В математике парамодулярная группа — это особый вид арифметической подгруппы симплектической группы . Она является обобщением модулярной группы Зигеля и имеет такое же отношение к поляризованным абелевым многообразиям , какое модулярная группа Зигеля имеет к главнополяризованным абелевым многообразиям. Это группа автоморфизмов Z 2 n , сохраняющих невырожденную кососимметричную форму. Название «парамодулярная группа» часто используется для обозначения одного из нескольких стандартных матричных представлений этой группы. Соответствующая группа над действительными числами называется парасимплектической группой и сопряжена с (действительной) симплектической группой. Парамодулярная форма — это модулярная форма Зигеля для парамодулярной группы.
Парамодулярные группы были введены Конфорто (1952) и названы Шимурой (1958, раздел 8).
Существуют два соглашения о записи парамодулярной группы в виде матриц. В первом (старом) соглашении элементы матрицы являются целыми числами, но группа не является подгруппой симплектической группы, в то время как во втором соглашении парамодулярная группа является подгруппой обычной симплектической группы (над рациональными числами), но ее координаты не всегда являются целыми числами. Эти две формы симплектической группы сопряжены в общей линейной группе.
Любая невырожденная кососимметричная форма на Z 2 n эквивалентна форме, заданной матрицей
где F — диагональная матрица n на n , диагональные элементы которой F ii — положительные целые числа, причем каждый из них делит следующий. Таким образом, любая парамодулярная группа сопряжена с группой, сохраняющей указанную выше форму, другими словами, она состоит из матриц
GL 2 n ( Z ) такой, что
Сопряженная парамодулярная группа матрицей
(где I — единичная матрица) лежит в симплектической группе Sp 2 n ( Q ), поскольку
хотя его элементы не являются общими целыми числами. Это сопряжение также часто называют парамодулярной группой.
Парамодулярная группа степени n =2 является подгруппой GL 4 ( Q ), поэтому может быть представлена в виде матрицы 4 на 4. В литературе используется по крайней мере 3 способа сделать это. В этом разделе описывается, как представить ее в виде подгруппы Sp 4 ( Q ) с элементами, которые не обязательно являются целыми числами.
Любая невырожденная кососимметричная форма на Z 4 с точностью до изоморфизма и скалярных множителей эквивалентна форме, заданной, как указано выше, матрицей
В этом случае одна из форм парамодулярной группы состоит из симплектических матриц вида
где каждый * обозначает целое число. Тот факт, что эта матрица симплектическая, вынуждает к некоторым дополнительным условиям конгруэнтности, так что на самом деле парамодулярная группа состоит из симплектических матриц вида
Парамодулярная группа в этом случае порождается матрицами вида
для целых чисел x , y и z .
Некоторые авторы используют вместо этого матрицу , которая дает похожие результаты, за исключением того, что строки и столбцы переставляются; например, парамодулярная группа тогда состоит из симплектических матриц вида
{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)