В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре теоремы о генерической плоскостности и генерической свободе утверждают , что при определенных гипотезах пучок модулей на схеме является плоским или свободным . Они принадлежат Александру Гротендику .
Общая плоскостность утверждает, что если Y — целочисленная локально нётерова схема, u : X → Y — конечный морфизм типов схем, а F — когерентный O X -модуль, то существует непустое открытое подмножество U из Y такое, что ограничение F на u −1 ( U ) является плоским над U . [1]
Поскольку Y является целым, U является плотным открытым подмножеством Y . Это можно применить для вывода варианта общей плоскостности, которая верна, когда база не является целой. [2] Предположим, что S является нётеровой схемой, u : X → S является конечным морфизмом типов, а F является когерентным модулем O X. Тогда существует разбиение S на локально замкнутые подмножества S 1 , ..., S n со следующим свойством: дадим каждому S i его редуцированную схемную структуру, обозначим через X i расслоенное произведение X × S S i и обозначим через F i ограничение F ⊗ O S O S i ; тогда каждое F i является плоским.
Общая плоскостность является следствием леммы о общей свободе. Общая свобода утверждает, что если A — нётерова область целостности , B — конечная A -алгебра, а M — конечный B -модуль, то существует ненулевой элемент f из A, такой что M f — свободный A f -модуль. [3] Общая свобода может быть расширена до градуированной ситуации: если B градуировано натуральными числами, A действует в степени ноль, а M — градуированный B -модуль, то f может быть выбрано таким образом, что каждая градуированная компонента M f будет свободной. [4]
Общая свобода доказывается с помощью техники dévissage Гротендика . Другая версия общей свободы может быть доказана с помощью леммы нормализации Нётер .