Обозначение Пеано–Рассела

В математической логике нотация Пеано–Рассела была применением Бертраном Расселом логической нотации Джузеппе Пеано к логическим понятиям Фреге и использовалась при написании Principia Mathematica в сотрудничестве с Альфредом Нортом Уайтхедом : ^[1]

«Обозначения, принятые в настоящей работе, основаны на обозначениях Пеано, а последующие пояснения в некоторой степени смоделированы по образцу тех, которые он предваряет своим Formulario Mathematico ». (Глава I: Предварительные пояснения идей и обозначений, стр. 4)

Переменные

В нотации переменные неоднозначны в обозначении, сохраняют узнаваемую идентичность, появляясь в различных местах логических утверждений в заданном контексте, и имеют диапазон возможного определения между любыми двумя переменными, который является одинаковым или различным. Когда возможное определение одинаково для обеих переменных, то одно подразумевает другое; в противном случае возможное определение одного, заданное для другого, производит бессмысленную фразу. Набор алфавитных символов для переменных включает строчные и прописные латинские буквы, а также многие из греческого алфавита.

Основные функции предложений

Четыре основные функции — это противоречивая функция , логическая сумма , логическое произведение и импликативная функция . ^[2]

Противоречивая функция

Противоречивая функция, примененная к предложению, возвращает его отрицание.

${\displaystyle \sim p}$

Логическая сумма

Логическая сумма, примененная к двум предложениям, возвращает их дизъюнкцию.

${\displaystyle p\lor q}$

Логический продукт

Логическое произведение, примененное к двум предложениям, возвращает истинностное значение того, что оба предложения одновременно истинны.

${\displaystyle p\cdot q}$

Импликативная функция

Импликативная функция, примененная к двум упорядоченным предложениям, возвращает истинностное значение первого предложения, подразумевающего второе предложение.

${\displaystyle p\supset q}$

Более сложные функции предложений

Эквивалентность записывается как , что означает . ^[3] ${\displaystyle p\equiv q}$ ${\displaystyle p\supset q\cdot q\supset p}$

Утверждение — это то же самое, что и высказывание между двумя точками.

${\displaystyle \vdash p}$

Высказываемое утверждение либо истинно, либо является ошибкой автора. ^[4]

Вывод эквивалентен правилу modus ponens , где ^[5] ${\displaystyle p\cdot p\supset q.\supset q}$

В дополнение к логическому произведению, точки также используются для обозначения групп функций предложений. В приведенном выше примере точка перед конечным символом функции импликации группирует все предыдущие функции на этой строке вместе как антецедент к конечному следствию.

Обозначение включает определения как сложные функции предложений, используя знак равенства «=» для отделения определяемого термина от его символического определения, заканчивая буквами «Df». ^[6]

Примечания

1. Рассел, стр. 4
2. Рассел, стр. 6
3. Рассел, стр. 7
4. Рассел, стр. 8
5. Рассел, стр. 8–9.
6. Рассел, стр. 11

Ссылки

• Рассел, Бертран и Альфред Норт Уайтхед (1910). Principia Mathematica Кембридж, Англия: The University Press. OCLC  1041146

Внешние ссылки

• Лински, Бернард. «Обозначения в Principia Mathematica». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .