Неравенство Либа–Тирринга

В математике и физике неравенства Либа–Тирринга дают верхнюю границу сумм степеней отрицательных собственных значений оператора Шредингера в терминах интегралов потенциала. Они названы в честь Э. Х. Либа и В. Э. Тирринга .

Неравенства полезны при изучении квантовой механики и дифференциальных уравнений и подразумевают, как следствие, нижнюю границу кинетической энергии квантово -механических частиц, которая играет важную роль в доказательстве устойчивости материи . ^[1] ${\displaystyle N}$

Формулировка неравенств

Для оператора Шредингера на с действительным потенциалом числа обозначают (не обязательно конечную) последовательность отрицательных собственных значений. Тогда для и удовлетворяющих одному из условий ${\displaystyle -\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\,n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}}$

существует константа , которая зависит только от и , такая, что ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

где — отрицательная часть потенциала . Случаи , а также были доказаны Э. Х. Либом и В. Э. Тиррингом в 1976 году ^[1] и использовались в их доказательстве устойчивости материи. В этом случае левая часть — это просто число отрицательных собственных значений, и доказательства были даны независимо М. Цвикелем, ^[2] Э. Х. Либом ^[3] и Г. В. Розенблюмом. ^[4] Полученное неравенство, таким образом, также называется границей Цвикеля–Либа–Розенблюма. Оставшийся критический случай был доказан Т. Вайдлем ^[5]. Условия на и являются необходимыми и не могут быть ослаблены. ${\displaystyle V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \gamma >1/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma >0,n\geq 2}$ ${\displaystyle \gamma =0,n\geq 3}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

Константы Либа–Тирринга

Квазиклассическое приближение

Неравенства Либа–Тирринга можно сравнить с полуклассическим пределом. Классическое фазовое пространство состоит из пар Отождествляя оператор импульса с и предполагая, что каждое квантовое состояние содержится в объеме в -мерном фазовом пространстве, полуклассическое приближение ${\displaystyle (p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.}$ ${\displaystyle -\mathrm {i} \nabla }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (2\pi )^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-}^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x}$

выводится с константой

${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.}$

В то время как полуклассическое приближение не требует никаких предположений относительно , ​​неравенства Либа–Тирринга справедливы только для подходящих . ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Асимптотика Вейля и точные константы

Многочисленные результаты были опубликованы о наилучшей возможной константе в ( 1 ), но эта проблема все еще частично открыта. Квазиклассическое приближение становится точным в пределе большой связи, то есть для потенциалов асимптотика Вейля ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \beta V}$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{-}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x}$

придерживаться. Это означает, что . Либ и Тирринг ^[1] смогли показать, что для . М. Айзенман и Э. Х. Либ ^[6] доказали, что для фиксированной размерности отношение является монотонной , невозрастающей функцией . Впоследствии было также показано, что выполняется для всех , когда А. Лаптевым и Т. Вайдлом. ^[7] Для Д. Хундертмарка, Э. Х. Либ и Л. Э. Томас ^[8] доказали, что наилучшая константа определяется выражением . ${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle \gamma \geq 3/2,n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma \geq 3/2}$ ${\displaystyle \gamma =1/2,\,n=1}$ ${\displaystyle L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=1/2}$

С другой стороны, известно, что для ^[1] и для . ^[9] В первом случае Либ и Тирринг предположили, что точная константа определяется выражением ${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle 1/2\leq \gamma <3/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma <1,d\geq 1}$

${\displaystyle L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.}$

Наиболее известным значением физической константы является ^[10] , а наименьшей известной константой в неравенстве Цвикеля–Либа–Розенблюма является . ^[3] Полный обзор наиболее известных в настоящее время значений для можно найти в литературе. ^[11] ${\displaystyle L_{1,3}}$ ${\displaystyle 1.456L_{1,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle 6.869L_{0,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$

Неравенства кинетической энергии

Неравенство Либа–Тирринга для эквивалентно нижней границе кинетической энергии данной нормализованной волновой функции -частицы в терминах однотельной плотности. Для антисимметричной волновой функции такой, что ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})}$

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{N})}$

для всех плотность одного тела определяется как ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle \rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N})|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Неравенство Либа–Тирринга ( 1 ) для эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle \gamma =1}$

где константа резкости определяется через ${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle \left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {n}{2}}\right)L_{1,n}\right)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.}$

Неравенство можно распространить на частицы со спиновыми состояниями, заменив плотность одного тела на плотность одного тела, суммированную по спину. Константу затем нужно заменить на где — число квантовых спиновых состояний, доступных каждой частице ( для электронов). Если волновая функция симметрична, а не антисимметрична, так что ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}/q^{2/n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=2}$

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$

для всех константу необходимо заменить на . Неравенство ( 2 ) описывает минимальную кинетическую энергию, необходимую для достижения заданной плотности с частицами в размерах. Если бы было доказано, что справедливо, правая часть ( 2 ) для была бы в точности членом кинетической энергии в теории Томаса–Ферми . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle \rho _{\psi }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle n=3}$

Неравенство можно сравнить с неравенством Соболева . М. Рюмин ^[12] вывел неравенство кинетической энергии ( 2 ) (с меньшей константой) напрямую, без использования неравенства Либа–Тирринга.

Стабильность материи

(для получения более подробной информации читайте страницу «Устойчивость материи »)

Неравенство кинетической энергии играет важную роль в доказательстве стабильности материи , представленном Либом и Тиррингом. ^[1] Рассматриваемый гамильтониан описывает систему частиц со спиновыми состояниями и фиксированными ядрами в местах с зарядами . Частицы и ядра взаимодействуют друг с другом посредством электростатической силы Кулона , и может быть введено произвольное магнитное поле . Если рассматриваемые частицы являются фермионами (т.е. волновая функция антисимметрична), то неравенство кинетической энергии ( 2 ) выполняется с константой (не ). Это является важнейшим ингредиентом в доказательстве стабильности материи для системы фермионов. Оно гарантирует, что энергия основного состояния системы может быть ограничена снизу константой, зависящей только от максимального заряда ядер, , умноженного на число частиц, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{j}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Z_{j}>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K_{n}/q^{2/n}}$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})}$ ${\displaystyle Z_{\max }}$

${\displaystyle E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.}$

Система тогда устойчива первого рода, поскольку энергия основного состояния ограничена снизу, а также устойчива второго рода, т. е. энергия линейно убывает с числом частиц и ядер. Для сравнения, если частицы предполагаются бозонами ( т. е. волновая функция симметрична), то неравенство кинетической энергии ( 2 ) выполняется только с константой , а для энергии основного состояния выполняется только ограничение вида . Поскольку можно показать, что мощность оптимальна, система бозонов устойчива первого рода, но неустойчива второго рода. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle -CN^{5/3}}$ ${\displaystyle 5/3}$

Обобщения

Если заменить лапласиан на , где — векторный потенциал магнитного поля в неравенстве Либа–Тирринга ( 1 ), то оно останется верным. Доказательство этого утверждения использует диамагнитное неравенство . Хотя все известные в настоящее время константы остаются неизменными, неизвестно, верно ли это в общем случае для наилучшей возможной константы. ${\displaystyle -\Delta =-\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathrm {i} \nabla +A(x))^{2}}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$

Лапласиан также может быть заменен другими степенями . В частности, для оператора справедливо неравенство Либа–Тирринга, подобное ( 1 ), с другой константой и со степенью в правой части, замененной на . Аналогично справедливо кинетическое неравенство, подобное ( 2 ), с заменой на , которое можно использовать для доказательства устойчивости материи для релятивистского оператора Шредингера при дополнительных предположениях относительно зарядов . ^[13] ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-\Delta }}}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \gamma +n}$ ${\displaystyle 1+2/n}$ ${\displaystyle 1+1/n}$ ${\displaystyle Z_{k}}$

По сути, неравенство Либа–Тирринга ( 1 ) дает верхнюю границу расстояний собственных значений до существенного спектра в терминах возмущения . Аналогичные неравенства можно доказать для операторов Якоби . ^[14] ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle V}$

Ссылки

1. Либ, Эллиотт Х.; Тирринг, Уолтер Э. (1991). "Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева". В Тирринг, Уолтер Э. (ред.). Устойчивость материи: от атомов до звезд . Princeton University Press. стр. 135–169. doi :10.1007/978-3-662-02725-7_13. ISBN 978-3-662-02727-1.
2. Цвикель, Майкл (1977). «Оценки слабого типа для сингулярных значений и числа связанных состояний операторов Шредингера». Анналы математики . 106 (1): 93–100. doi :10.2307/1971160. JSTOR  1971160.
3. Либ, Эллиотт (1 августа 1976 г.). «Границы собственных значений операторов Лапласа и Шрёдингера». Бюллетень Американского математического общества . 82 (5): 751–754. doi : 10.1090/s0002-9904-1976-14149-3 .
4. Розенблюм, Г.В. (1976). «Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов». Известия Высших Учебных Заведений Математики (1): 75–86. МР  0430557. Збл  0342.35045.
5. Вайдль, Тимо (1996). «О константах Либа-Тирринга для γ≧1/2». Сообщения по математической физике . 178 (1): 135–146. arXiv : quant-ph/9504013 . doi :10.1007/bf02104912. S2CID  117980716. ${\displaystyle L_{\gamma ,1}}$
6. Айзенман, Майкл; Либ, Эллиотт Х. (1978). «О полуклассических границах собственных значений операторов Шредингера». Physics Letters A. 66 ( 6): 427–429. Bibcode :1978PhLA...66..427A. doi :10.1016/0375-9601(78)90385-7.
7. Лаптев, Ари; Вайдль, Тимо (2000). «Точные неравенства Либа-Тирринга в больших размерностях». Acta Mathematica . 184 (1): 87–111. arXiv : math-ph/9903007 . doi : 10.1007/bf02392782 .
8. Хундертмарк, Дирк; Либ, Эллиотт Х.; Томас, Лоуренс Э. (1998). «Точная граница для собственного момента одномерного оператора Шредингера». Успехи теоретической и математической физики . 2 (4): 719–731. doi : 10.4310/atmp.1998.v2.n4.a2 .
9. Хельффер, Б.; Роберт, Д. (1990). «Средние Рисса ограниченных состояний и полуклассический предел, связанный с гипотезой Либа–Тирринга. II». Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 53 ( 2): 139–147. MR  1079775. Zbl  0728.35078.
10. Франк, Руперт; Хундертмарк, Дирк; Джекс, Михал; Нам, Фан Тхань (2021). «Повторное рассмотрение неравенства Либа-Тирринга». Журнал Европейского математического общества . 10 (4): 2583–2600. arXiv : 1808.09017 . doi : 10.4171/JEMS/1062 .
11. Лаптев, Ари. «Спектральные неравенства для уравнений с частными производными и их приложения». AMS/IP Studies in Advanced Mathematics . 51 : 629–643.
12. Румин, Мишель (2011). «Сбалансированные неравенства распределения энергии и связанные с ними границы энтропии». Duke Mathematical Journal . 160 (3): 567–597. arXiv : 1008.1674 . doi : 10.1215/00127094-1444305. MR  2852369. S2CID  638691.
13. Франк, Руперт Л.; Либ, Эллиотт Х.; Сайрингер, Роберт (10 октября 2007 г.). "Неравенства Харди-Либа-Тирринга для дробных операторов Шредингера" (PDF) . Журнал Американского математического общества . 21 (4): 925–950. doi : 10.1090/s0894-0347-07-00582-6 .
14. Хундертмарк, Дирк; Саймон, Барри (2002). «Неравенства Либа–Тирринга для матриц Якоби». Журнал теории приближений . 118 (1): 106–130. arXiv : math-ph/0112027 . doi : 10.1006/jath.2002.3704 .

Литература

• Либ, Э. Х.; Сейрингер, Р. (2010). Устойчивость материи в квантовой механике (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9780521191180.
• Hundertmark, D. (2007). "Некоторые проблемы связанных состояний в квантовой механике". В Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (ред.). Spectral Theory and Mathematical Physics: A Festschrift in Honor of Barry Simon's 60th Birthday . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 76. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 463–496. Bibcode : 2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.