«Основы арифметики» ( нем . Die Grundlagen der Arithmetik ) — книга Готлоба Фреге , опубликованная в 1884 году, в которой исследуются философские основы арифметики . Фреге опровергает другие идеалистические и материалистические теории чисел и разрабатывает свою собственную платоновскую теорию чисел. « Основы» также помогли мотивировать более поздние работы Фреге в области логицизма .
Книга также сыграла основополагающую роль в философии языка . Майкл Дамметт прослеживает лингвистический поворот к Grundlagen Фреге и его принципу контекста .
Книга не была хорошо принята и не была широко прочитана, когда была опубликована. Однако она привлекла внимание Бертрана Рассела и Людвига Витгенштейна , которые оба находились под сильным влиянием философии Фреге. Английский перевод был опубликован (Оксфорд, 1950) Дж. Л. Остином , второе издание вышло в 1960 году. [1]
Чтобы ответить на кантовский вопрос о числах : «Как нам даны числа, если у нас нет ни идеи, ни интуиции о них?» Фреге прибегает к своему « контекстному принципу », изложенному в начале книги, согласно которому слова имеют значение только в контексте предложения, и, таким образом, находит решение в определении «смысла предложения, в котором встречается числовое слово». Таким образом, онтологическая и эпистемологическая проблема, традиционно решаемая идеалистическим путем, вместо этого решается лингвистическим путем .
Фреге возражает против любого описания математики, основанного на психологизме , то есть на мнении, что математика и числа относительны к субъективным мыслям людей, которые думают о них. По Фреге, психологические описания апеллируют к тому, что субъективно, в то время как математика чисто объективна : математика полностью независима от человеческого мышления. Математические сущности, по Фреге, обладают объективными свойствами независимо от того, думают ли о них люди: невозможно думать о математических утверждениях как о чем-то, что естественным образом развилось в ходе человеческой истории и эволюции . Он видит фундаментальное различие между логикой (и ее расширением, по Фреге, математикой) и психологией. Логика объясняет необходимые факты, тогда как психология изучает определенные мыслительные процессы в индивидуальных умах. [2] Идеи являются частными, поэтому идеализм в отношении математики подразумевает, что есть «мои два» и «твои два», а не просто число два.
Фреге высоко ценит работу Иммануила Канта . Однако он критикует его в основном на том основании, что числовые утверждения не являются синтетическими - априорными , а скорее аналитическими - априорными. [3] Кант утверждает, что 7 + 5 = 12 - недоказуемое синтетическое утверждение. [4] Независимо от того, насколько тщательно мы анализируем идею 7 + 5, мы не найдем там идею 12. Мы должны прийти к идее 12 путем применения к объектам в интуиции. Кант указывает, что это становится все более ясным с большими числами. Фреге, в этом пункте, как раз рассуждает в противоположном направлении. Кант ошибочно предполагает, что в предложении, содержащем "большие" числа, мы должны подсчитывать точки или что-то подобное, чтобы утверждать их истинность . Фреге утверждает, что даже не имея никакой интуиции относительно любого из чисел в следующем уравнении: 654 768 + 436 382 = 1 091 150, мы тем не менее можем утверждать, что оно истинно. Это приводится в качестве доказательства того, что такое предложение является аналитическим. В то время как Фреге соглашается, что геометрия действительно является синтетической априори, арифметика должна быть аналитической. [5]
Фреге резко критикует эмпиризм Джона Стюарта Милля . [6] [7] Он утверждает, что идея Милля о том, что числа соответствуют различным способам разбиения наборов объектов на поднаборы, несовместима с уверенностью в вычислениях, включающих большие числа. [8] [9] Далее он шутит: «Слава богу, что не все прибито гвоздями!» Фреге также отрицает, что философия Милля адекватно рассматривает концепцию нуля . [10]
Далее он утверждает, что операцию сложения нельзя понимать как относящуюся к физическим величинам, и что путаница Милля в этом вопросе является симптомом более масштабной проблемы смешения приложений арифметики с самой арифметикой.
Фреге использует пример колоды карт, чтобы показать, что числа не присущи объектам. Вопрос «сколько» бессмыслен без дальнейшего уточнения карт, мастей или чего-либо еще, показывая, что числа принадлежат понятиям, а не объектам.
Книга содержит известную антиструктуралистскую задачу Фреге о Юлии Цезаре . Фреге утверждает, что правильная теория математики могла бы объяснить, почему Юлий Цезарь не является числом. [11] [12]
Фреге проводит различие между частными числовыми утверждениями, такими как 1+1=2, и общими утверждениями, такими как a+b=b+a. Последние являются утверждениями, верными для чисел так же, как и первые. Поэтому необходимо попросить дать определение понятию числа как такового. Фреге исследует возможность того, что число определяется во внешних вещах. Он демонстрирует, как числа функционируют в естественном языке так же, как прилагательные. «У этого стола 5 ящиков» по форме похоже на «У этого стола зеленые ящики». То, что ящики зеленые, является объективным фактом, основанным на внешнем мире. Но это не относится к числу 5. Фреге утверждает, что каждый ящик сам по себе зеленый, но не каждый ящик — это 5. [13] Фреге призывает нас помнить, что из этого не следует, что числа могут быть субъективными. Действительно, числа подобны цветам, по крайней мере, тем, что оба они полностью объективны. Фреге говорит нам, что мы можем преобразовать числовые утверждения, в которых числовые слова появляются как прилагательные (например, «имеется четыре лошади»), в утверждения, в которых числовые термины появляются как единственные термины («количество лошадей равно четырем»). [14] Фреге рекомендует такие переводы, потому что он считает числа объектами. Бессмысленно спрашивать, подпадают ли какие-либо объекты под 4. После того, как Фреге приводит некоторые причины полагать, что числа являются объектами, он приходит к выводу, что утверждения о числах являются утверждениями о понятиях.
Фреге считает это наблюдение фундаментальной мыслью Grundlagen . Например, предложение «число лошадей в амбаре равно четырем» означает, что четыре объекта подпадают под понятие лошади в амбаре . Фреге пытается объяснить наше понимание чисел через контекстное определение операции мощности («число...», или ). Он пытается сконструировать содержание суждения, включающего численное тождество, опираясь на принцип Юма (который гласит, что число F равно числу G тогда и только тогда, когда F и G равночисленны , т. е. находятся во взаимно однозначном соответствии). [15] Он отвергает это определение, поскольку оно не фиксирует истинностное значение утверждений тождества, когда единичный термин не в форме «число F» примыкает к знаку тождества. Фреге продолжает давать явное определение числа в терминах расширений понятий, но выражает некоторые колебания.
Фреге утверждает, что числа являются объектами и утверждают что-то о концепции. Фреге определяет числа как расширения концепций. «Число F» определяется как расширение концепции G — это концепция, которая равночисленна F. Рассматриваемая концепция приводит к классу эквивалентности всех концепций, которые имеют число F (включая F). Фреге определяет 0 как расширение концепции, которая не является самотождественной . Таким образом, число этой концепции является расширением концепции всех концепций, которые не имеют подпадающих под них объектов. Число 1 является расширением того, чтобы быть идентичным с 0. [16]
Книга сыграла основополагающую роль в развитии двух основных дисциплин: основ математики и философии. Хотя Бертран Рассел позже обнаружил существенный недостаток в Основном законе V Фреге (этот недостаток известен как парадокс Рассела , который разрешается аксиоматической теорией множеств ), книга оказала влияние на последующие разработки, такие как Principia Mathematica . Книгу также можно считать отправной точкой в аналитической философии , поскольку она вращается в основном вокруг анализа языка с целью прояснения концепции числа. Взгляды Фреге на математику также являются отправной точкой в философии математики , поскольку она вводит новаторский отчет об эпистемологии чисел и математике в целом, известный как логицизм.
