В математической логике независимость — это недоказуемость некоторого конкретного предложения из некоторого конкретного набора других предложений. Предложения в этом наборе называются «аксиомами».
Предложение σ не зависит от заданной теории первого порядка T, если T не доказывает и не опровергает σ; то есть невозможно доказать σ из T , и также невозможно доказать из T , что σ ложно. Иногда говорят (синонимично), что σ неразрешимо из T. ( Эта концепция не связана с идеей « разрешимости », как в проблеме принятия решений .)
Теория T независима , если ни одна аксиома в T не доказуема из оставшихся аксиом в T. Теория, для которой существует независимый набор аксиом, является независимо аксиоматизируемой .
Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T , когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают этим, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят «σ не зависит от T и согласуется с ним », чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.
Многие интересные утверждения в теории множеств независимы от теории множеств Цермело–Френкеля (ZF). Известно, что следующие утверждения в теории множеств независимы от ZF, при условии, что ZF непротиворечива:
Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано как ложное) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело–Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC при добавленной гипотезе о том, что ZFC непротиворечива.
Следующие утверждения несовместимы с аксиомой выбора, а значит, и с ZFC. Однако они, вероятно, независимы от ZF в смысле, соответствующем вышесказанному: их нельзя доказать в ZF, и немногие работающие теоретики множеств ожидают найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о том, что ZF непротиворечива.
С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики. [1] [2]