Разность двух квадратов

Математическая идентичность многочленов

В математике разность двух квадратов — это квадрат (умноженный на себя) числа, вычитаемый из другого квадрата числа. Каждая разность квадратов может быть разложена на множители согласно тождеству

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

в элементарной алгебре .

Доказательство

Алгебраическое доказательство

Доказательство тождества факторизации простое. Начиная с правой стороны , применяем распределительный закон, чтобы получить

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$

По закону коммутативности два средних члена сокращаются:

${\displaystyle ba-ab=0}$

уход

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

Полученное тождество является одним из наиболее часто используемых в математике. Среди многих применений оно дает простое доказательство неравенства AM–GM с двумя переменными.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце .

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b , то R коммутативно. Чтобы увидеть это, применим дистрибутивный закон к правой части уравнения и получим

${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}$.

Чтобы это было равно , мы должны иметь ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle ba-ab=0}$

для всех пар a , b , поэтому R коммутативно.

Геометрическое доказательство

Разность двух квадратов можно также проиллюстрировать геометрически как разность площадей двух квадратных фигур на плоскости . На диаграмме заштрихованная часть представляет собой разность площадей двух квадратов, т. е . Площадь заштрихованной части можно найти, сложив площади двух прямоугольников; , которые можно разложить на множители . Следовательно, . ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ ${\displaystyle a(a-b)+b(a-b)}$ ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Другое геометрическое доказательство выполняется следующим образом: Начнем с фигуры, показанной на первой диаграмме ниже, большого квадрата с удаленным из него меньшим квадратом. Сторона всего квадрата равна a, а сторона удаленного малого квадрата равна b. Площадь заштрихованной области равна . Делается разрез, разделяющий область на две прямоугольные части, как показано на второй диаграмме. Большая часть, вверху, имеет ширину a и высоту ab. Меньшая часть, внизу, имеет ширину ab и высоту b. Теперь меньшую часть можно отделить, повернуть и поместить справа от большей части. В этом новом расположении, показанном на последней диаграмме ниже, две части вместе образуют прямоугольник, ширина которого равна , а высота равна . Площадь этого прямоугольника равна . Поскольку этот прямоугольник получился в результате перестановки исходной фигуры, он должен иметь ту же площадь, что и исходная фигура. Следовательно, . ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Использование

Факторизация многочленов и упрощение выражений

Формула для разности двух квадратов может быть использована для факторизации многочленов , содержащих квадрат первой величины минус квадрат второй величины. Например, многочлен может быть факторизован следующим образом: ${\displaystyle x^{4}-1}$

${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$

В качестве второго примера, первые два члена можно разложить на множители , поэтому имеем: ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ ${\displaystyle (x+y)(x-y)}$

${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)}$

Более того, эту формулу можно использовать и для упрощения выражений:

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}$

Случай комплексного числа: сумма двух квадратов

Разность двух квадратов используется для нахождения линейных множителей суммы двух квадратов с использованием комплексных числовых коэффициентов.

Например, комплексные корни можно найти с помощью разности двух квадратов: ${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle =z^{2}-4i^{2}}$ (с ) ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}$

${\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Следовательно, линейные множители равны и . ${\displaystyle (z+2i)}$ ${\displaystyle (z-2i)}$

Поскольку два фактора, найденные этим методом, являются комплексно сопряженными , мы можем использовать это в обратном порядке как метод умножения комплексного числа для получения действительного числа. Это используется для получения действительных знаменателей в комплексных дробях. ^[1]

Рационализация знаменателей

Разность двух квадратов также может быть использована при рационализации иррациональных знаменателей . [ 2 ^] Это метод удаления иррациональных знаменателей из выражений (или, по крайней мере, их перемещения), применяемый к делению на некоторые комбинации, включающие квадратные корни .

Например: знаменатель можно рационализировать следующим образом: ${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}$

${\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.}$

Здесь иррациональный знаменатель был рационализирован до . ${\displaystyle {\sqrt {3}}+4}$ ${\displaystyle 13}$

Ментальная арифметика

Разность двух квадратов также может быть использована в качестве арифметического сокращения. Если два числа (среднее значение которых является числом, которое легко возводится в квадрат) умножаются, разность двух квадратов может быть использована для получения произведения исходных двух чисел.

Например:

${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)}$

Используя разность двух квадратов, можно переформулировать как ${\displaystyle 27\times 33}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$что есть . ${\displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}$

Разность двух последовательных полных квадратов

Разность двух последовательных полных квадратов равна сумме двух оснований n и n +1. Это можно увидеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}$

Следовательно, разность двух последовательных полных квадратов является нечетным числом. Аналогично, разность двух произвольных полных квадратов вычисляется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}$

Следовательно, разность двух четных полных квадратов кратна 4, а разность двух нечетных полных квадратов кратна 8.

Закон нечетных чисел Галилея

Закон нечетных чисел Галилея

Ответвление разности последовательных квадратов, закон нечетных чисел Галилея гласит, что расстояние, пройденное объектом, падающим без сопротивления в условиях равномерной гравитации за последовательные равные промежутки времени, линейно пропорционально нечетным числам. То есть, если тело, падающее из состояния покоя, проходит определенное расстояние за произвольный промежуток времени, оно пройдет в 3, 5, 7 и т. д. раз больше этого расстояния за последующие промежутки времени той же длины.

Из уравнения равномерного линейного ускорения, пройденного расстояния при начальной скорости с постоянным ускорением (ускорение под действием силы тяжести без сопротивления воздуха) и прошедшего времени следует, что расстояние пропорционально (в символах ), таким образом, расстояние от начальной точки представляет собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени. ^[3] $${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$ ${\displaystyle u=0,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle s\propto t^{2}}$

Факторизация целых чисел

Несколько алгоритмов в теории чисел и криптографии используют разности квадратов для нахождения множителей целых чисел и обнаружения составных чисел. Простым примером является метод факторизации Ферма , который рассматривает последовательность чисел , для . Если одно из равно полному квадрату , то является (потенциально нетривиальной) факторизацией . ${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$ ${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$ ${\displaystyle N}$

Этот трюк можно обобщить следующим образом. Если mod и mod , то является составным с нетривиальными множителями и . Это составляет основу нескольких алгоритмов факторизации (таких как квадратичное решето ) и может быть объединено с тестом простоты Ферма, чтобы получить более сильный тест простоты Миллера–Рабина . ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \gcd(a-b,N)}$ ${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$

Обобщения

Векторы a  (фиолетовый), b  (голубой) и a + b  (синий) показаны стрелками.

Тождество также справедливо в пространствах внутренних произведений над полем действительных чисел , например, для скалярного произведения евклидовых векторов :

${\displaystyle {\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {a} }-{\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {b} }=({\mathbf {a} }+{\mathbf {b} })\cdot ({\mathbf {a} }-{\mathbf {b} })}$

Доказательство идентично. Для частного случая, когда a и b имеют равные нормы (что означает, что их точечные квадраты равны), это аналитически демонстрирует тот факт, что две диагонали ромба перпендикулярны . Это следует из того, что левая часть уравнения равна нулю, требуя, чтобы правая часть также была равна нулю, и поэтому векторная сумма a + b (длинная диагональ ромба), усеянная векторной разностью a - b (короткая диагональ ромба), должна равняться нулю, что указывает на перпендикулярность диагоналей.

Разница двухнth полномочия

Наглядное доказательство различий между двумя квадратами и двумя кубами

Если a и b — два элемента коммутативного кольца, то

$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}$$

Обратите внимание, что второй множитель похож на биномиальное разложение , за исключением того, что он не включает биномиальные коэффициенты . ${\displaystyle (a+b)^{n-1}}$ ${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}}$

История

Исторически вавилоняне использовали разность двух квадратов для вычисления умножений. ^[4]

Например:

93 × 87 = 90 ² − 3 ² = 8091

64 × 56 = 60 ² − 4 ² = 3584

Смотрите также

• Сумма двух кубов
• Биномиальное число
• Личность Софи Жермен
• Орифейлевская факторизация
• Конгруэнт — разность трёх квадратов в арифметической прогрессии.
• Сопряжение (алгебра)
• Факторизация

Примечания

1. Комплексные или мнимые числа TheMathPage.com, получено 22 декабря 2011 г.
2. Умножение радикалов TheMathPage.com, получено 22 декабря 2011 г.
3. RP Olenick et al., Механическая вселенная: Введение в механику и тепло
4. «Вавилонская математика».

Ссылки

• Стэнтон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики. Infobase Publishing. стр. 131. ISBN 0-8160-5124-0.
• Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Elementary Algebra (5-е изд.). Cengage Learning. стр. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8.

Внешние ссылки

• разность двух квадратов на mathpages.com