Осцилляция нейтрино

Осцилляция нейтрино — это квантово-механическое явление, при котором нейтрино, созданное с определенным номером семейства лептонов («лептонный аромат»: электрон , мюон или тау ), может быть впоследствии измерено , чтобы иметь другой номер семейства лептонов. Вероятность измерения определенного аромата для нейтрино варьируется между тремя известными состояниями по мере его распространения в пространстве. ^[1]

Впервые предсказанная Бруно Понтекорво в 1957 году ^[2]^[3], нейтринная осцилляция с тех пор наблюдалась во множестве экспериментов в различных контекстах. Наиболее примечательно, что существование нейтринной осцилляции решило давнюю проблему солнечных нейтрино .

Осцилляция нейтрино представляет большой теоретический и экспериментальный интерес, поскольку точные свойства процесса могут пролить свет на несколько свойств нейтрино. В частности, это подразумевает, что нейтрино имеет ненулевую массу вне кручения Эйнштейна-Картана , ^[4]^[5], что требует модификации Стандартной модели физики элементарных частиц . ^[1] Экспериментальное открытие осцилляции нейтрино, а следовательно, и массы нейтрино, Обсерваторией Супер-Камиоканде и Нейтринной обсерваторией Садбери было отмечено Нобелевской премией по физике 2015 года . ^[6]

Наблюдения

Множество доказательств существования нейтринных осцилляций было собрано из многих источников, в широком диапазоне энергий нейтрино и с использованием множества различных технологий обнаружения. ^[7]Нобелевская премия по физике 2015 года была разделена между Такааки Кадзитой и Артуром Б. Макдональдом за их ранние пионерские наблюдения этих осцилляций.

Осцилляция нейтрино является функцией отношения $⁠$   $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} Л /Э⁠$   , где $L$ — пройденное расстояние, а $E$ — энергия нейтрино. (Подробности в § Распространение и интерференция ниже.) Все доступные источники нейтрино производят диапазон энергий, и осцилляция измеряется на фиксированном расстоянии для нейтрино с различной энергией. Ограничивающим фактором в измерениях является точность, с которой может быть измерена энергия каждого наблюдаемого нейтрино. Поскольку текущие детекторы имеют неопределенность энергии в несколько процентов, достаточно знать расстояние с точностью до 1%.

Осцилляция солнечных нейтрино

Первым экспериментом, который обнаружил эффекты нейтринной осцилляции, был эксперимент Рэя Дэвиса в Хоумстейке в конце 1960-х годов, в котором он наблюдал дефицит потока солнечных нейтрино по сравнению с предсказанием Стандартной солнечной модели , используя детектор на основе хлора . ^[8] Это привело к проблеме солнечных нейтрино . Многие последующие радиохимические и водные черенковские детекторы подтвердили дефицит, но нейтринная осцилляция не была окончательно идентифицирована как источник дефицита, пока Нейтринная обсерватория Садбери не предоставила четкие доказательства изменения аромата нейтрино в 2001 году. ^[9]

Солнечные нейтрино имеют энергию ниже 20 МэВ . При энергиях выше 5 МэВ осцилляция солнечных нейтрино фактически происходит на Солнце через резонанс, известный как эффект МСВ , процесс, отличный от вакуумной осцилляции, описанной далее в этой статье. ^[1]

Атмосферные нейтринные осцилляции

После теорий, предложенных в 1970-х годах, предполагающих объединение электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий, в 1980-х годах было проведено несколько экспериментов по распаду протона. Крупные детекторы, такие как IMB , MACRO и Kamiokande II, обнаружили дефицит в соотношении потока мюонных и электронных атмосферных нейтрино (см. распад мюона ). Эксперимент Super-Kamiokande обеспечил очень точное измерение нейтринных осцилляций в диапазоне энергий от сотен МэВ до нескольких ТэВ и с базовой линией диаметра Земли ; первое экспериментальное доказательство атмосферных нейтринных осцилляций было объявлено в 1998 году. ^[10]

Осцилляция нейтрино реактора

Во многих экспериментах искали осцилляции электронных антинейтрино , производимых в ядерных реакторах . Никаких осцилляций не было обнаружено, пока детектор не был установлен на расстоянии 1–2 км. Такие осцилляции дают значение параметра θ 13 . Нейтрино, производимые в ядерных реакторах, имеют энергию, похожую на солнечную, около нескольких МэВ. Базовые линии этих экспериментов варьировались от десятков метров до более чем 100 км (параметр θ 12 ). Микаэлян и Синев предложили использовать два идентичных детектора, чтобы исключить систематические неопределенности в реакторном эксперименте для измерения параметра θ 13 . ^[11]

В декабре 2011 года эксперимент Double Chooz показал, что $θ$ ₁₃ ≠ 0. ^[12] Затем, в 2012 году, эксперимент Daya Bay показал, что $θ$ ₁₃ ≠ 0  со значимостью 5,2 $σ$ ; ^[13] Эти результаты с тех пор были подтверждены RENO . ^[14]  

Осцилляция пучка нейтрино

Нейтринные пучки, полученные на ускорителе частиц, обеспечивают наибольший контроль над изучаемыми нейтрино. Было проведено много экспериментов, изучающих те же колебания, что и при атмосферных колебаниях нейтрино, с использованием нейтрино с энергией в несколько ГэВ и базовыми линиями в несколько сотен километров. Эксперименты MINOS , K2K и Super-K независимо наблюдали исчезновение мюонных нейтрино на таких длинных базовых линиях. ^[1]

Данные эксперимента LSND, по-видимому, противоречат параметрам колебаний, измеренным в других экспериментах. Результаты MiniBooNE появились весной 2007 года и противоречили результатам LSND, хотя они могли бы подтвердить существование четвертого типа нейтрино — стерильного нейтрино . ^[1]

В 2010 году INFN и CERN объявили о наблюдении частицы тауона в пучке мюонных нейтрино в детекторе OPERA, расположенном в Гран-Сассо , в 730 км от источника в Женеве . ^[15]

T2K , используя пучок нейтрино, направленный через 295 км Земли, и детектор Супер-Камиоканде, измерил ненулевое значение параметра θ 13 в пучке нейтрино. ^[16] NOνA , использующий тот же пучок, что и MINOS с базовой линией 810 км, чувствителен к тому же.

Теория

Осцилляция нейтрино возникает из-за смешивания между собственными состояниями аромата и массы нейтрино. То есть, три состояния нейтрино, которые взаимодействуют с заряженными лептонами в слабых взаимодействиях, являются каждая отдельной суперпозицией трех (распространяющихся) состояний нейтрино определенной массы. Нейтрино испускаются и поглощаются в слабых процессах в собственных состояниях аромата ^{[a], но перемещаются как}собственные состояния массы . ^[18]

По мере того как суперпозиция нейтрино распространяется в пространстве, квантово-механические фазы трех массовых состояний нейтрино продвигаются с немного разной скоростью из-за небольших различий в их соответствующих массах. Это приводит к изменению суперпозиционной смеси массовых собственных состояний по мере перемещения нейтрино; но другая смесь массовых собственных состояний соответствует другой смеси состояний ароматов. Например, нейтрино, рожденное как электронное нейтрино, будет представлять собой некоторую смесь электронного, мю- и тау -нейтрино после перемещения на некоторое расстояние. Поскольку квантово-механическая фаза продвигается периодически, через некоторое расстояние состояние почти вернется к исходной смеси, и нейтрино снова будет в основном электронным нейтрино. Содержание электронного аромата в нейтрино затем продолжит колебаться — до тех пор, пока квантово-механическое состояние сохраняет когерентность . Поскольку различия в массе между ароматами нейтрино малы по сравнению с большими длинами когерентности нейтринных осцилляций, этот микроскопический квантовый эффект становится наблюдаемым на макроскопических расстояниях.

Напротив, из-за их больших масс, заряженные лептоны (электроны, мюоны и тау-лептоны) никогда не наблюдались в состоянии осцилляций. При ядерном бета-распаде, распаде мюона, распаде пиона и распаде каона , когда испускаются нейтрино и заряженный лептон, заряженный лептон испускается в некогерентных массовых собственных состояниях, таких как $| е - ⟩$ , из-за его большой массы. Слабое взаимодействие заставляет одновременно испускаемые нейтрино находиться в «заряженно-лептонно-центрической» суперпозиции, такой как $| ν е ⟩$ , который является собственным состоянием для «аромата», который фиксируется собственным массовым состоянием электрона, а не в одном из собственных массовых состояний нейтрино. Поскольку нейтрино находится в когерентной суперпозиции, которая не является собственным массовым состоянием, смесь, которая составляет эту суперпозицию, значительно колеблется по мере своего перемещения. В Стандартной модели не существует аналогичного механизма, который заставил бы заряженные лептоны обнаруживаемо колебаться. В четырех распадах, упомянутых выше, где заряженный лептон испускается в уникальном собственном массовом состоянии, заряженный лептон не будет колебаться, поскольку отдельные массовые собственные состояния распространяются без колебаний.

Случай (реального) распада W-бозона более сложен: распад W-бозона достаточно энергичен, чтобы создать заряженный лептон, который не находится в собственном массовом состоянии; однако заряженный лептон потерял бы когерентность, если бы она у него была, на межатомных расстояниях (0,1 нм ) и, таким образом, быстро прекратил бы любые значимые колебания. Что еще более важно, ни один механизм в Стандартной модели не способен закрепить заряженный лептон в когерентном состоянии, которое не является собственным массовым состоянием, в первую очередь; вместо этого, хотя заряженный лептон из распада W-бозона изначально не находится в собственном массовом состоянии, он также не находится ни в каком «нейтрино-центрическом» собственном состоянии, ни в каком-либо другом когерентном состоянии. Нельзя осмысленно сказать, что такой безликий заряженный лептон колеблется или что он не колеблется, поскольку любое «колебательное» преобразование просто оставило бы его в том же самом общем состоянии, в котором он был до колебания. Поэтому обнаружение заряженной лептонной осцилляции из распада W-бозона невозможно на нескольких уровнях. ^[19]^[20]

Матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты

Идея осцилляций нейтрино была впервые выдвинута в 1957 году Бруно Понтекорво , который предположил, что переходы нейтрино-антинейтрино могут происходить по аналогии со смешиванием нейтральных каонов . ^[2] Хотя такие колебания материи-антиматерии не наблюдались, эта идея легла в основу количественной теории осцилляций ароматов нейтрино, которая была впервые разработана Маки, Накагавой и Сакатой в 1962 году ^[21] и далее развита Понтекорво в 1967 году. ^[3] Год спустя впервые был обнаружен дефицит солнечных нейтрино, ^[22] а затем последовала знаменитая статья Грибова и Понтекорво, опубликованная в 1969 году под названием «Нейтринная астрономия и лептонный заряд». ^[23]

Концепция смешивания нейтрино является естественным результатом калибровочных теорий с массивными нейтрино, и ее структуру можно охарактеризовать в общем виде. ^[24] В своей простейшей форме она выражается как унитарное преобразование, связывающее собственный базис аромата и массы , и может быть записана как

\left|\nu _{i}\right\rangle =\sum _{\alpha }U_{\alpha i}^{*}\left|\nu _{\alpha }\right\rangle ,

\left|\nu _{\alpha }\right\rangle =\sum _{i}U_{\alpha i}\left|\nu _{i}\right\rangle ,

где

\ \left|\nu _{\alpha }\right\rangle \

представляет собой нейтрино с определенным ароматом

α

e

(электрон),

µ

(мюон) или

τ

(тауон),

\ \left|\nu _{i}\right\rangle \

это нейтрино с определенной массой

\ m_{i}\ ,

i=1,2,3,

верхний индекс звездочка ( ) представляет собой комплексно сопряженную величину ; для антинейтрино комплексно сопряженную величину следует удалить из первого уравнения и вставить во второе.

^{*}

Символ представляет собой матрицу Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты (также называемую матрицей PMNS , матрицей смешивания лептонов или иногда просто матрицей MNS ). Это аналог матрицы CKM, описывающей аналогичное смешивание кварков . Если бы эта матрица была единичной матрицей , то собственные состояния ароматов были бы такими же, как и собственные состояния масс. Однако эксперимент показывает, что это не так. $U_{\alpha i}$

При рассмотрении стандартной теории с тремя нейтрино матрица имеет размер 3×3. Если рассматриваются только два нейтрино, используется матрица 2×2. Если добавляется одно или несколько стерильных нейтрино (см. далее), она имеет размер 4×4 или больше. В форме 3×3 она задается как ^[25]

{\begin{aligned}U&={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta }&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}

где $c ij$ $\equiv$ cos $θ ij$ , а $s ij$ $\equiv$ sin $θ ij$ . Фазовые множители $α$ ₁ и $α$ ₂ имеют физический смысл только в том случае, если нейтрино являются частицами Майораны , т. е. если нейтрино идентично своему антинейтрино (являются ли они таковыми, неизвестно) — и не вступают в явления осцилляций независимо от этого. Если происходит двойной бета-распад без нейтрино , эти множители влияют на его скорость. Фазовый множитель $δ$ отличен от нуля только в том случае, если осцилляция нейтрино нарушает симметрию CP ; это еще не наблюдалось экспериментально. Если эксперимент показывает, что эта матрица 3×3 не является унитарной , требуется стерильное нейтрино или какая-то другая новая физика.

Распространение и помехи

Поскольку являются массовыми собственными состояниями, их распространение можно описать с помощью плоских волновых решений вида $\left|\,\nu _{j}\,\right\rangle$

\left|\,\nu _{j}(t)\,\right\rangle =e^{-i\,\left(\,E_{j}t\,-\,{\vec {p}}_{j}\cdot {\vec {x}}\,\right)}\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~,

где

величины выражены в натуральных единицах и $(\,c=1,\hbar =1\,)~,$ $~i^{2}\,\equiv \,-1~,$
$E_{j}$ - это энергия собственного массового состояния , $j$
$t$ это время от начала распространения,
${\vec {p}}_{j}$ это трехмерный импульс ,
${\vec {x}}$ текущее положение частицы относительно ее начального положения

В ультрарелятивистском пределе мы можем аппроксимировать энергию как $\left|{\vec {p}}_{j}\right|=p_{j}\gg m_{j}~,$

E_{j}={\sqrt {\,p_{j}^{2}+m_{j}^{2}\;}}\simeq p_{j}+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,p_{j}\,}}\approx E+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,E\,}}~,

где $E$ — энергия волнового пакета (частицы), подлежащего обнаружению.

Этот предел применим ко всем практическим (наблюдаемым в настоящее время) нейтрино, поскольку их массы меньше 1 эВ, а энергия не менее 1 МэВ, поэтому фактор Лоренца , $γ$ , больше 10⁶ во всех случаях. Используя также $t \approx L,$ где $L$ — пройденное расстояние, а также отбрасывая фазовые множители, волновая функция становится

\left|\,\nu _{j}(L)\,\right\rangle =e^{-i\,\left({\frac {\,m_{j}^{2}\,L\,}{2\,E}}\right)}\,\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~.

Собственные состояния с разными массами распространяются с разными частотами. Более тяжелые осциллируют быстрее по сравнению с более легкими. Поскольку собственные состояния массы являются комбинациями собственных состояний аромата, эта разница в частотах вызывает интерференцию между соответствующими компонентами аромата каждого собственного состояния массы. Конструктивная интерференция позволяет наблюдать, как нейтрино, созданное с заданным ароматом, меняет свой аромат во время распространения. Вероятность того, что нейтрино изначально с ароматом $α$ будет позже наблюдаться как имеющее аромат $β,$ равна

P_{\alpha \rightarrow \beta }\,=\,{\Bigl |}\,\left\langle \,\left.\nu _{\beta }\,\right|\,\nu _{\alpha }(L)\,\right\rangle \,{\Bigr |}^{2}\,=\,\left|\,\sum _{j}\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,e^{-i{\frac {m_{j}^{2}\,L}{2E}}}\,\right|^{2}~.

Это удобнее записать как

{\begin{aligned}P_{\alpha \rightarrow \beta }=\delta _{\alpha \beta }&{}-4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{4E}}\right)\\&{}+2\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)~,\end{aligned}}

где $\Delta _{jk}m^{2}\ \equiv m_{j}^{2}-m_{k}^{2}~.$

Фаза, отвечающая за колебания, часто записывается как (с $c$ и восстановленным) $\hbar$

{\frac {\Delta _{jk}(mc^{2})^{2}\,L}{4\hbar c\,E}}={\frac {{\rm {GeV}}\,{\rm {fm}}}{4\hbar c}}\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}\approx 1.27\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}~,

где 1,27 — безразмерная величина . В этой форме удобно подставлять параметры колебаний, поскольку:

Известно , что разница масс $Δ m$ ² составляет порядка 10 ⁻⁴  эВ ² = (10 ⁻²  эВ) ²
Расстояния колебаний $L$ в современных экспериментах составляют порядка километров.
Энергия нейтрино $E$ в современных экспериментах обычно составляет порядка МэВ или ГэВ.

Если нет нарушения CP ( $δ$ равно нулю), то вторая сумма равна нулю. В противном случае асимметрию CP можно задать как

A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=P(\nu _{\alpha }\rightarrow \nu _{\beta })-P({\bar {\nu }}_{\alpha }\rightarrow {\bar {\nu }}_{\beta })=4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)

В терминах инварианта Ярлскога

\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}=J\,\sum _{\gamma ,\ell }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\,\varepsilon _{jk\ell }~,

асимметрия CP выражается как

A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=16\,\sin \left({\frac {\Delta _{21}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{32}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{31}m^{2}\,L}{4E}}\right)\,J\,\sum _{\gamma }\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }

Случай двух нейтрино

Вышеприведенная формула верна для любого числа поколений нейтрино. Запись ее явно в терминах углов смешивания чрезвычайно громоздка, если в смешивании участвует более двух нейтрино. К счастью, есть несколько значимых случаев, в которых только два нейтрино принимают значимое участие. В этом случае достаточно рассмотреть матрицу смешивания

U={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.

Тогда вероятность изменения аромата нейтрино равна

P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}L}{4E}}\right)\quad {\text{ [natural units] .}}

Или, используя единицы СИ и введенное выше соглашение

P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left(1.27\,{\frac {\Delta m^{2}L}{E}}\,{\frac {\rm {[eV^{2}]\,[km]}}{\rm {[GeV]}}}\right)~.

Эта формула часто подходит для обсуждения перехода $ν μ \leftrightarrow ν τ$ в атмосферном перемешивании, поскольку электронное нейтрино в этом случае почти не играет роли. Она также подходит для солнечного случая $ν e \leftrightarrow ν x,$ где $ν x$ представляет собой смесь (суперпозицию) $ν μ$ и $ν τ .$ Эти приближения возможны, поскольку угол смешивания $θ$ ₁₃ очень мал и поскольку два массовых состояния очень близки по массе по сравнению с третьим.

Классический аналог нейтринной осцилляции

Основную физику, лежащую в основе нейтринных колебаний, можно найти в любой системе связанных гармонических осцилляторов . Простым примером является система из двух маятников, соединенных слабой пружиной (пружиной с малой жесткостью ). Первый маятник приводится в движение экспериментатором, в то время как второй начинает находиться в состоянии покоя. Со временем второй маятник начинает качаться под воздействием пружины, в то время как амплитуда первого маятника уменьшается, поскольку он теряет энергию во втором. В конце концов вся энергия системы передается второму маятнику, и первый находится в состоянии покоя. Затем процесс меняется на обратный. Энергия многократно колеблется между двумя маятниками, пока не будет потеряна из-за трения .

Поведение этой системы можно понять, рассмотрев ее нормальные моды колебаний. Если два маятника идентичны, то одна нормальная мода состоит из обоих маятников, качающихся в одном направлении с постоянным расстоянием между ними, в то время как другая состоит из маятников, качающихся в противоположных (зеркальных) направлениях. Эти нормальные моды имеют (немного) разные частоты, потому что вторая включает (слабую) пружину, а первая — нет. Начальное состояние системы из двух маятников представляет собой комбинацию обеих нормальных мод. Со временем эти нормальные моды смещаются в противофазе, и это рассматривается как передача движения от первого маятника ко второму.

Описание системы в терминах двух маятников аналогично базису ароматов нейтрино. Это параметры, которые легче всего получить и обнаружить (в случае нейтрино — слабыми взаимодействиями с участием W-бозона ). Описание в терминах нормальных мод аналогично базису масс нейтрино. Эти моды не взаимодействуют друг с другом, когда система свободна от внешнего влияния.

Когда маятники не идентичны, анализ немного усложняется. В приближении малых углов потенциальная энергия одной маятниковой системы равна , где g — стандартная сила тяжести , L — длина маятника, m — масса маятника, а x — горизонтальное смещение маятника. Как изолированная система маятник является гармоническим осциллятором с частотой . Потенциальная энергия пружины равна , где k — константа пружины, а x — смещение. С прикрепленной массой она колеблется с периодом . С двумя маятниками (обозначенными a и b ) одинаковой массы, но, возможно, неравной длины, соединенными пружиной, общая потенциальная энергия равна ${\tfrac {1}{2}}{\tfrac {mg}{L}}x^{2}$ ${\sqrt {g/L\;}}\,$ ${\tfrac {1}{2}}kx^{2}$ ${\sqrt {k/m\;}}\,$

V={\frac {m}{2}}\left({\frac {g}{L_{a}}}x_{a}^{2}+{\frac {g}{L_{b}}}x_{b}^{2}+{\frac {k}{m}}(x_{b}-x_{a})^{2}\right).

Это квадратичная форма относительно x _a и x _b , которую также можно записать в виде произведения матриц:

V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{a}&x_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {g}{L_{a}}}+{\frac {k}{m}}&-{\frac {k}{m}}\\-{\frac {k}{m}}&{\frac {g}{L_{b}}}+{\frac {k}{m}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}.

Матрица 2×2 является вещественно симметричной и поэтому (по спектральной теореме ) она ортогонально диагонализируема . То есть, существует угол θ такой, что если мы определим

{\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}

затем

V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}\ x_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}

где λ ₁ и λ ₂ — собственные значения матрицы. Переменные x ₁ и x ₂ описывают нормальные моды, которые колеблются с частотами и . Когда два маятника идентичны ( L _a = L _b ), θ равен 45°. ${\sqrt {\lambda _{1}\,}}$ ${\sqrt {\lambda _{2}\,}}$

Угол θ аналогичен углу Кабиббо (хотя этот угол применим к кваркам, а не к нейтрино).

При увеличении числа осцилляторов (частиц) до трех ортогональная матрица больше не может быть описана одним углом; вместо этого требуются три ( углы Эйлера ). Кроме того, в квантовом случае матрицы могут быть комплексными . Это требует введения комплексных фаз в дополнение к углам вращения, которые связаны с нарушением CP , но не влияют на наблюдаемые эффекты нейтринной осцилляции.

Теория, графически

Две вероятности нейтрино в вакууме

В приближении, когда в колебании участвуют только два нейтрино, вероятность колебания подчиняется простой закономерности:

Синяя кривая показывает вероятность сохранения идентичности исходного нейтрино. Красная кривая показывает вероятность преобразования в другое нейтрино. Максимальная вероятность преобразования равна sin ² 2 θ . Частота колебаний контролируется Δm ² .

Три вероятности нейтрино

Если рассматривать три нейтрино, вероятность появления каждого нейтрино довольно сложна. Графики ниже показывают вероятности для каждого аромата, причем графики в левом столбце показывают большой диапазон для отображения медленной «солнечной» осцилляции, а графики в правом столбце увеличены для отображения быстрой «атмосферной» осцилляции. Параметры, используемые для создания этих графиков (см. ниже), согласуются с текущими измерениями, но поскольку некоторые параметры все еще довольно неопределенны, некоторые аспекты этих графиков верны только качественно. ^[26]

Иллюстрации были созданы с использованием следующих значений параметров: ^[26]

sin ² (2 θ ₁₃ ) = 0,10 (Определяет размер небольших колебаний.)
sin ² (2 θ ₂₃ ) = 0,97
sin ² (2 θ ₁₂ ) = 0,861
δ = 0 (Если фактическое значение этой фазы велико, вероятности будут несколько искажены и будут разными для нейтрино и антинейтрино.)
Нормальная иерархия масс: m ₁ ≤ m ₂ ≤ m ₃
Δ м²
₁₂=0,759 × 10−4 эВ ²
Δ м²
₃₂≈ Δ м²
₁₃=23,2 × 10−4 эВ ²

Наблюдаемые значения параметров колебаний

$sin 2 (2 θ 13) =$ 0,093 ± 0,008 . ^{[27] Комбинация} PDG результатов Daya Bay, RENO и Double Chooz.
$sin 2 (2 θ 12) =$ 0,846 ± 0,021 . ^[27] Это соответствует θ _sol (солнечный), полученному из данных KamLand, солнечных, реакторных и ускорительных.
$грех 2 (2 θ 23 ″) >$ 0,92 при 90% уровне достоверности, что соответствует $θ 23 \equiv θ атм =$ 45 ± 7,1° (атмосферно) ^[28]
$Δ 21 м 2 \equiv Δ м 2 соль =$ (0,753 ± 0,018) × 10 ⁻⁴ эВ ²^[27]
$|Δ 31 м 2 | \approx |Δ 32 м 2 | \equiv Δ м 2 атм =$ (24,4 ± 0,6) × 10−4 эВ 2 ( ^{нормальная}^{иерархия} масс) ^[27]
$δ, α 1, α 2 и$ знак $Δ m$ ²
₃₂в настоящее время неизвестны.

Эксперименты с солнечными нейтрино, проведенные совместно с KamLAND, позволили измерить так называемые солнечные параметры $Δ m$ ²
_сольи $sin$ $2$ $θ$ _sol . Атмосферные нейтринные эксперименты, такие как Super-Kamiokande, совместно с нейтринными экспериментами на ускорителях с длинной базой K2K и MINOS, определили так называемые атмосферные параметры $Δ$ $m$ ²
_атми $sin 2 θ$ _атм . Последний угол смешивания, $θ$ ₁₃ , был измерен экспериментами Daya Bay , Double Chooz и RENO как $sin$ $2$ $(2$ $θ$ $13$ $″)$ .

Для атмосферных нейтрино соответствующая разница масс составляет около $Δ m 2 =$ 24. × 10−4 ^эВ² и типичные энергии равны≈1 ГэВ ; при этих значениях осцилляции становятся заметными для нейтрино, пролетающих несколько сотен километров, то есть тех нейтрино, которые достигают детектора, пролетая сквозь Землю, из-за горизонта.

Параметр смешивания $θ$ ₁₃ измеряется с использованием электронных антинейтрино из ядерных реакторов. Скорость взаимодействия антинейтрино измеряется в детекторах, расположенных вблизи реакторов, чтобы определить поток до любых существенных колебаний, а затем он измеряется в дальних детекторах (расположенных в километрах от реакторов). Колебание наблюдается как кажущееся исчезновение электронных антинейтрино в дальних детекторах (т. е. скорость взаимодействия в дальнем месте ниже, чем предсказывается из наблюдаемой скорости в ближнем месте).

Из экспериментов по атмосферным и солнечным нейтринным осцилляциям известно, что два угла смешивания матрицы MNS большие, а третий меньше. Это резко контрастирует с матрицей CKM, в которой все три угла малы и иерархически уменьшаются. Фаза нарушения CP матрицы MNS по состоянию на апрель 2020 года должна находиться где-то между −2 и −178 градусами, согласно эксперименту T2K . ^[29]

Если масса нейтрино окажется майорановской (что делает нейтрино своей собственной античастицей), то возможно, что матрица MNS имеет более одной фазы.

Поскольку эксперименты, наблюдающие за нейтринными осцилляциями, измеряют квадратную разность масс, а не абсолютную массу, можно утверждать, что масса самого легкого нейтрино равна нулю, не противореча наблюдениям. Однако теоретики считают это маловероятным.

Происхождение массы нейтрино

Вопрос о том, как возникают массы нейтрино, не получил окончательного ответа. В Стандартной модели физики элементарных частиц фермионы имеют собственную массу только из-за взаимодействия с полем Хиггса (см. бозон Хиггса ). Эти взаимодействия требуют как лево-, так и правосторонней версии фермиона (см. хиральность ). Однако до сих пор наблюдались только левосторонние нейтрино.

Нейтрино могут иметь другой источник массы через термин масса Майораны . Этот тип массы применяется к электрически нейтральным частицам, поскольку в противном случае он позволил бы частицам превращаться в античастицы, что нарушило бы сохранение электрического заряда.

Наименьшая модификация Стандартной модели, в которой есть только левосторонние нейтрино, заключается в том, чтобы позволить этим левосторонним нейтрино иметь майорановские массы. Проблема в том, что массы нейтрино на удивление меньше, чем у остальных известных частиц (по крайней мере в 600 000 раз меньше массы электрона), что, хотя и не опровергает теорию, широко считается неудовлетворительным, поскольку эта конструкция не дает никакого представления о происхождении шкалы масс нейтрино.

Следующим простейшим дополнением было бы добавление в Стандартную модель правых нейтрино, которые взаимодействуют с левыми нейтрино и полем Хиггса аналогичным образом с остальными фермионами. Эти новые нейтрино взаимодействовали бы с другими фермионами исключительно таким образом и, следовательно, не были бы наблюдаемы напрямую, поэтому феноменологически не исключены. Проблема несоответствия массовых масштабов остается.

Качельный механизм

Наиболее популярным предполагаемым решением в настоящее время является механизм качелей , где добавляются правосторонние нейтрино с очень большими массами Майораны. Если правосторонние нейтрино очень тяжелые, они индуцируют очень маленькую массу для левосторонних нейтрино, которая пропорциональна обратной величине тяжелой массы.

Если предположить, что нейтрино взаимодействуют с полем Хиггса примерно с той же силой, что и заряженные фермионы, тяжелая масса должна быть близка к шкале GUT . Поскольку Стандартная модель имеет только одну фундаментальную шкалу масс, ^[b] все массы частиц ^[c] должны возникать относительно этой шкалы.

Существуют и другие разновидности качелей ^[30], и в настоящее время большой интерес вызывают так называемые схемы качелей малого масштаба, такие как механизм обратных качелей. ^[31]

Добавление правосторонних нейтрино приводит к добавлению новых массовых масштабов, не связанных с массовым масштабом Стандартной модели, поэтому наблюдение тяжелых правосторонних нейтрино раскрыло бы физику за пределами Стандартной модели. Правосторонние нейтрино помогли бы объяснить происхождение материи посредством механизма, известного как лептогенез .

Другие источники

Существуют альтернативные способы модификации стандартной модели, которые похожи на добавление тяжелых правых нейтрино (например, добавление новых скаляров или фермионов в триплетных состояниях) и другие модификации, которые менее похожи (например, массы нейтрино из петлевых эффектов и/или из подавленных связей). Один из примеров последнего типа моделей предоставляется определенными версиями суперсимметричных расширений стандартной модели фундаментальных взаимодействий, где четность R не является симметрией. Там обмен суперсимметричными частицами, такими как скварки и слептоны, может нарушить лептонное число и привести к массам нейтрино. Эти взаимодействия обычно исключаются из теорий, поскольку они происходят из класса взаимодействий, которые приводят к неприемлемо быстрому распаду протона, если они все включены. Эти модели имеют небольшую предсказательную силу и не способны предоставить кандидата на холодную темную материю.

Колебания в ранней Вселенной

В ранней Вселенной, когда концентрации частиц и температуры были высокими, нейтринные осцилляции могли вести себя по-разному. ^[32] В зависимости от параметров угла смешивания нейтрино и масс может возникнуть широкий спектр поведения, включая вакуумоподобные нейтринные осцилляции, плавную эволюцию или самоподдерживающуюся когерентность. Физика для этой системы нетривиальна и включает нейтринные осцилляции в плотном нейтринном газе .

Смотрите также

Примечания

^ Более формально, нейтрино испускаются в запутанном состоянии с другими телами в распаде или реакции, и смешанное состояние надлежащим образом описывается матрицей плотности . Однако для всех практических ситуаций другие частицы в распаде могут быть хорошо локализованы во времени и пространстве (например, в пределах ядерного расстояния), оставляя их импульс с большим разбросом. Когда эти партнерские состояния проецируются наружу, нейтрино остается в состоянии, которое для всех намерений и целей ведет себя как простая суперпозиция массовых состояний, описанных здесь. Для получения дополнительной информации см. Cohen, Glashow & Ligeti (2009). ^[17]
^ Фундаментальную шкалу масс Стандартной модели можно принять за шкалу нарушения SU(2) _L × U(1) _Y.
^ Масса электрона и масса Z-бозона являются примерами масс частиц, установленных фундаментальной шкалой масс Стандартной модели.

Ссылки

^ abcde Баргер, Вернон; Марфатия, Дэнни; Уиснант, Керри Льюис (2012). Физика нейтрино. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12853-5.
^ ab «Мезоний и антимезоний». Ж. Эксп. Теор. Физ. 33 (2): 549–551. Февраль 1957 года. воспроизведено и переведено в B. Pontecorvo (февраль 1957 г.). «Мезоний и антимезоний». Sov. Phys. JETP . 6 (2): 429–431. Bibcode : 1958JETP....6..429P.
^ аб Понтекорво, Бруно (май 1968 г.). «Нейтринные эксперименты и проблема сохранения лептонного заряда». Ж. Эксп. Теор. Физ. 53 : 1717–1725. Бибкод : 1968JETP...26..984P. воспроизведено и переведено в B. Pontecorvo (май 1968 г.). "Нейтринные эксперименты и проблема сохранения лептонного заряда". Sov. Phys. JETP . 26 : 984–988. Bibcode :1968JETP...26..984P.
^ Де Саббата, В.; Гасперини, М. (1981). «Нейтринные осцилляции при кручении». Иль Нуово Чименто А (1971–1996) . 65 (4): 479–500. Бибкод : 1981NCimA..65..479S. дои : 10.1007/BF02902051.
^ Чакрабарти, Субхасиш; Лахири, Амитабха (2019). «Геометрический вклад в матрицу масс нейтрино». The European Physical Journal C. 79 ( 8): 697. arXiv : 1904.06036 . Bibcode : 2019EPJC...79..697C. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7209-2.
^ Уэбб, Джонатан (6 октября 2015 г.). «Нейтринный „переворот“ выигрывает Нобелевскую премию по физике». BBC News . Получено 6 октября 2015 г.
^ Gonzalez-Garcia, MC & Maltoni, Michele (апрель 2008 г.). «Феноменология с массивными нейтрино». Physics Reports . 460 (1–3): 1–129. arXiv : 0704.1800 . Bibcode : 2008PhR...460....1G. CiteSeerX 10.1.1.312.3412 . doi : 10.1016/j.physrep.2007.12.004. S2CID 119651816.
^ Дэвис, Рэймонд; Хармер, Дон С.; Хоффман, Кеннет К. (1968). «Поиск нейтрино от Солнца». Physical Review Letters . 20 (21): 1205–1209. Bibcode : 1968PhRvL..20.1205D. doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1205.
^ Ahmad, QR; Allen, RC; Andersen, TC; Anglin, JD; Bühler, G.; Barton, JC; et al. (SNO Collaboration) (25 июля 2001 г.). "Измерение скорости взаимодействия $ν$ _e + d → p + p + e ^−, производимого солнечными нейтрино ⁸ B в нейтринной обсерватории Садбери". Physical Review Letters . 87 (7): 071301. arXiv : nucl-ex/0106015 . Bibcode :2001PhRvL..87g1301A. doi :10.1103/physrevlett.87.071301. ISSN 0031-9007. PMID 11497878.
^ Fukuda, Y.; et al. (Super-Kamiokande Collaboration) (24 августа 1998 г.). «Доказательства осцилляции атмосферных нейтрино». Physical Review Letters . 81 (8): 1562–1567. arXiv : hep-ex/9807003 . Bibcode : 1998PhRvL..81.1562F. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.1562. S2CID 7102535.
^ Микаэлян, Л.; Синев, В. (2000). «Нейтринные осцилляции в реакторах: что дальше?». Physics of Atomic Nuclei . 63 (6): 1002. arXiv : hep-ex/9908047 . Bibcode : 2000PAN....63.1002M. doi : 10.1134/1.855739. S2CID 15221390.
^ Abe, Y.; et al. (коллаборация Double Chooz) (28 марта 2012 г.). "Указание на исчезновение антинейтрино реакторных электронов в эксперименте Double Chooz". Physical Review Letters . 108 (19): 131801. arXiv : 1112.6353 . Bibcode :2012PhRvL.108m1801A. doi :10.1103/PhysRevLett.108.131801. PMID 22540693. S2CID 19008791.
^ An, FP; Bai, JZ; Balantekin, AB; Band, HR; Beavis, D.; Beriguete, W.; et al. (Daya Bay Collaboration) (23 апреля 2012 г.). "Наблюдение исчезновения электронов-антинейтрино в заливе Дайя". Physical Review Letters . 108 (17): 171803. arXiv : 1203.1669 . Bibcode :2012PhRvL.108q1803A. doi :10.1103/physrevlett.108.171803. ISSN 0031-9007. PMID 22680853. S2CID 16580300.
^ Ким, Су-Бон и др. (коллаборация RENO) (11 мая 2012 г.). «Наблюдение исчезновения антинейтрино реакторных электронов в эксперименте RENO». Physical Review Letters . 108 (19): 191802. arXiv : 1204.0626 . Bibcode :2012PhRvL.108s1802A. doi :10.1103/PhysRevLett.108.191802. PMID 23003027. S2CID 33056442.
^ Агафонова, Н.; и др. (OPERA Collaboration) (26 июля 2010 г.). «Наблюдение первого события-кандидата ν _τ в эксперименте OPERA в пучке CNGS». Physics Letters B . 691 (3): 138–145. arXiv : 1006.1623 . Bibcode :2010PhLB..691..138A. doi :10.1016/j.physletb.2010.06.022. S2CID 119256958.
^ Abe, K.; et al. (T2K Collaboration) (август 2013 г.). "Доказательства появления электронного нейтрино в пучке мюонных нейтрино". Physical Review D. 88 ( 3): 032002. arXiv : 1304.0841 . Bibcode : 2013PhRvD..88c2002A. doi : 10.1103/PhysRevD.88.032002. ISSN 1550-7998. S2CID 53322828.
^ Коэн, Эндрю Г.; Глэшоу, Шелдон Л. и Лигети, Золтан (13 июля 2009 г.). «Распутывание нейтринных осцилляций». Physics Letters B. 678 ( 2): 191–196. arXiv : 0810.4602 . Bibcode : 2009PhLB..678..191C. doi : 10.1016/j.physletb.2009.06.020 .
^ Aartsen, MG; Ackermann, M.; Adams, J.; Aguilar, JA; Ahlers, M.; Ahrens, M.; al Samarai, I.; Altmann, D.; Andeen, K.; Anderson, T.; et al. (IceCube Collaboration) (12 апреля 2018 г.). "Поиск нестандартных нейтринных взаимодействий с помощью IceCube DeepCore". Physical Review D. 97 ( 7): 072009. Bibcode : 2018PhRvD..97g2009A. doi : 10.1103/PhysRevD.97.072009 . hdl : 2440/112089 .
^ Ахмедов, Евгений Х. (26 сентября 2007 г.). "Do chargeed leptons oscillate?". Журнал физики высоких энергий . 2007 (9): 116. arXiv : 0706.1216 . Bibcode : 2007JHEP...09..116A. doi : 10.1088/1126-6708/2007/09/116. S2CID 13895776.
^ Уолтем, Крис (июнь 2004 г.). «Обучение нейтринным осцилляциям». American Journal of Physics . 72 (6): 742–752. arXiv : physics/0303116 . Bibcode : 2004AmJPh..72..742W. doi : 10.1119/1.1646132. S2CID 14205602.
^ Маки, З.; Накагава, М.; Саката, С. (ноябрь 1962 г.). «Замечания о единой модели элементарных частиц». Progress of Theoretical Physics . 28 (5): 870. Bibcode :1962PThPh..28..870M. doi : 10.1143/PTP.28.870 .
^ Дэвис-младший, Рэймонд ; Хармер, Дон С.; Хоффман, Кеннет К. (май 1968). «Поиск нейтрино от Солнца». Physical Review Letters . 20 (21): 1205–1209. Bibcode : 1968PhRvL..20.1205D. doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1205.
^ Грибов, В. ; Понтекорво, Б. (20 января 1969 г.). «Нейтринная астрономия и лептонный заряд». Physics Letters B . 28 (7): 493–496. Bibcode :1969PhLB...28..493G. doi :10.1016/0370-2693(69)90525-5.
^ Шехтер, Джозеф; Валле, Хосе ВФ (1 ноября 1980 г.). «Массы нейтрино в теориях SU(2) $\otimes$ U(1) ». Physical Review D. 22 ( 9): 2227–2235. Bibcode :1980PhRvD..22.2227S. doi :10.1103/PhysRevD.22.2227.
^ Eidelman, S.; Hayes; Olive; Aguilar-Benitez; Amsler; Asner; et al. ( Particle Data Group ) (15 июля 2004 г.). "Глава 15: Масса нейтрино, смешивание и изменение аромата" (PDF) . Physics Letters B. Обзор физики частиц. 592 (1–4): 1–1109. arXiv : astro-ph/0406663 . Bibcode : 2004PhLB..592....1P. doi : 10.1016/j.physletb.2004.06.001. S2CID 118588567. Пересмотрено в сентябре 2005 г.
^ abcdefgh Месена, Балаж. "Нейтринные осцилляции". Проект демонстраций Вольфрама . Получено 8 октября 2015 г. Эти изображения были созданы с помощью Mathematica . Демонстрация позволяет исследовать параметры.
^ abcd Олив, KA; и др. (Particle Data Group) (2014). «Обзор физики элементарных частиц 2014 года». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ Накамура, К.; и др. (Particle Data Group) (2010). «Обзор физики частиц». Journal of Physics G. 37 ( 7A): 1–708. Bibcode : 2010JPhG...37g5021N. doi : 10.1088/0954-3899/37/7a/075021 . hdl : 10481/34593 . PMID 10020536.
^ Abe, K.; Akutsu, R.; Ali, A.; Alt, C.; Andreopoulos, C.; Anthony, L.; et al. (15 апреля 2020 г.). «Ограничение на фазу нарушения симметрии материи–антиматерии в нейтринных осцилляциях». Nature . 580 (7803): 339–344. arXiv : 1910.03887 . Bibcode :2020Natur.580..339T. doi :10.1038/s41586-020-2177-0. PMID 32296192. S2CID 203951445.
^ Валле, JWF (2006). "Обзор физики нейтрино". Journal of Physics . Conference Series . 53 (1): 473–505. arXiv : hep-ph/0608101 . Bibcode : 2006JPhCS..53..473V. doi : 10.1088/1742-6596/53/1/031. S2CID 2094005.
^ Mohapatra, RN & Valle, JWF (1986). "Несохранение массы нейтрино и барионного числа в моделях суперструн". Physical Review D. 34 ( 5): 1642–1645. Bibcode : 1986PhRvD..34.1642M. doi : 10.1103/PhysRevD.34.1642. hdl : 10550/47211 . PMID 9957332.
^ Костелецкий, Алан ; Сэмюэл, Стюарт (март 1994). «Нелинейные нейтринные осцилляции в расширяющейся Вселенной» (PDF) . Phys. Rev. D. 49 ( 4): 1740–1757. Bibcode : 1994PhRvD..49.1740K. doi : 10.1103/PhysRevD.49.1740. hdl : 2022/18663 . PMID 10017160.

Дальнейшее чтение

Гонсалес-Гарсия; Нир (2003). «Массы нейтрино и смешивание: доказательства и следствия». Обзоры современной физики . 75 (2): 345–402. arXiv : hep-ph/0202058 . Bibcode :2003RvMP...75..345G. doi :10.1103/RevModPhys.75.345. S2CID 119501801.
Maltoni; Schwetz; Tortola; Valle (2004). "Статус глобальных подгонок к нейтринным осцилляциям". New Journal of Physics . 6 (1): 122. arXiv : hep-ph/0405172 . Bibcode : 2004NJPh....6..122M. doi : 10.1088/1367-2630/6/1/122. S2CID 119459743.
Fogli; Lisi; Marrone; Montanino; Palazzo; Rotunno (2012). «Глобальный анализ масс, смешиваний и фаз нейтрино: вступление в эру поиска лептонных нарушений CP». Physical Review D. 86 ( 1): 013012. arXiv : 1205.5254 . Bibcode : 2012PhRvD..86a3012F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.013012. S2CID 119107183.
Forero; Tortola; Valle (2012). "Глобальный статус параметров осцилляций нейтрино после Neutrino-2012". Physical Review D. 86 ( 7): 073012. arXiv : 1205.4018 . Bibcode : 2012PhRvD..86g3012F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.073012. S2CID 53708945.

Внешние ссылки

Обзор статей на arxiv.org
«Нейтринные осцилляционные и головоломка солнечного нейтрино (лекция – 09) профессора Г. Шринивасана». YouTube . Международный центр теоретических наук. 18 мая 2018 г. В 1984 году Ганесан Шринивасан был избран членом Индийской академии наук .