Охотничьи колебания

Автоколебания относительно состояния равновесия, которые обычно нежелательны.

Охотничьи колебания на железнодорожных колесных парах

Охотничьи колебания — это автоколебания , обычно нежелательные, около состояния равновесия . ^[1] Это выражение вошло в употребление в 19 веке и описывает, как система «охотится» за равновесием. ^[1] Это выражение используется для описания явлений в таких различных областях, как электроника, авиация, биология и железнодорожное машиностроение. ^[1]

Железнодорожные колесные пары

Классическое колебание - это покачивание железнодорожного транспортного средства (часто называемое поиском грузовика или поиском тележки ), вызванное конусным действием, от которого зависит курсовая устойчивость железной дороги сцепления . Оно возникает в результате взаимодействия сил сцепления и сил инерции . На малой скорости преобладает сцепление, но с увеличением скорости силы сцепления и силы инерции становятся сравнимыми по величине и колебания начинаются при критической скорости. Скорость выше этой скорости может быть резкой, повреждая гусеницы и колеса и потенциально вызывая сход с рельсов . Проблема не возникает в системах с дифференциалом , поскольку действие зависит от вращения обоих колес колесной пары с одинаковой угловой скоростью, хотя дифференциалы, как правило, встречаются редко, и вместо этого в обычных поездах колеса прикреплены к осям попарно. Некоторые поезда, такие как Talgo 350 , не имеют дифференциала, но на них в основном не влияют колебательные колебания, поскольку большинство их колес вращаются независимо друг от друга. Однако на колеса силовой машины могут влиять колебательные колебания, поскольку колеса силовой машины попарно закреплены на осях, как и в обычных тележках. Менее конические колеса и тележки, оснащенные независимыми колесами, вращающимися независимо друг от друга и не закрепленными попарно на оси, дешевле подходящего дифференциала для тележек поезда. ^[2]

Впервые проблема была замечена в конце XIX века, когда скорость поездов стала достаточно высокой, чтобы с ней можно было столкнуться. Серьезные усилия по противодействию этому были предприняты в 1930-х годах, что привело к появлению удлиненных грузовиков и грузовиков с поворотной подвеской с боковой амортизацией . При разработке японского Синкансена были использованы менее конические колеса и другие конструктивные изменения, чтобы увеличить конструкционную скорость грузовика выше 225 км/ч (140 миль в час). Достижения в области конструкции колес и грузовиков, основанные на научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах в Европе и Японии, позволили значительно расширить скорости систем стальных колес по сравнению со скоростями, достигнутыми оригинальным Синкансэном , в то время как преимущество обратной совместимости позволяет такой технологии доминировать над альтернативами, такими как поезд на воздушной подушке и поезда на воздушной подушке. маглев- системы. Рекорд скорости поездов со стальными колесами принадлежит французскому TGV — 574,9 км/ч (357 миль в час).

Кинематический анализ

Кинематика действия конуса железнодорожных колес

Хотя качественное описание дает некоторое понимание явления, более глубокое понимание неизбежно требует математического анализа динамики транспортного средства . Даже в этом случае результаты могут быть лишь приблизительными.

Кинематическое описание имеет дело с геометрией движения безотносительно к вызывающим его силам , поэтому анализ начинается с описания геометрии колесной пары, движущейся по прямой дороге . Поскольку второй закон Ньютона связывает силы с ускорением тел, действующие силы можно затем вывести из кинематики путем расчета ускорений компонентов. Однако если эти силы изменят кинематическое описание (как это происходит в данном случае), то результаты могут быть правильными только приблизительно.

Предположения и нематематическое описание

Это кинематическое описание делает ряд упрощающих предположений, поскольку не учитывает силы. Во-первых, предполагается, что сопротивление качению равно нулю. Колесная пара (не прикрепленная к поезду или грузовику ) толкается вперед по прямому и ровному пути. Колесная пара начинает движение накатом и никогда не замедляется, поскольку на нее не действуют никакие силы (кроме сил, направленных вниз на колесную пару, которые заставляют ее прилипать к гусенице и не скользить). Если изначально колесная пара расположена по центру железнодорожного полотна, то эффективные диаметры каждого колеса одинаковы, и колесная пара вечно катится по рельсам по идеально прямой линии. Но если колесная пара немного смещена от центра, так что эффективные диаметры (или радиусы) различаются, тогда колесная пара начинает двигаться по кривой радиуса R (в зависимости от этих радиусов колесной пары и т. д.; которые будут определены позже) . Задача состоит в том, чтобы с помощью кинематических рассуждений найти траекторию движения колесной пары, точнее, траекторию центра колесной пары, проецируемую вертикально на полотно дороги в центре пути. Это траектория на плоскости ровной земной поверхности и нанесенная на графический график x - y , где x - расстояние вдоль железной дороги, а y - "ошибка слежения", отклонение центра колесной пары от прямой линии. железной дороги, идущей по центру пути (на полпути между двумя рельсами).

Чтобы проиллюстрировать, что траектория колесной пары следует по изогнутой траектории, можно положить гвоздь или винт на плоскую столешницу и толкнуть ее. Он будет катиться по круговой кривой, потому что гвоздь или винт подобны колесной паре с колесами очень разного диаметра. Головка аналогична колесу большого диаметра, а заостренный конец — колесу малого диаметра. В то время как гвоздь или винт будут совершать полный круг (и более), железнодорожная колесная пара ведет себя иначе, потому что, как только она начинает поворачивать по кривой, эффективные диаметры изменяются таким образом, чтобы уменьшить кривизну пути. Обратите внимание, что «радиус» и «кривизна» относятся к кривизне траектории колесной пары, а не к кривизне железной дороги, поскольку это идеально прямой путь. По мере движения колесной пары кривизна уменьшается до тех пор, пока колеса не достигнут точки, в которой их эффективные диаметры станут равными, и траектория перестанет искривляться. Но в этой точке траектория имеет наклон (это прямая линия, пересекающая по диагонали осевую линию гусеницы), так что она выходит за пределы осевой линии гусеницы, и эффективные диаметры меняются местами (колесо, которое раньше было меньшего диаметра, становится большего диаметра и наоборот). В результате колесная пара движется по кривой в противоположном направлении. Он снова выходит за пределы средней линии, и это явление продолжается бесконечно, при этом колесная пара раскачивается из стороны в сторону. Обратите внимание, что реборда колеса никогда не соприкасается с рельсом. В этой модели предполагается, что рельсы всегда соприкасаются с протектором колеса по одной и той же линии на головке рельса, что предполагает, что рельсы имеют остроконечную кромку и контактируют с протектором колеса только по линии (нулевой ширины).

Математический анализ

Поезд держится на пути благодаря конической форме гусениц колес . При смещении колесной пары в одну сторону на величину у (ошибка пути) радиус протектора, контактирующего с рельсом, с одной стороны уменьшается, а с другой стороны увеличивается. Угловая скорость одинакова для обоих колес (они соединены жесткой осью ), поэтому протектор большего диаметра ускоряется, а меньший замедляется. Колесная пара поворачивается вокруг центра кривизны, определяемого пересечением образующей конуса, проходящего через точки контакта колес с рельсами, и оси колесной пары. Применяя подобные треугольники , мы имеем для радиуса поворота:

Расчет радиуса поворота

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$

где d — ширина колеи , r — радиус колеса при прямолинейном движении, а k — конусность протектора (который представляет собой наклон протектора в горизонтальном направлении, перпендикулярном колеи).

Путь колесной пары относительно прямого пути определяется функцией y ( x ), где x — продвижение по пути. Иногда это называют ошибкой отслеживания. ^{[3] При условии} , что направление движения остается более или менее параллельным рельсам, кривизна пути может быть связана со второй производной y по расстоянию вдоль пути примерно как ^[4]

${\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}}$

Отсюда следует, что траектория по рельсовому пути определяется уравнением: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y}$

Это простое гармоническое движение , имеющее длину волны:

${\displaystyle \lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}}$ известная как формула Клингеля (полученная в 1883 г.) ^[6]

Этот кинематический анализ подразумевает, что поезда все время раскачиваются из стороны в сторону. Фактически, эти колебания гасятся ниже критической скорости, и езда, соответственно, становится более комфортной. Кинематический результат игнорирует силы, вызывающие движение. Их можно проанализировать, используя концепцию ползучести (нелинейной), но их довольно сложно оценить просто количественно, поскольку они возникают в результате упругого искажения колеса и рельса в областях контакта. Это предмет механики фрикционного контакта ; Картер представил раннюю презентацию, включающую эти эффекты в анализ охотничьих движений. ^[7] См . исторический обзор Кноте ^{[8] .}

Если движение по существу параллельно рельсам, угловое смещение колесной пары определяется выражением: ${\displaystyle \left(\theta \right)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}}$

Угловое отклонение также следует за простым гармоническим движением, которое отстает от движения из стороны в сторону на четверть цикла. Во многих системах, которые характеризуются гармоническим движением, включающим два разных состояния (в данном случае отклонение оси от курса и боковое смещение), задержка в четверть цикла между двумя движениями наделяет систему способностью извлекать энергию из движения вперед. Этот эффект наблюдается при « трепетании » крыльев самолетов и « тряске » автотранспорта, а также при движении железнодорожного транспорта. Полученное выше кинематическое решение описывает движение с критической скоростью.

На практике при скорости ниже критической задержка между двумя движениями составляет менее четверти цикла, поэтому движение затухает, но при скорости выше критической задержка превышает четверть цикла, поэтому движение усиливается.

Чтобы оценить силы инерции , необходимо выразить производные по расстоянию как производные по времени . Для этого используется скорость транспортного средства U , которая считается постоянной:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}}$

Угловое ускорение оси при рыскании равно:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

Инерционный момент (без учета гироскопических эффектов):

${\displaystyle Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}}$

где F — сила, действующая вдоль рельсов, а C — момент инерции колесной пары.

${\displaystyle F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta }$

Максимальная сила трения между колесом и рельсом определяется по формуле:

${\displaystyle F=\mu {\frac {W}{2}}}$

где W — нагрузка на ось, а — коэффициент трения . Сильное проскальзывание произойдет при сочетании скорости и отклонения оси, определяемом следующим образом: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}}$

это выражение дает существенное завышение критической скорости, но оно иллюстрирует физическую причину, по которой происходит колебание, т. е. силы инерции становятся сравнимыми с силами сцепления выше определенной скорости. Ограничение трения в этом случае является плохим представлением силы сцепления.

Реальные силы сцепления возникают из-за перекоса проступи и рельса в зоне контакта. Грубого проскальзывания нет, есть только упругая деформация и некоторое локальное проскальзывание (ползучее проскальзывание). Во время нормальной работы эти силы находятся в пределах предельного трения. Полный анализ учитывает эти силы с использованием теорий механики контакта качения .

Однако кинематический анализ предположил, что проскальзывания в месте контакта колеса с рельсом вообще не было. Теперь ясно, что имеет место некоторое проскальзывание, из-за которого рассчитанная синусоидальная траектория колесной пары (по формуле Клингеля) не совсем правильна.

Энергетический баланс

Чтобы получить оценку критической скорости, мы используем тот факт, что условие, для которого справедливо это кинематическое решение, соответствует случаю, когда нет чистого обмена энергией с окружающей средой, поэтому, рассматривая кинетическую и потенциальную энергию системе, мы должны быть в состоянии определить критическую скорость.

Позволять:

${\displaystyle \omega ={\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}}$

Используя оператор:

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}}$

уравнение углового ускорения может быть выражено через угловую скорость по рысканию : ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \theta }}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

интеграция:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

поэтому кинетическая энергия вращения равна:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}C\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}CU^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

Смещение наружу точек контакта с рысканьем оси

Когда ось отклоняется от курса, точки контакта смещаются наружу на ступенях, в результате чего высота оси снижается. Расстояние между точками опоры увеличивается до:

${\displaystyle {\frac {d}{cos(\theta )}}=d\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)}$

(до второго порядка небольших количеств). смещение точки опоры от центров ступеней равно:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(d+{\frac {1}{2}}d\theta ^{2}-d\right)}$

нагрузка на ось падает на

${\displaystyle h={\frac {1}{4}}kd\theta ^{2}}$

Таким образом, работа, совершаемая при уменьшении нагрузки на ось, равна:

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}Wkd\theta ^{2}}$

Это энергия, потерянная системой, поэтому для продолжения движения необходимо извлечь равное количество энергии из движения колесной пары вперед.

Скорость внешнего колеса определяется выражением:

${\displaystyle V={\frac {U}{r}}\left(r+ky\right)}$

Кинетическая энергия равна:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}+2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

для внутреннего колеса это

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}-2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

где m — масса обоих колес.

Увеличение кинетической энергии равно:

${\displaystyle \delta E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {Uky}{r}}\right)^{2}}$

Движение будет продолжаться с постоянной амплитудой до тех пор, пока энергия, извлекаемая из движения вперед и проявляющаяся в увеличении кинетической энергии колесной пары при нулевом рыскании, равна потенциальной энергии, теряемой при уменьшении нагрузки на ось при максимальном рыскании. .

Теперь из кинематики:

${\displaystyle {\begin{aligned}2U{\frac {ky}{rd}}&=\omega \\\delta E&={\frac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}\end{aligned}}}$

но

${\displaystyle \omega ^{2}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

Поступательная кинетическая энергия равна

${\displaystyle \delta E=-{\frac {1}{8}}U^{2}md^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

Полная кинетическая энергия равна:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}U^{2}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

Критическая скорость находится из энергетического баланса:

${\displaystyle {\frac {Wkd}{2}}=U^{2}{\frac {2k}{rd}}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)}$

Следовательно, критическая скорость определяется выражением

${\displaystyle U^{2}={\frac {Wrd^{2}}{4C+md^{2}}}}$

Это не зависит от конусности колеса, но зависит от отношения нагрузки на ось к массе колесной пары. Если бы ступени имели действительно коническую форму, критическая скорость не зависела бы от конусности. На практике износ колеса приводит к изменению конусности по ширине протектора, поэтому значение конусности, используемое для определения потенциальной энергии, отличается от значения, используемого для расчета кинетической энергии. Обозначая первое как , критическая скорость становится:

${\displaystyle U^{2}={\frac {Ward^{2}}{k(4C+md^{2})}}}$

где a теперь является коэффициентом формы, определяемым износом колеса . Этот результат получен Викенсом (1965) ^[9] на основе анализа динамики системы с использованием стандартных методов управления .

Ограничение упрощенного анализа

Движение колесной пары гораздо сложнее, чем показывает этот анализ. Подвеска транспортного средства прикладывает дополнительные сдерживающие силы ^[10] , и на высокой скорости колесная пара будет генерировать дополнительные гироскопические моменты, которые изменят оценку критической скорости. Традиционно железнодорожное транспортное средство имеет устойчивое движение на низких скоростях, при достижении высоких скоростей устойчивость меняется на неустойчивую форму. Основная цель нелинейного анализа динамики систем рельсового транспорта – показать взгляд на аналитическое исследование бифуркации, нелинейной поперечной устойчивости и ловкости рельсового транспорта на касательном пути. В данном исследовании описывается метод Боголюбова для анализа. ^[11]

В исследованиях основное внимание уделяется двум основным вопросам, а именно предположению тела как неподвижной опоры и влиянию нелинейных элементов при расчете скорости охоты. ^[12] Реальное железнодорожное транспортное средство имеет гораздо больше степеней свободы и, следовательно, может иметь более одной критической скорости; ни в коем случае нельзя с уверенностью утверждать, что наименьшее значение обусловлено движением колесной пары. Однако анализ поучителен, поскольку показывает, почему происходит охота. По мере увеличения скорости силы инерции становятся сравнимыми с силами сцепления. Поэтому критическая скорость зависит от отношения нагрузки на ось (определяющей силу сцепления) к массе колесной пары (определяющей силы инерции).

Альтернативно, ниже определенной скорости энергии, извлекаемой из движения вперед, недостаточно для возмещения энергии, потерянной при опускании осей, и движение затухает; выше этой скорости извлекаемая энергия превышает потерю потенциальной энергии, и амплитуда увеличивается.

Потенциальную энергию при максимальном отклонении оси можно увеличить, включив упругое ограничение на движение оси по рысканью, так что в этом есть вклад, возникающий за счет натяжения пружины. Расположение колес в тележках для увеличения ограничений на рыскание колесных пар и применение упругих ограничений к тележке также повышает критическую скорость. Введение в уравнение сил упругости позволяет создавать конструкции подвески, которые ограничены только возникновением сильного проскальзывания, а не классическим колебанием. Штраф, который придется заплатить за фактическую ликвидацию охоты, — это прямой путь с сопутствующей проблемой полосы отвода и несовместимостью с устаревшей инфраструктурой.

Охота — это динамическая проблема, которую можно решить, по крайней мере в принципе, с помощью активного управления с обратной связью, которое можно адаптировать к качеству пути. Однако внедрение активного управления поднимает вопросы надежности и безопасности.

Вскоре после начала движения происходит резкое проскальзывание, и гребни колес ударяются о рельсы, что может привести к повреждению обоих.

Автомобильно-железнодорожный транспорт

Независимые оси железнодорожных колес широко распространены на автомобильно-рельсовых транспортных средствах.

Многие автомобильно-рельсовые транспортные средства имеют независимые оси и системы подвески на каждом рельсовом колесе. В сочетании с наличием опорных катков на рельсе использование приведенных выше формул становится затруднительным. Исторически сложилось так, что у дорожно-рельсовых транспортных средств передние колеса были слегка сведены , что, как было обнаружено, сводит к минимуму колебание во время движения транспортного средства по рельсам.

Смотрите также

• Механика фрикционного контакта
• Сцепление с рельсами
• Рельсовый профиль
• Колебание скорости
• Динамика автомобиля
• Колесная пара

Общие методы решения этого класса задач см.

• Техника управления

Рекомендации

1. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. ф. Действие машины, инструмента, системы и т. д., то есть охота (см. охота ст. 7б); нежелательное колебание относительно равновесной скорости, положения или состояния.
2. https://www.talgo.com/en/rolling-stock/very-high-speed/350/
3. Ошибка отслеживания будет равна нулю, если путь колес проходит абсолютно прямо по колеи и колесная пара находится по центру колеи.
4. Математические подробности см. в разделе Кривизна # График функции . Приблизительное равенство становится равенством только тогда, когда ошибка отслеживания y имеет нулевой наклон по отношению к x . Поскольку ошибка отслеживания окажется синусоидальной, точки нулевого наклона находятся в точках максимальной ошибки отслеживания y . Но равенство приблизительно верно, если наклон y мал.
5. Обратите внимание, что это отрицательное значение, когда y положительное, и наоборот. Другое уравнение для R не выполняется , когда y становится отрицательным, поскольку радиус R не может быть отрицательным (согласно математическому определению). Но после того, как радиус R исключается путем объединения двух уравнений, полученное уравнение становится правильным, если проверить два случая: y отрицательный и y положительный. ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$
6. Ивницкий, стр.7, формула 2.1.
7. Картер, Ф.В. (25 июля 1928 г.). «Об устойчивости движения локомотивов». Труды Королевского общества . 121 (788): 585–610. Бибкод : 1928RSPSA.121..585C. дои : 10.1098/rspa.1928.0220 .
8. Ноте, К. (2008). «История механики контакта колеса с рельсом: от Редтенбахера до Калькера». Динамика систем автомобиля . 46 (1–2): 9–26. дои : 10.1080/00423110701586469. S2CID  109580328.
9. Викенс, АХ (1965–66). «Динамика железнодорожного транспорта на прямом пути: фундаментальные соображения поперечной устойчивости». Труды Института инженеров-механиков : 29–.
10. Викенс, АХ; Гилкрист, АО; Хоббс, AEW (1969–70). «Конструкция подвески высокопроизводительных двухосных грузовых автомобилей». Труды Института инженеров-механиков : 22–.
11. Сераджян, Реза (2013). «Влияние изменения параметров при различной поперечной жесткости на нелинейный анализ охотничьего поведения тележки». Журнал измерений в технике : 195–206.
12. Сераджян, Реза (2011). «Влияние инерции тележки и кузова на нелинейную охоту за колесной парой, признанное теорией бифуркации Хопфа». Int J Auto Engng : 186–196.

• Ивницкий, Саймон (2006). Справочник по динамике железнодорожного транспорта . ЦРК Пресс.
• Шабана, Ахмед А.; и другие. (2008). Динамика железнодорожного транспорта: вычислительный подход . ЦРК Пресс.
• Викенс, АХ (1 января 2003 г.). Основы динамики железнодорожного транспорта: управление и поперечная устойчивость . Светс и Цайтлингер.
• Сераджян, Реза (2013). Влияние изменения параметров при различной поперечной жесткости на нелинейный анализ охотничьего поведения тележки . ЦРК Пресс.
• Сераджян, Реза (2011). Влияние инерции тележки и кузова на нелинейный ход колесной пары, признанное теорией бифуркации Хопфа . ЦРК Пресс.