Квадратное число

Произведение целого числа на само себя

Квадрат числа 16 как сумма гномонов .

В математике квадратное число или полный квадрат — это целое число , которое является квадратом целого числа; ^[1] другими словами, это произведение некоторого целого числа на себя. Например, 9 — это квадратное число, так как оно равно 3 ² и может быть записано как 3 × 3 .

Обычное обозначение квадрата числа n — это не произведение n  ×  n , а эквивалентное возведение в степень n ² , обычно произносимое как « n в квадрате». Название квадратное число происходит от названия формы. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата ( 1 × 1 ). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n ^2. Если квадратное число представлено n точками, точки можно расположить в ряды в виде квадрата, каждая сторона которого имеет такое же количество точек, как квадратный корень из n ; таким образом, квадратные числа являются типом фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).

В системе действительных чисел квадратные числа неотрицательны . Неотрицательное целое число является квадратным числом, когда его квадратный корень снова является целым числом. Например, так 9 является квадратным числом. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$

Положительное целое число, не имеющее квадратных делителей , кроме 1, называется числом, свободным от квадратов .

Для неотрицательного целого числа n квадратное число n равно n 2 , ^причем 0 2 ⁼ 0 является нулевым . Понятие квадрата можно распространить и на некоторые другие системы счисления. Если включить рациональные числа, то квадрат — это отношение двух квадратных целых чисел, и наоборот, отношение двух квадратных целых чисел является квадратом, например, . ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$

Начиная с 1, идут квадратные числа до m включительно , где выражение представляет собой нижнюю границу числа  x . ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ), меньшие 60 ²  = 3600, равны:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

Разница между любым полным квадратом и его предшественником определяется равенством n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1. Эквивалентно, можно подсчитать квадратные числа, сложив последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень, то есть n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n .

Характеристики

Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в виде квадрата:

Выражение для n- го квадратного числа равно n ² . Это также равно сумме первых n нечетных чисел , как можно увидеть на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного числа точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая: Например, 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 . $${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$

Сумма первых n нечетных целых чисел равна n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2 n − 1) = n ² . Анимированная 3D-визуализация на тетраэдре.

Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, квадратное число n можно вычислить из предыдущего квадрата с помощью n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ² + (2 n − 1) . В качестве альтернативы квадратное число n можно вычислить из предыдущих двух, удвоив квадрат ( n  − 1) , вычтя квадрат ( n  − 2) и прибавив 2, потому что n ² = 2( n − 1) ² − ( n − 2) ² + 2 . Например,

2 × 5 ² - 4 ² + 2 знак равно 2 × 25 - 16 + 2 знак равно 50 - 16 + 2 знак равно 36 знак равно 6 ² .

Квадрат минус один числа m всегда является произведением и то есть, Например, поскольку 7 ² = 49 , то имеем . Поскольку простое число имеет множители только 1 и само себя, и поскольку m = 2 является единственным ненулевым значением m, дающим множитель 1 в правой части уравнения выше, то отсюда следует, что 3 является единственным простым числом, которое на единицу меньше квадрата ( 3 = 2 ² − 1 ). ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle m+1;}$ $${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$ ${\displaystyle 6\times 8=48}$

В более общем смысле, разность квадратов двух чисел является произведением их суммы и разности. То есть, Это формула разности квадратов , которая может быть полезна для устного счета: например, 47 × 53 можно легко вычислить как 50 ² − 3 ² = 2500 − 9 = 2491. Квадратное число также является суммой двух последовательных треугольных чисел . Сумма двух последовательных квадратных чисел является центрированным квадратным числом . Каждый нечетный квадрат также является центрированным восьмиугольным числом . $${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$

Другое свойство квадратного числа заключается в том, что (за исключением 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное количество положительных делителей. Целочисленный корень — единственный делитель, который объединяется сам с собой, чтобы получить квадратное число, в то время как другие делители идут парами.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах гласит, что любое положительное целое число можно записать в виде суммы четырех или менее полных квадратов. Трех квадратов недостаточно для чисел вида 4 ^k (8 m + 7) . Положительное целое число можно представить в виде суммы двух квадратов точно в том случае, если его разложение на простые множители не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4 k + 3 . Это обобщается с помощью проблемы Варинга .

В десятичной системе счисления квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9, как показано ниже:

• если последняя цифра числа — 0, его квадрат заканчивается на 00;
• если последняя цифра числа — 1 или 9, то его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 1;
• если последняя цифра числа — 2 или 8, то его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 4;
• если последняя цифра числа — 3 или 7, то его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 9;
• если последняя цифра числа — 4 или 6, его квадрат заканчивается нечетной цифрой, за которой следует 6; и
• если последняя цифра числа — 5, то его квадрат заканчивается на 25.

В системе счисления с основанием 12 квадратное число может заканчиваться только квадратными цифрами (как в системе счисления с основанием 12 простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, как показано ниже:

• если число делится и на 2, и на 3 (то есть делится на 6), его квадрат заканчивается на 0, а предшествующая ему цифра должна быть 0 или 3;
• если число не делится ни на 2, ни на 3, то его квадрат оканчивается на 1, а предыдущая цифра должна быть четной;
• если число делится на 2, но не делится на 3, его квадрат заканчивается на 4, а предшествующая ему цифра должна быть 0, 1, 4, 5, 8 или 9; и
• если число делится не на 2, а на 3, то его квадрат заканчивается на 9, а предшествующая ему цифра должна быть 0 или 6.

Аналогичные правила можно дать и для других оснований или для более ранних цифр (например, десятков вместо единиц). ^{[ требуется ссылка ]} Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное количество случаев и используя модульную арифметику .

В общем случае, если простое число  p делит квадрат числа  m , то квадрат числа p также должен делить m ; если же p не делит ⁠м/п⁠ , то m определенно не является квадратом. Повторяя деления предыдущего предложения, можно прийти к выводу, что каждое простое число должно делить заданный полный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели четные.

Тест на квадратичность можно использовать как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость, тест на квадратность: для заданного m и некоторого числа  k , если k ² − m является квадратом целого числа  n, то k − n делит m . (Это применение факторизации разности двух квадратов .) Например, 100 ² − 9991 является квадратом 3, поэтому, следовательно, 100 − 3 делит 9991. Этот тест является детерминированным для нечетных делителей в диапазоне от k − n до k + n , где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел. ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

Квадратное число не может быть совершенным числом .

Сумма n первых квадратных чисел равна Первые значения этих сумм, квадратных пирамидальных чисел , равны: (последовательность A000330 в OEIS ) $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$$

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 00, 5525, 6201...

Доказательство без слов для теоремы о сумме нечетных чисел

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, является полным квадратом: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 и т. д. Это объясняет закон нечетных чисел Галилея : если тело, падающее из состояния покоя, проходит одну единицу расстояния за первый произвольный промежуток времени, то оно проходит 3, 5, 7 и т. д. единиц расстояния за последующие промежутки времени той же длины. Из , для u = 0 и постоянного a (ускорение под действием силы тяжести без сопротивления воздуха); поэтому s пропорционально t ² , а расстояние от начальной точки является последовательными квадратами для целых значений прошедшего времени. ^[2] ${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$

Сумма n первых кубов равна квадрату суммы n первых натуральных чисел; это теорема Никомаха .

Все четвертые, шестые, восьмые степени и т. д. являются точными квадратами.

Уникальная связь с треугольными числами : ${\displaystyle T_{n}}$ $${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

Четные и нечетные квадратные числа

Доказательство без слов , что все центрированные восьмиугольные числа являются нечетными квадратами

Квадраты четных чисел четны и делятся на 4, так как (2 n ) ² = 4 n ² . Квадраты нечетных чисел нечетны и сравнимы с 1 по модулю 8, так как (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 , а n ( n + 1) всегда четно. Другими словами, все квадраты нечетных чисел при делении на 8 дают остаток 1.

Каждый нечетный полный квадрат является центрированным восьмиугольным числом . Разница между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым более высоким нечетным полным квадратом всегда равна восьмикратному треугольному числу, в то время как разница между 9 и любым более высоким нечетным полным квадратом равна восьмикратному треугольному числу минус восемь. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2 ⁿ не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат вида 2 ⁿ − 1 равен 1, а единственный полный квадрат вида 2 ⁿ + 1 равен 9.

Особые случаи

• Если число имеет вид m 5 , где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n 25 , где n = m ( m + 1) и представляет цифры до 25. Например, квадрат числа 65 можно вычислить по формуле n = 6 × (6 + 1) = 42, что делает квадрат равным 4225.
• Если число имеет вид m 0 , где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n 00 , где n = m ^2. Например, квадрат 70 равен 4900.
• Если число имеет две цифры и имеет вид 5· m , где m представляет собой цифру единиц, его квадрат равен aabb, где aa = 25 + m и bb = m ^·2 . Например, чтобы вычислить квадрат числа 57, m = 7 и 25 + 7 = 32 и 7 ^·2 = 49 , поэтому 57 ^·2 = 3249 .
• Если число заканчивается на 5, его квадрат будет заканчиваться на 5; аналогично для чисел, заканчивающихся на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат будет заканчиваться на 6, аналогично для чисел, заканчивающихся на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадрат числа 55376 равен 3066501376, оба из которых заканчиваются на 376. (Числа 5, 6, 25, 76 и т. д. называются автоморфными числами . Они представляют собой последовательность A003226 в OEIS . ^[3] )
• В десятичной системе счисления последние две цифры квадратных чисел следуют повторяющемуся шаблону, зеркально симметричному относительно чисел, кратных 25. В примере 24 и 26, оба на 1 от 25, 24 ² = 576 и 26 ² = 676 , оба заканчиваются на 76. В общем случае, . Аналогичный шаблон применяется для последних 3 цифр вокруг чисел, кратных 250, и так далее. Как следствие, из 100 возможных последних 2 цифр только 22 встречаются среди квадратных чисел (поскольку 00 и 25 повторяются). ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты–Фибоначчи  – Выражение произведения сумм квадратов в виде суммы квадратов
• Кубическое число  – число, возведенное в третью степень.
• Четырехквадратное тождество Эйлера  – произведение сумм четырех квадратов, выраженное как сумма четырех квадратов
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов  – Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов
• Некоторые тождества, включающие несколько квадратов
• Целое число квадратного корня  – Наибольшее целое число, меньшее или равное квадратному корню.
• Методы вычисления квадратных корней  – Алгоритмы вычисления квадратных корней
• Степень двойки  – два, возведенные в целую степень.
• Пифагорова тройка  – Целые длины сторон прямоугольного треугольника
• Квадратичный вычет  – целое число, которое является полным квадратом по модулю некоторого целого числа.
• Квадратичная функция  – Полиномиальная функция второй степени
• Квадратное треугольное число  – целое число, которое является как полным квадратом, так и треугольным числом.

Примечания

1. Некоторые авторы также называют квадраты рациональных чисел полными квадратами.
2. Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (2008-01-14). Механическая вселенная: Введение в механику и тепло. Cambridge University Press. стр. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
3. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A003226 (Автоморфные числа: n^2 заканчивается на n.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Дальнейшее чтение

• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X 
• Киран Парулекар. Удивительные свойства квадратов и их вычисления . Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC