Законы движения Эйлера

В классической механике законы движения Эйлера представляют собой уравнения движения , которые распространяют законы движения Ньютона для точечной частицы на движение твердого тела . ^[1] Они были сформулированы Леонардом Эйлером примерно через 50 лет после того, как Исаак Ньютон сформулировал свои законы.

Обзор

первый закон Эйлера

Первый закон Эйлера гласит, что скорость изменения импульса $p$ твердого тела равна равнодействующей всех внешних сил $F ext,$ действующих на тело: ^[2]

F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.

Внутренние силы между частицами, составляющими тело, не способствуют изменению импульса тела, поскольку существует равная и противоположная сила, приводящая к отсутствию чистого эффекта. ^[3]

Импульс твердого тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс $v см$ . ^[1]^[4]^[5]

Второй закон Эйлера

Второй закон Эйлера гласит, что скорость изменения момента импульса $L$ относительно точки, зафиксированной в инерциальной системе отсчета (часто это центр масс тела), равна сумме внешних моментов сил ( крутящих моментов ), действующих на это тело $M$ относительно этой точки: ^[1]^[4]^[5]

\mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.

Обратите внимание, что приведенная выше формула справедлива только в том случае, если и $M,$ и $L$ вычисляются относительно фиксированной инерциальной системы отсчета или системы отсчета, параллельной инерциальной системе отсчета, но фиксированной в центре масс. Для твердых тел, перемещающихся и вращающихся только в двух измерениях, это можно выразить как: ^[6]

\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},

где:

$r см$ — радиус-вектор центра масс тела относительно точки, относительно которой суммируются моменты,
$а см$ — линейное ускорение центра масс тела,
$m$ — масса тела,
$α$ — угловое ускорение тела, а
$I$ — момент инерции тела относительно его центра масс.

См. также уравнения Эйлера (динамика твердого тела) .

Объяснение и вывод

Распределение внутренних сил в деформируемом теле не обязательно одинаково по всему телу, то есть напряжения меняются от одной точки к другой. Это изменение внутренних сил по всему телу регулируется вторым законом движения Ньютона сохранения импульса и момента импульса , которые для их простейшего использования применяются к частице массы, но распространяются в механике сплошной среды на тело с непрерывно распределенной массой. Для сплошных тел эти законы называются законами движения Эйлера . ^[7]

Полная объемная сила, приложенная к сплошному телу массой $m$ , плотностью $ρ$ и объемом $V$ , представляет собой объемный интеграл , проинтегрированный по объему тела:

\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

где $b$ — сила, действующая на тело на единицу массы ( размерность ускорения, ошибочно называемая «силой тела»), а $dm = ρ dV$ — бесконечно малый элемент массы тела.

Силы тела и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам ( крутящим моментам ) этих сил относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент $M$ относительно начала координат определяется как

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}

где $M B$ и $M C$ обозначают моменты, вызванные корпусными и контактными силами соответственно.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат), действующих на тело, может быть представлена в виде суммы объемного и поверхностного интеграла :

\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.

где $t = t (n)$ называется поверхностным натяжением , интегрированным по поверхности тела, в свою очередь $n$ обозначает единичный вектор, нормальный и направленный наружу к поверхности $S$ .

Пусть система координат $(x 1, x 2, x 3)$ является инерциальной системой отсчета , $r$ — радиус-вектор точечной частицы в непрерывном теле относительно начала системы координат, а $v = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠д р/дт⁠$ — вектор скорости этой точки.

Первая аксиома или закон Эйлера (закон баланса импульса или баланса сил) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса $p$ произвольной части сплошного тела равна полной приложенной силе $F,$ действующей на эту часть, и выражается как

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}

Вторая аксиома или закон Эйлера (закон баланса момента импульса или баланса моментов) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения момента импульса $L$ произвольной части сплошного тела равна общему приложенному моменту $M,$ действующему на эту часть, и выражается как

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}

где — скорость, объем, а производные $p$ и $L$ — материальные производные . $\mathbf {v}$ $V$

Смотрите также

Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
Законы Эйлера вращения твердого тела
Уравнения движения Ньютона–Эйлера с 6 компонентами, объединяющие два закона Эйлера в одно уравнение.

Ссылки

^ abc McGill and King (1995). Инженерная механика, введение в динамику (3-е изд.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8.
^ Уравнения движения твердого тела Получено 2021-06-06
^ Грей, Гэри Л.; Костанцо, Плеша (2010). Инженерная механика: Динамика . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
^ ab Законы движения Эйлера . Получено 2009-03-30 .
^ ab Rao, Anil Vithala (2006). Динамика частиц и твердых тел. Cambridge University Press. стр. 355. ISBN 978-0-521-85811-3.
^ Руина, Энди; Рудра Пратап (2002). Введение в статику и динамику (PDF) . Oxford University Press. стр. 771. Получено 18 октября 2011 г.
^ Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренное издание). Dover Publications. стр. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-03-31.