Функция Мёбиуса

Мультипликативная функция в теории чисел

Функция Мёбиуса ${\displaystyle \mu (n)}$ — мультипликативная функция в теории чисел, введенная немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (также транслитерируемым Мёбиусом ) в 1832 году. ^{[i] [ii] [2]} Она повсеместно встречается в элементарной и аналитической теории чисел и чаще всего появляется как часть ее одноименной формулы обращения Мёбиуса . После работ Джан-Карло Рота в 1960-х годах обобщения функции Мёбиуса были введены в комбинаторику и обозначаются аналогичным образом . ${\displaystyle \mu (x)}$

Определение

Функция Мёбиуса определяется формулой ^[3]

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\(-1)^{k}&{\text{if }}n{\text{ is the product of }}k{\text{ distinct primes}}\\0&{\text{if }}n{\text{ is divisible by a square}}>1\end{cases}}}$$

Функцию Мёбиуса можно альтернативно представить как

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}$

где — символ Кронекера , — функция Лиувилля , — число различных простых делителей числа , а — число простых множителей числа , подсчитанное с учетом кратности. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

Другая характеристика Гаусса – сумма всех первообразных корней . ^[4]

Ценности

Значения для первых 50 положительных чисел равны ${\displaystyle \mu (n)}$

Первые 50 значений функции показаны ниже:

50 первых значений ${\displaystyle \mu (n)}$

Более крупные значения можно проверить:

• Вольфрамальфа
• b-файл OEIS

Приложения

Математическая серия

Ряд Дирихле, который порождает функцию Мёбиуса, является (мультипликативной) обратной функцией дзета-функции Римана ; если — комплексное число с действительной частью больше 1, то имеем ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Это можно увидеть из его произведения Эйлера

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

Также:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$где - постоянная Эйлера . ${\displaystyle \gamma }$

Ряд Ламберта для функции Мёбиуса имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

который сходится для . Для простого числа мы также имеем ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Алгебраическая теория чисел

Гаусс ^[1] доказал, что для простого числа сумма его первообразных корней сравнима с . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu (p-1)\ (\mod p)}$

Если обозначает конечное поле порядка (где — обязательно степень простого числа), то число монических неприводимых многочленов степени выше определяется выражением ^[5] ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

Функция Мёбиуса используется в формуле обращения Мёбиуса .

Физика

Функция Мёбиуса также возникает в модели газа примонов или свободного газа Римана суперсимметрии . В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергии . При вторичном квантовании рассматриваются многочастичные возбуждения; они задаются для любого натурального числа . Это следует из того факта, что факторизация натуральных чисел на простые множители является единственной. ${\displaystyle \log(p)}$ ${\displaystyle \log(n)}$ ${\displaystyle n}$

В свободном газе Римана может возникнуть любое натуральное число, если примоны взять за бозоны . Если же их взять за фермионы , то принцип исключения Паули исключает квадраты. Оператор , различающий фермионы и бозоны, есть тогда не что иное, как функция Мёбиуса . ${\displaystyle (-1)^{F}}$ ${\displaystyle \mu (n)}$

Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что функция распределения является дзета-функцией Римана . Эта идея лежит в основе попытки Алена Конна доказать гипотезу Римана . ^[6]

Характеристики

Функция Мёбиуса является мультипликативной (т.е. когда и взаимно просты ). ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Доказательство : Дано два взаимно простых числа , вводим индукцию по . Если , то . В противном случае , так что ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle mn=1}$ ${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$ ${\displaystyle m>n\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям числа (включая себя и 1) равна нулю, за исключением случаев : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

Приведенное выше равенство приводит к важной формуле обращения Мёбиуса и является основной причиной ее актуальности в теории мультипликативных и арифметических функций. ${\displaystyle \mu }$

Другие приложения в комбинаторике связаны с использованием теоремы Полиа о перечислении в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях. ${\displaystyle \mu (n)}$

Существует формула ^[7] для вычисления функции Мёбиуса без непосредственного знания факторизации ее аргумента:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

т.е. является суммой примитивных корней -й степени из единицы . (Однако вычислительная сложность этого определения по крайней мере такая же, как и у определения произведения Эйлера.) ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle n}$

Другие тождества, которым удовлетворяет функция Мёбиуса, включают в себя

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

и

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

Первый из них является классическим результатом, а второй был опубликован в 2020 году. ^{[8] [9]} Аналогичные тождества справедливы для функции Мертенса .

Доказательство формулы для суммы μ {\displaystyle \mu } над делителями

Формула

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

можно записать с использованием свертки Дирихле как: где — тождество под сверткой . ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Один из способов доказательства этой формулы — заметить, что свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Таким образом, достаточно доказать формулу для степеней простых чисел. Действительно, для любого простого числа и для любого ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$,

в то время как для ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$.

Другие доказательства

Другой способ доказательства этой формулы — использование тождества

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

Формула выше является следствием того факта, что сумма корней степени y из единицы равна 0, поскольку каждый корень степени y из единицы является примитивным корнем степени y из единицы ровно для одного делителя числа . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Однако это тождество также можно доказать из первых принципов. Сначала отметим, что оно тривиально верно, когда . Предположим тогда, что . Тогда существует биекция между множителями для , для которых и подмножествами множества всех простых множителей . Утверждаемый результат следует из того факта, что каждое непустое конечное множество имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (d)\neq 0}$ ${\displaystyle n}$

Этот последний факт можно легко показать индукцией по мощности непустого конечного множества . Во-первых, если , существует ровно одно подмножество нечетной мощности из , а именно само себя, и ровно одно подмножество четной мощности, а именно . Далее, если , то разделим подмножества из на два подкласса в зависимости от того, содержат ли они какой-либо фиксированный элемент в . Между этими двумя подклассами существует очевидная биекция, объединяющая те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества . Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества , и, следовательно, по предположению индукции, имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. Эти подмножества, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют подмножествам , содержащим четную и нечетную мощность . Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций. ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|=1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle |S|>1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle S}$

Связанный с этим результат заключается в том, что биномиальные коэффициенты демонстрируют чередующиеся элементы четной и нечетной степени, которые суммируются симметрично.

Средний заказ

Среднее значение (в смысле средних порядков) функции Мёбиуса равно нулю. Это утверждение, по сути, эквивалентно теореме о простых числах . ^[10]

μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} разделы

${\displaystyle \mu (n)=0}$ тогда и только тогда, когда делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством — ${\displaystyle n}$

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (последовательность A013929 в OEIS ).

Если является простым, то , но обратное неверно. Первое не простое число , для которого является . Первые такие числа с тремя различными простыми множителями ( сфенические числа ) являются ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ ${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ).

и первые такие числа с 5 различными простыми множителями — это

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (последовательность A046387 в OEIS ).

Функция Мертенса

В теории чисел другой арифметической функцией, тесно связанной с функцией Мёбиуса, является функция Мертенса , определяемая как

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

для любого натурального числа n . Эта функция тесно связана с положениями нулей дзета-функции Римана . См. статью о гипотезе Мертенса для получения дополнительной информации о связи между и гипотезой Римана . ${\displaystyle M(n)}$

Из формулы

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

следует, что функция Мертенса определяется выражением

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

где - последовательность Фарея порядка . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Эта формула используется в доказательстве теоремы Френеля–Ландау . ^[11]

Обобщения

Алгебры инцидентности

В комбинаторике каждому локально конечному частично упорядоченному множеству (посету) назначается алгебра инцидентности . Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» этого посета. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по сути равна функции Мёбиуса множества всех положительных целых чисел, частично упорядоченных по делимости . См. статью об алгебрах инцидентности для точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.

Функция Поповича

Константин Попович ^[12] определил обобщенную функцию Мёбиуса как -кратную свертку Дирихле функции Мёбиуса с собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с ${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если . Определение можно распространить на комплексное , прочитав бином как полином от . ^[13] ${\displaystyle a>k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Реализации

• Математика
• Максима
• geeksforgeeks C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
• Розеттский код
• Мудрец

Смотрите также

• Функция Лиувилля
• Функция Мертенса
• Сумма Рамануджана
• Число сфеническое

Примечания

1. Харди и Райт, Заметки к гл. XVI: "... неявно встречается в работах Эйлера еще в 1748 году, но Мёбиус в 1832 году был первым, кто систематически исследовал его свойства". (Харди и Райт 1980, Заметки к гл. XVI) ${\displaystyle \mu (n)}$
2. В Disquisitiones Arithmeticae (1801) Карл Фридрих Гаусс показал, что сумма первообразных корней ( ) равна , (см. #Свойства и приложения), но он больше не использовал эту функцию. В частности, он не использовал обращение Мёбиуса в Disquisitiones . ^[1] Disquisitiones Arithmeticae были переведены с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все его статьи по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки. ${\displaystyle \mod p}$ ${\displaystyle \mu (p-1)}$

Цитаты

1. Gauss 1986, статья 81.
2. Мёбиус 1832, стр. 105–123.
3. Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 826.
4. Weisstein, Eric W. "Функция Мёбиуса". mathworld.wolfram.com . Получено 1 октября 2024 г. .
5. Якобсон 2009, §4.13.
6. Бост и Конн 1995, стр. 411–457.
7. Харди и Райт 1980, (16.6.4), стр. 239.
8. Апостол 1976.
9. Клайн 2020.
10. Апостол 1976, §3.9.
11. Эдвардс 1974, Гл. 12.2.
12. Поповичи 1963, стр. 493–499.
13. Шандор и Крстичи 2004, с. 107.

Источники

• Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А. (1972) [1964]. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами [конференция под эгидой Национального научного фонда и Массачусетского технологического института] . Книги Дувра по высшей математике. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк; Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR  0434929. Zbl  0335.10001.
• Бост, Ж.-Б.; Конн, Ален (1995). «Алгебры Гекке, факторы типа III и фазовые переходы со спонтанным нарушением симметрии в теории чисел». Selecta Mathematica . Новая серия. 1 (3): 411–457. doi :10.1007/BF01589495. S2CID  116418599.
• Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996). «Вычисление суммы функции Мёбиуса». Experimental Mathematics . 5 (4): 291–295. doi :10.1080/10586458.1996.10504594. S2CID  574146.
• Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-41740-9.
• Гаусс, Карл Фридрих (1965). Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) . Перевод Мазера Х. (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN 0-8284-0191-8.
• Гаусс, Карл Фридрих (1986). Disquisitiones Arithemeticae . Перевод Кларка, Артура А. (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer . ISBN 0-387-96254-9.
• Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (1980) [Первое издание опубликовано в 1938]. Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-853171-5– через Интернет-архив .
• Клайн, Джеффри (2020). «Единичные суммы функций Мёбиуса и Мертенса» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 23 (8): 1–17.
• Якобсон, Натан (2009) [Впервые опубликовано в 1985]. Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Климов, Н.И. (2001) [1994], «Функция Мёбиуса», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Мёбиус, А. Ф. (1832 г.). «Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen». Журнал для королевы и математики . 9 : 105–123.
• Пегг, Эд-младший (2003), «Функция Мёбиуса (и числа, свободные от квадратов)», Математические игры Эда Пегга
• Попович, Константин П. (1963). «Обобщение функции Мёбиуса». Studii şi Cercetări Matmatice . 14 : 493–499. МР  0181602.
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. ISBN 1-4020-2546-7. Збл  1079.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 187–226. ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса». Математический мир .