Основная омега-функция

Количество простых множителей натурального числа n

В теории чисел простые омега-функции и подсчитывают количество простых множителей натурального числа Таким образом (маленькая омега) подсчитывает каждый отдельный простой множитель, тогда как связанная с ней функция (большая омега) подсчитывает общее количество простых множителей с учетом их кратности (см. арифметическую функцию ). То есть, если у нас есть разложение на простые множители вида для различных простых чисел ( ), то соответствующие простые омега-функции задаются как и . Эти функции подсчета простых множителей имеют много важных соотношений теории чисел. ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Свойства и отношения

Функция является аддитивной и полностью аддитивной . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Если делится хотя бы один раз, то мы считаем только один раз, например . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }$

Если делит умножить на , то считаем показатели степени, например . Как обычно, означает точную степень деления . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$ ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Если тогда является бесквадратным и связана с функцией Мёбиуса соотношением ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Если , то — степень простого числа, а если , то — простое число. ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

Известно, что функция делителя удовлетворяет . ^[1] ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Как и для многих арифметических функций, для или не существует явной формулы , но есть приближения. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

Асимптотический ряд для среднего порядка имеет вид ^[2] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

где — постоянная Мертенса , — константы Стилтьеса . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$

Функция связана с суммами делителей по функции Мёбиуса и функцией делителей, включающей следующие суммы. ^[3] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$- число единичных делителей . OEIS : A034444

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

Характеристическая функция простых чисел может быть выражена сверткой с функцией Мёбиуса : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Точное тождество, связанное с разделением, для задается формулой ^[5] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

где — статистическая сумма , — функция Мёбиуса , а треугольная последовательность расширяется на ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

в терминах бесконечного символа q-Похгаммера и ограниченных функций распределения , которые соответственно обозначают число ' во всех разбиениях на нечетное ( четное ) число различных частей. ^[6] ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Продолжение к комплексной плоскости

Продолжение найдено, хотя оно не везде аналитично. ^[7] Обратите внимание, что используется нормализованная функция . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

Это тесно связано со следующим тождеством разбиения. Рассмотрим разбиения вида

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

где , , и являются положительными целыми числами, и . Количество разделов тогда определяется как . ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$

Средний порядок и суммирующие функции

Средний порядок и равен . Когда является простым числом, нижняя граница значения функции равна . Аналогично, если является простым числом , то функция имеет такой же размер, как и в среднем порядке. Когда является степенью числа 2 , то . ^[9] ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \log \log n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Асимптотики для суммирующих функций по , и соответственно вычисляются в Харди и Райте как ^{[10] [11]} ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

где — постоянная Мертенса , а константа определяется как ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

Сумма числа единичных делителей :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^[12] (последовательность A064608 в OEIS )

Другие суммы, связывающие два варианта простых омега-функций, включают ^[13]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

и

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Пример I: Модифицированная сумматорная функция

В этом примере мы предлагаем вариант суммирующих функций, оцененных в приведенных выше результатах для достаточно больших . Затем мы доказываем асимптотическую формулу для роста этой модифицированной суммирующей функции, полученную из асимптотической оценки , приведенной в формулах в основном подразделе этой статьи выше. ^[14] ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Чтобы быть совсем точным, пусть нечетно-индексная сумматорная функция определяется как

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

где обозначает скобку Айверсона . Тогда имеем, что ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

Доказательство этого результата следует из первого наблюдения, что

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

и затем применяем асимптотический результат Харди и Райта для суммирующей функции по , обозначенной как , в следующей форме: ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Пример II: Суммирующие функции для так называемых факториальных моментов ω(n)

Вычисления, расширенные в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки для суммирующей функции

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

оценивая произведение этих двух компонентных омега-функций как

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

Аналогичным образом можно вычислить асимптотические формулы в более общем виде для связанных суммирующих функций по так называемым факториальным моментам функции . ${\displaystyle \omega (n)}$

ряд Дирихле

Известный ряд Дирихле, включающий и дзета-функцию Римана, задается формулой ^[15] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

Мы также можем видеть, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

Функция полностью аддитивна , где сильно аддитивна (аддитивна) . Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующем виде, которая влечет точные формулы для разложений ряда Дирихле по обоим и : ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Лемма. Предположим, что — сильно аддитивная арифметическая функция , определенная таким образом, что ее значения в простых степенях задаются как , т.е. для различных простых чисел и показателей . Ряд Дирихле расширяется как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Доказательство. Мы видим, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Это подразумевает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

везде, где соответствующие ряды и произведения сходятся. В последнем уравнении мы использовали представление произведения Эйлера дзета-функции Римана .

Из леммы следует, что для , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

где — простая дзета-функция , где — -й гармонический номер , а — тождество для свертки Дирихле , . ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$

Распределение разности простых омега-функций

Распределение отдельных целых значений разностей является регулярным по сравнению с полуслучайными свойствами компонентных функций. Для , определим ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

Эти мощности имеют соответствующую последовательность предельных плотностей, такую ​​что для ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Эти плотности генерируются первичными продуктами

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

При абсолютной константе плотности удовлетворяют ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Сравните с определением простых произведений, данным в последнем разделе ^[16] в связи с теоремой Эрдёша–Каца .

Смотрите также

• Аддитивная функция
• Арифметическая функция
• Теорема Эрдеша–Каца
• Омега-функция (значения)
• Простое число
• Целое число, свободное от квадратов

Примечания

1. Это неравенство приведено в разделе 22.13 Харди и Райта.
2. SR Finch, Два асимптотических ряда, Математические константы II, Cambridge Univ. Press, стр. 21-32, [1]
3. Каждое из этих тождеств, начинающееся со второго тождества в списке, цитируется по отдельности на страницах Свертки Дирихле арифметических функций , тождество Менона и другие формулы для функции тотиента Эйлера . Первое тождество представляет собой комбинацию двух известных сумм делителей, цитируемых в разделе 27.6 Справочника по математическим функциям NIST.
4. Это предлагается в качестве упражнения в книге Апостола. А именно, мы пишем , где . Мы можем образовать ряд Дирихле по как , где — дзета -функция простых чисел . Тогда становится очевидным, что — индикаторная функция простых чисел. ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. Это тождество доказано в статье Шмидта, цитируемой на этой странице ниже.
6. Эта треугольная последовательность также занимает видное место в теоремах о факторизации рядов Ламберта, доказанных Меркой и Шмидтом (2017–2018)
7. Хельшер, Захари; Палссон, Эйвиндур (2020-12-05). «Подсчет ограниченных разбиений целых чисел на дроби: симметрия и режимы производящей функции и связь с ω(t)». Журнал бакалаврских исследований PUMP . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . doi : 10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
8. Хельшер, Захари; Палссон, Эйвиндур (2020-12-05). «Подсчет ограниченных разбиений целых чисел на дроби: симметрия и режимы производящей функции и связь с ω(t)». Журнал бакалаврских исследований PUMP . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . doi : 10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
9. Для ссылок на каждую из этих оценок среднего порядка см. уравнения (3) и (18) справочника MathWorld и разделы 22.10–22.11 Харди и Райта.
10. См. разделы 22.10 и 22.11 для ссылок и явных выводов этих асимптотических оценок.
11. На самом деле доказательство последнего результата, приведенное в работе Харди и Райта, фактически предлагает более общую процедуру извлечения асимптотических оценок моментов для любого путем рассмотрения суммирующих функций факториальных моментов вида для более общих случаев . ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$
12. Коэн, Экфорд (1960). «Число унитарных делителей целого числа». The American Mathematical Monthly . 67 (9): 879–880. doi :10.2307/2309455. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309455.
13. Харди и Райт Глава 22.11.
14. Nb, эта сумма предложена работой, содержащейся в неопубликованной рукописи автора этой страницы, связанной с ростом функции Мертенса . Следовательно, это не просто пустая и/или тривиальная оценка, полученная с целью изложения здесь.
15. Это тождество можно найти в разделе 27.4 Справочника по математическим функциям NIST.
16. Реньи, А.; Туран, П. (1958). «Об одной теореме Эрдеша-Каца» (PDF) . Акта Арифметика . 4 (1): 71–84. дои : 10.4064/aa-4-1-71-84.

Ссылки

• GH Hardy и EM Wright (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Oxford University Press.
• HL Montgomery и RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Cambridge University Press.
• Шмидт, Макси (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [math.NT].
• Weisstein, Eric. "Distinct Prime Factors". MathWorld . Получено 22 апреля 2018 г. .

Внешние ссылки

• OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц
• OEIS Wiki о простых факторах