.). New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0737-5. ISBN 0-387-94511-3. МР  1363262.
  44. ^ Craven, BD (1995). Управление и оптимизация. Серия Chapman and Hall Mathematics. Лондон: Chapman and Hall, Ltd. doi :10.1007/978-1-4899-7226-2. ISBN 0-412-55890-4. МР  1349574.
  45. ^ Винтер, Ричард (2000). Оптимальное управление . Системы и управление: основы и приложения. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-4075-4. МР  1756410.
  46. ^ Бекман, Мартин; Мут, Ричард Ф. (1954). «О решении фундаментального уравнения теории инвентаря». Дискуссионный документ Комиссии Коулза . 2116 .
  47. ^ Мертон, Роберт С. (1973). «Межвременная модель ценообразования капитальных активов». Econometrica . 41 (5): 867–887. doi :10.2307/1913811. JSTOR  1913811. S2CID  1504746.
  48. ^ Стоки, Нэнси ; Лукас, Роберт Э .; Прескотт, Эдвард (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-75096-9.
  49. ^ Льюнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория . MIT Press. ISBN 0-262-12274-X.
  50. ^ Диксит, Авинаш ; Пиндайк, Роберт (1994). Инвестиции в условиях неопределенности. Princeton Univ. Press. ISBN 0-691-03410-9.
  51. ^ Дасгупта и Хил (1979, стр. 96–97, 285, 404, 420, 422 и 429)
  52. ^ Дасгупта и Хил (1979, стр. 51, 64–65, 87 и 91–92)
  53. ^ Heal (1999, стр. 4 в препринте): Heal, GM (1999). "Введение" (PDF) . Экономика возрастающей отдачи . Международная библиотека критических работ по экономике. Эдвард Элгар. ISBN 978-1-85898-160-4. Получено 5 марта 2011 г.
  54. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж. Б. (1998). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 317. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-02431-3. ISBN 3-540-62772-3. MR  1491362. S2CID  198120391.
  55. ^ Алгебраическая топология также использовалась для изучения выпуклых и невыпуклых множеств в экономике: Chichilnisky, G. (1993). "Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2): 189–207. doi :10.1090/S0273-0979-1993-00439-7. MR  1218037.

Ссылки

Внешние ссылки

Heal, GM (апрель 1998 г.). Экономика возрастающей отдачи (PDF) . Серия рабочих документов PaineWebber по деньгам, экономике и финансам. Columbia Business School. PW-97-20. Архивировано из оригинала (PDF) 15 сентября 2015 г. Получено 5 марта 2011 г.