В математике панцифровое число — это целое число , в котором в данной базе среди значащих цифр каждая цифра, используемая в базе, встречается по крайней мере один раз. Например, 1234567890 (один миллиард двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят семь тысяч восемьсот девяносто) — это панцифровое число в базе 10.
Первые несколько панцифровых чисел с основанием 10 задаются следующим образом (последовательность A171102 в OEIS ):
Наименьшее панцифровое число в данной системе счисления с основанием b — это целое число вида
В следующей таблице перечислены наименьшие панцифровые числа нескольких выбранных оснований.
OEIS : A049363 дает значения по основанию 10 для первых 18 оснований.
В тривиальном смысле все положительные целые числа являются панцифровыми в унарной (или подсчётной) системе счисления. В двоичной системе счисления все целые числа являются панцифровыми, за исключением 0 и чисел вида ( чисел Мерсенна ). Чем больше основание, тем реже встречаются панцифровые числа, хотя всегда можно найти серии последовательных панцифровых чисел с избыточными цифрами, записывая все цифры основания вместе (но не помещая ноль первым в качестве старшей цифры ) и добавляя x + 1 нулей в конце в качестве младшей цифры.
И наоборот, чем меньше основание, тем меньше панцифровых чисел без лишних цифр. 2 — единственное такое панцифровое число в системе счисления с основанием 2, тогда как в системе с основанием 10 таких чисел больше.
Иногда этот термин используется для обозначения только панцифровых чисел без лишних цифр. В некоторых случаях число может называться панцифровым, даже если в нем нет нуля в качестве значащей цифры, например, 923456781 (иногда их называют «безнулевыми панцифровыми числами»).
Ни одно панцифровое число с основанием 10 не может быть простым числом, если в нем нет лишних цифр. Сумма цифр от 0 до 9 равна 45, что соответствует правилу делимости как для 3, так и для 9. Первое панцифровое простое число с основанием 10 равно 10123457689; OEIS : A050288 перечисляет больше.
По разным причинам для панцифрового числа (в любой системе счисления, кроме унарной) также требуются избыточные цифры, чтобы оно также было палиндромным числом в этой системе счисления. Наименьшее панцифровое палиндромное число в системе счисления 10 — 1023456789876543201.
Наибольшее панцифровое число без лишних цифр, которое также является квадратом, равно 9814072356 = 99066 2 .
Два из безнулевых панцифровых чисел Фридмана : 123456789 = ((86 + 2 × 7) 5 − 91) / 3 4 и 987654321 = (8 × (97 + 6/2) 5 + 1) / 3 4 .
Панцифровое число Фридмана без лишних цифр — это квадрат: 2170348569 = 46587 2 + (0 × 139).
Концепция «панцифрового приближения» была введена Эрихом Фридманом в 2004 году. С помощью цифр от 1 до 9 (каждая из которых используется ровно один раз) и математических символов + – × / ( ) . и ^ число Эйлера e можно приблизить как , что верно до десятичных знаков. [1] Этот вариант дает правильные цифры. [2]
Хотя многое из сказанного не относится к римским цифрам , существуют панцифровые числа: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Они, перечисленные в OEIS : A105416 , используют каждую из цифр только один раз, в то время как OEIS : A105417 имеет панцифровые римские числа с повторениями.
Панцифровые номера полезны в художественной литературе и рекламе. Номер социального страхования 987-65-4321 — это безнулевой панцифровой номер, зарезервированный для использования в рекламе. Некоторые компании, выпускающие кредитные карты, используют панцифровые номера с избыточными цифрами в качестве фиктивных номеров кредитных карт (в то время как другие используют строки нулей).
