Ошибка аппроксимации

Математическая концепция

График (синий) с его линейной аппроксимацией (красный) при a = 0. Ошибка аппроксимации представляет собой разрыв между кривыми и увеличивается при дальнейшем значении x от 0. ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=1+x}$

Ошибка аппроксимации значения данных — это несоответствие между точным значением и некоторым приближением к нему. Эта ошибка может быть выражена как абсолютная ошибка (числовая величина расхождения) или как относительная ошибка (абсолютная ошибка, деленная на значение данных).

Ошибка аппроксимации может возникнуть по разным причинам, в том числе из-за точности вычислительной машины или ошибки измерения (например, длина листа бумаги составляет 4,53 см, но линейка позволяет оценить ее только с точностью до 0,1 см, поэтому вы измеряете это 4,5 см).

В математической области численного анализа численная стабильность алгоритма указывает на степень , в которой ошибки на входных данных алгоритма приведут к большим ошибкам на выходе; численно стабильные алгоритмы, чтобы не давать значительной ошибки в выходных данных, когда входные данные имеют неверный формат, и наоборот. ^[1]

Формальное определение

Учитывая некоторое значение v , мы говорим, что v _{приближенно} приближает v с абсолютной ошибкой ε >0, если ^{[2] [3]}

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \varepsilon }$

где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение .

Мы говорим, что v _{приближенно} приближает v с относительной ошибкой η > 0, если

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot v}$.

Если v ≠ 0, то

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$.

Процентная ошибка (выражение относительной ошибки) равна ^[3]

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

Граница ошибки — это верхний предел относительного или абсолютного размера ошибки аппроксимации. ^[4]

Примеры

Наилучшие рациональные приближения для π (зеленый круг), e (синий ромб), φ (розовый овал), (√3)/2 (серый шестиугольник), 1/√2 (красный восьмиугольник) и 1/√3 (оранжевый треугольник) рассчитанные на основе их разложений в непрерывные дроби, представленные в виде наклонов y / x с ошибками относительно их истинных значений (черные штрихи)  

• в
• т
• е

Например, если точное значение равно 50, а приближение — 49,9, то абсолютная ошибка равна 0,1, а относительная ошибка — 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. В качестве практического примера: при измерении стакана емкостью 6 мл полученное значение составило 5 мл. Правильное показание составляет 6 мл, это означает, что процентная ошибка в этой конкретной ситуации составляет, округленно, 16,7%.

Относительная ошибка часто используется для сравнения приближений чисел сильно различающегося размера; например, приближение числа 1000 с абсолютной ошибкой 3 в большинстве приложений намного хуже, чем приближение числа 1000000 с абсолютной ошибкой 3; в первом случае относительная ошибка равна 0,003, а во втором — всего 0,000003.

Следует иметь в виду две особенности относительной ошибки. Во-первых, относительная ошибка не определена, когда истинное значение равно нулю, как оно указано в знаменателе (см. ниже). Во-вторых, относительная ошибка имеет смысл только при измерении по шкале отношений (т. е. шкале, которая имеет истинный значимый ноль), в противном случае она чувствительна к единицам измерения. Например, если абсолютная ошибка измерения температуры , выраженная в шкале Цельсия , составляет 1 °С, а истинное значение составляет 2 °С, относительная ошибка равна 0,5. Но если сделать то же самое приближение с использованием шкалы Кельвина , абсолютная ошибка в 1 К при том же истинном значении 275,15 К = 2 °C дает относительную ошибку 3,63 × 10.⁻³ .

Сравнение

Утверждения об относительных ошибках чувствительны к сложению констант, но не к умножению на константы. Для абсолютных ошибок верно обратное: они чувствительны к умножению на константы, но не к сложению констант. ^{[5] : 34}

Полиномиальная аппроксимация действительных чисел

Мы говорим, что действительное значение v является полиномиально вычислимым с абсолютной ошибкой на входных данных, если для каждого рационального числа ε > 0 возможно вычислить рациональное число v _{приблизительно} , которое аппроксимирует v с абсолютной ошибкой ε , за время, полиномиальное по размеру. входных данных и размер кодирования ε (который равен O(log(1/ ε ))). Аналогично, v полиномиально вычислимо с относительной ошибкой , если для каждого рационального числа η > 0 можно вычислить рациональное число v _{приближение} , которое аппроксимирует v с относительной ошибкой η , за полиномиальное время от размера входных данных и размера кодирования η .

Если v полиномиально вычислимо с относительной ошибкой (с помощью некоторого алгоритма под названием REL), то оно также полиномиально вычислимо с абсолютной ошибкой. Доказательство . Пусть ε >0 — искомая абсолютная ошибка. Сначала используйте REL с относительной ошибкой η= 1/2; найдите рациональное число r ₁ такое, что | в - р ₁ | ≤ | v |/2 и, следовательно, |v| ≤ 2 | р ₁ |. Если r ₁ =0, то v =0 и все готово. Поскольку REL является полиномиальным, длина кодирования r ₁ является полиномиальной на входе. Теперь снова запустите REL с относительной ошибкой η=ε/ (2 |r ₁ |). Это дает рациональное число r ₂ , удовлетворяющее условию | в - р ₂ | ≤ ε|v | / (2 r ₁ ) ≤ ε , поэтому он имеет абсолютную ошибку ε , как и хотелось. ^{[5] : 34}

Обратный вывод обычно неверен. Но если предположить, что некоторая положительная нижняя граница |v| можно вычислить за полиномиальное время, например | в | > b > 0, и v полиномиально вычислимо с абсолютной ошибкой (с помощью некоторого алгоритма под названием ABS), то оно также полиномиально вычислимо с относительной ошибкой, поскольку мы можем просто вызвать ABS с абсолютной ошибкой ε = η b.

Алгоритм, который для каждого рационального числа η > 0 вычисляет рациональное число v , аппроксимирующее _v с относительной ошибкой η , за время, полиномиальное от размера входных данных и 1/ η (а не log(1/ η )), называется ФПТАС .

Инструменты

В большинстве показывающих приборов точность гарантирована до определенного процента от полной шкалы. Пределы этих отклонений от заданных значений известны как предельные погрешности или гарантийные погрешности. ^[6]

Обобщения

Определения можно распространить на случай, когда и являются n -мерными векторами , заменив абсолютное значение n -нормой . ^[7] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\text{approx}}}$

Смотрите также

• Принятое и экспериментальное значение
• Номер условия
• Ошибки и остатки в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Машина эпсилон
• Погрешность измерения
• Погрешность измерения
• Распространение неопределенности
• Ошибка квантования
• Относительная разница
• Ошибка округления
• Неопределенность

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Численная стабильность». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 июня 2023 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная ошибка». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 июня 2023 г.
3. «Абсолютная и относительная ошибка | Исчисление II». Courses.lumenlearning.com . Проверено 11 июня 2023 г.
4. «Приближение и границы ошибок». www.math.wpi.edu . Проверено 11 июня 2023 г.
5. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, МР  1261419
6. Хелфрик, Альберт Д. (2005) Современные электронные приборы и методы измерения . п. 16. ISBN 81-297-0731-4 . 
7. Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления – Третье издание . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ИСБН 0-8018-5413-Х.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Процентная ошибка». Математический мир .