В математике гипотезы Мерсенна касаются характеристики особого рода простых чисел , называемых простыми числами Мерсенна , то есть простыми числами, которые являются степенью двойки минус один.
Оригинал, называемый гипотезой Мерсенна , был утверждением Марина Мерсенна в его Cogitata Physico-Mathematica (1644; см., например, Dickson 1919) о том, что числа являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257, и являются составными для всех других положительных целых чисел n ≤ 257. Первые семь записей его списка ( для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) уже были доказаны как простые числа с помощью пробного деления до времени Мерсенна; [1] только последние четыре записи были новыми утверждениями Мерсенна. Из-за размера этих последних чисел Мерсенн не проверил и не мог проверить их все, как и его коллеги в 17 веке. В конце концов, после трех столетий и появления новых методов, таких как тест Люка-Лемера , было установлено , что гипотеза Мерсенна содержала пять ошибок, а именно, две записи были составными (те, которые соответствовали простым числам n = 67, 257) и три простых числа отсутствовали (те, которые соответствовали простым числам n = 61, 89, 107). Правильный список для n ≤ 257: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.
Хотя первоначальная гипотеза Мерсенна ложна, она могла привести к появлению Новой гипотезы Мерсенна .
Новая гипотеза Мерсенна или гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстаффа (Бейтман и др., 1989) утверждает, что для любого нечетного натурального числа p , если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:
Если p — нечетное составное число, то 2 p − 1 и (2 p + 1)/3 — оба составные числа. Поэтому для проверки истинности гипотезы необходимо проверить только простые числа.
В настоящее время известно девять чисел, для которых выполняются все три условия: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (последовательность A107360 в OEIS ). Бейтман и др. ожидали, что ни одно число больше 127 не удовлетворяет всем трем условиям, и показали, что эвристически ни одно большее число не будет удовлетворять даже двум условиям, что сделало бы Новую гипотезу Мерсенна тривиально истинной.
По состоянию на 2024 год известны [обновлять]все простые числа Мерсенна до 2 57885161 − 1, и ни для одного из них третье условие не выполняется, за исключением только что упомянутых. [2] [3] Простые числа, удовлетворяющие хотя бы одному условию:
Обратите внимание, что два простых числа, для которых исходная гипотеза Мерсенна ложна (67 и 257), удовлетворяют первому условию новой гипотезы (67 = 2 6 + 3, 257 = 2 8 + 1), но не двум другим. 89 и 107, которые были пропущены Мерсенном, удовлетворяют второму условию, но не двум другим. Мерсенн мог подумать, что 2 p − 1 является простым числом, только если p = 2 k ± 1 или p = 4 k ± 3 для некоторого натурального числа k , но если бы он думал, что это было « тогда и только тогда », он бы включил 61.
Новую гипотезу Мерсенна можно рассматривать как попытку спасти многовековую гипотезу Мерсенна, которая является ложной. Однако, по словам Роберта Д. Сильвермана, Джон Селфридж согласился, что новая гипотеза Мерсенна «очевидно верна», поскольку она была выбрана для соответствия известным данным, а контрпримеры за пределами этих случаев крайне маловероятны. Ее можно рассматривать скорее как любопытное наблюдение, чем как открытый вопрос, требующий доказательства .
Prime Pages показывает, что новая гипотеза Мерсенна верна для всех целых чисел, меньших или равных 30402457 [2], систематически перечисляя все простые числа, для которых уже известно, что одно из условий выполняется.
Ленстра , Померанс и Вагстафф предположили, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна , и, точнее, что число простых чисел Мерсенна, меньших x, асимптотически приближается к значению
где γ — константа Эйлера–Маскерони . Другими словами, число простых чисел Мерсенна с показателем p, меньшим y, асимптотически равно
Это означает, что в среднем должно быть около ≈ 5,92 простых чисел p с заданным количеством десятичных цифр, таких, что является простым. Гипотеза довольно точна для первых 40 простых чисел Мерсенна, но между 2 20 000 000 и 2 85 000 000 их по крайней мере 12, [6] вместо ожидаемого числа, которое составляет около 3,7.
В более общем случае число простых чисел p ≤ y , таких что является простым (где a , b — взаимно простые целые числа, a > 1, − a < b < a , a и b не являются одновременно совершенными r -ыми степенями для любого натурального числа r > 1, и −4 ab не является совершенной четвертой степенью), асимптотически равно
где m — наибольшее неотрицательное целое число, такое, что a и − b — оба совершенные степени 2 m . Случай простых чисел Мерсенна — это один из случаев ( a , b ) = (2, 1).
