numéraire (или numeraire ) — это базовый стандарт, по которому вычисляется стоимость. В математической экономике это торгуемая экономическая единица, в терминах цены которой выражаются относительные цены всех других торгуемых товаров. В денежной экономике одна из функций денег — выступать в качестве numéraire , т. е. служить единицей счета и, следовательно, обеспечивать общий эталон, относительно которого можно измерять стоимость различных товаров и услуг.
Использование numeraire, будь то денежный или какой-либо потребительский товар, облегчает сравнение стоимости, когда важны только относительные цены, как в теории общего равновесия . Когда экономический анализ ссылается на конкретный товар как на numeraire, говорят, что все другие цены нормализуются ценой этого товара. Например, если единица товара g имеет в два раза большую рыночную стоимость, чем единица numeraire, то (относительная) цена g равна 2. Поскольку стоимость одной единицы numeraire относительно одной его единицы равна 1, цена numeraire всегда равна 1.
На финансовом рынке с торгуемыми ценными бумагами можно использовать numéraire для оценки активов. Например, пусть будет ценой в момент времени t $1, который был инвестирован на денежном рынке в момент времени 0. Фундаментальная теорема оценки активов гласит, что все активы, оцененные в терминах numéraire (в данном случае M ), являются мартингалами по отношению к нейтральной по отношению к риску мере , скажем , . То есть:
Теперь предположим, что это еще один строго положительный торгуемый актив (и, следовательно, мартингейл, если оценивать его в терминах денежного рынка). Тогда мы можем определить новую меру вероятности с помощью производной Радона-Никодима
Тогда можно показать, что это мартингейл ниже, если оценивать его в терминах нового числового показателя :
Эта техника имеет много важных приложений в моделях рынка LIBOR и свопов , а также на товарных рынках. Джамшидиан (1989) впервые использовал ее в контексте модели Васичека для процентных ставок с целью расчета цен опционов на облигации. Геман, Эль Каруи и Роше (1995) представили общую формальную структуру для техники изменения numéraire. См., например, Brigo и Mercurio (2001) [1] для инструментария изменения numéraire.
Определение подходящего numéraire имеет основу в нескольких финансовых моделях ценообразования, таких как опционы и определенные активы. Определение рискованного актива как numéraire имеет корреляцию с количеством базовых активов для моделирования. Базовые сдвиги моделируются следующим образом:
где 1 определяет нумерацию.
![{\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd66e6baaa83dbed422fbcf19002d7c9688fd56a)
![{\displaystyle {\begin{align}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\\&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd201f925f13ab360419587a61800a9e4f1759dd)
