Пифагорова настройка — это система музыкальной настройки , в которой соотношение частот всех интервалов основано на соотношении 3:2 . [2] Это соотношение, также известное как « чистая » совершенная квинта, выбрано потому, что оно является одним из наиболее согласных и его легче всего настроить на слух, а также из-за важности, приписываемой целому числу 3. Как выразился Новалис : «Музыкальная пропорции кажутся мне особенно правильными естественными пропорциями». [3] В качестве альтернативы, это можно описать как настройку синтонической темперации [1] , в которой генератор имеет соотношение 3:2 (т.е. нетемперированную идеальную квинту ), ширина которой составляет ≈ 702 цента .
Эта система восходит к Древней Месопотамии; [4] см. Музыка Месопотамии § Теория музыки . Система названа и широко ошибочно приписывалась древним грекам , особенно Пифагору (шестой век до н.э.) современными авторами теории музыки, в то время как Птолемей , а позже Боэций , приписывали деление тетрахорда только на два интервала, называемые «семитониумом». ", "tonus", "tonus" на латыни (256:243×9:8×9:8), Эратосфену . Так называемая «пифагорейская настройка» использовалась музыкантами вплоть до начала 16 века. «Система Пифагора могла бы показаться идеальной из-за чистоты квинт, но некоторые считают, что другие интервалы, особенно мажорная треть, настолько расстроены, что мажорные аккорды [можно считать] диссонансом». [2]
Пифагорова гамма — это любая гамма , которая может быть построена только из чистых чистых квинт (3:2) и октав (2:1). [5] В греческой музыке он использовался для настройки тетрахордов , которые были составлены в гаммы, охватывающие октаву. [6] Можно провести различие между расширенной пифагорейской настройкой и 12-тональной пифагорейской темперацией. Расширенная пифагорейская настройка соответствует западной нотной записи 1 на 1, и количество квинт не ограничено. Однако в 12-тоновой пифагорейской темпераменте человек ограничен 12 тонами на октаву, и невозможно играть большую часть музыки в соответствии с пифагорейской системой, соответствующей энгармонической нотации; вместо этого обнаруживается, что, например, уменьшенная шестая часть становится «волчьей пятой».
12-тоновая пифагорейская темперация основана на наборе интервалов, называемых идеальными квинтами, каждый из которых настроен в соотношении 3:2, следующем простейшем соотношении после 2:1. Например, начиная с D ( настройка на основе D ), шесть других нот создаются путем шестикратного перемещения вверх в соотношении 3:2, а остальные - путем перемещения того же соотношения вниз:
Эта последовательность из одиннадцати интервалов 3:2 охватывает широкий диапазон частот (на клавиатуре фортепиано она включает 77 клавиш). Поскольку ноты, различающиеся по частоте в 2 раза, воспринимаются как одинаковые и имеют одно и то же название ( октавная эквивалентность ), принято делить или умножать частоты некоторых из этих нот на 2 или на степень 2. Цель эта настройка заключается в перемещении 12 нот в пределах меньшего диапазона частот, а именно в интервале между базовой нотой D и нотой D над ней (нотой с удвоенной частотой). Этот интервал обычно называют основной октавой (на клавиатуре фортепиано октава имеет всего 12 клавиш). Это восходит к древности: в Древней Месопотамии настройка была основана не на сложении квинт, а на чередовании восходящих квинт и нисходящих кварт (равных восходящей квинте, за которой следовала нисходящая октава), в результате чего ноты пентатонической или гептатонической гаммы попадали в пределах одного тона. октава.
Например, A настроен так, что его частота равна 3/2 частоты D — если D настроен на частоту 288 Гц , то A настроен на 432 Гц. Точно так же E над A настроена так, что ее частота равна 3/2 частоты A или 9/4 частоты D - с A на частоте 432 Гц это дает E на частоте 648 Гц. Поскольку эта нота E находится за пределами вышеупомянутой основной октавы (т.е. ее частота более чем в два раза превышает частоту базовой ноты D), обычно ее частоту уменьшают вдвое, чтобы переместить ее в пределах основной октавы. Следовательно, E настраивается на 324 Гц, на 9/8 (= один эпогдун ) выше D. B на 3/2 выше E настраивается на соотношение 27:16 и так далее. Начиная с той же точки и в другую сторону, G настраивается на 3/2 ниже D, что означает, что ему назначается частота, равная 2/3 частоты D - с D на 288 Гц это ставит G на 192. Гц. Затем эта частота удваивается (до 384 Гц), чтобы привести ее к основной октаве.
Однако при расширении этой настройки возникает проблема: ни один набор интервалов 3:2 (идеальные квинты) не вписывается точно ни в один набор интервалов 2:1 (октав). Например, такая стопка, полученная добавлением еще одной ноты к стопке, показанной выше.
будет похож, но не идентичен по размеру стеку из 7 октав. Точнее, она будет примерно на четверть полутона больше , называемая запятой Пифагора . Таким образом, A ♭ и G♯ , приведённые в основную октаву, не совпадут ожидаемым образом. Таблица ниже иллюстрирует это, показывая для каждой ноты основной октавы условное название интервала от C (базовая нота), формулу для расчета его частотного соотношения, его размер в центах и разницу в центах (обозначенную 12- ТЭТ-разница в таблице) между его размером и размером соответствующего в равнотемперированной шкале.
В формулах соотношения 3:2 или 2:3 представляют собой восходящую или нисходящую чистую квинту (т.е. увеличение или уменьшение частоты на чистую квинту, а 2:1 или 1:2 представляют собой восходящую или понижающую октаву). Формулы также можно выразить через степени третьей и второй гармоник .
Основная гамма , основанная на C, полученная в результате этой настройки: [7]
При одинаковой темперации пары энгармонических нот, такие как A ♭ и G ♯, считаются одной и той же нотой, однако, как показывает приведенная выше таблица, в пифагорейской настройке они имеют разные соотношения по отношению к D, что означает, что они находятся на одной и той же ноте. другая частота. Это несоответствие, составляющее около 23,46 цента, или почти четверть полутона, известно как пифагорейская запятая .
Чтобы обойти эту проблему, пифагорейская настройка строит только двенадцать нот, как указано выше, с одиннадцатью квинтами между ними. Например, можно использовать только 12 нот от E ♭ до G ♯ . Это, как было показано выше, подразумевает, что для построения всей хроматической гаммы используются всего лишь одиннадцать квинт. Оставшийся интервал (уменьшенная шестая часть от G ♯ до E ♭ ) сильно расстроен, а это означает, что любая музыка, сочетающая в себе эти две ноты, в этой настройке неиграбельна. Очень расстроенный интервал, такой как этот, известен как волчий интервал . В случае пифагорейской настройки все квинты имеют ширину 701,96 цента, в точном соотношении 3:2, за исключением волчьей квинты, ширина которой всего 678,49 цента, что почти на четверть полутона плоше .
Если ноты G ♯ и E ♭ необходимо произнести вместе, положение волчьей квинты можно изменить. Например, пифагорова настройка на основе C создаст стопку квинт от D ♭ до F ♯ , что сделает F ♯ -D ♭ волчьим интервалом. Однако в пифагорейской настройке всегда будет одна волчья квинта, что делает невозможным играть на всех тональностях .
В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы можно формировать, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, для каждого типа интервалов можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из 2 полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из 3 полутонов и т. д.).
Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых (волчья пятая) имеет другой размер по сравнению с остальными одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов, за исключением унисонов и октав, имеет два разных размера в пифагорейской настройке. Это цена поиска именно интонации . В таблицах справа и ниже показаны их соотношения частот и их приблизительные размеры в центах. Имена интервалов даются в стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от D до A, который представляет собой чистую квинту ( P5 ), можно найти в седьмом столбце строки с надписью D. Строго чистые (или чистые) интервалы выделены жирным шрифтом. Интервалы Вольфа выделены красным. [8]
Причина, по которой размеры интервалов различаются по всей гамме, заключается в том, что высоты, составляющие гамму, расположены неравномерно. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных полутона (т.е. интервалы между соседними нотами):
И наоборот, в одинаково темперированной хроматической гамме двенадцать тонов по определению расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, а все полутона имеют размер ровно
Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные терции имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. д.). Цена, заплаченная в этом случае, состоит в том, что ни один из них не настроен правильно и совершенно согласно, за исключением, конечно, унисона и октавы.
По определению, в пифагорейской настройке 11 чистых квинт ( P5 в таблице) имеют размер примерно 701,955 центов (700+ε центов, где ε ≈ 1,955 центов). Так как средний размер 12 квинт должен равняться ровно 700 центам (как при равном темпераменте), то другой должен иметь размер 700 - 11 ε центов, что составляет около 678,495 центов (волчья квинта). Как показано в таблице, последний интервал, хотя и энгармонически эквивалентен квинте, правильнее называть уменьшенной шестой ( d6 ). Сходным образом,
Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, за исключением унисонов и октав, и все они кратны ε , разнице между пифагорейской квинтой и средней квинтой.
Как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε (≈ 23,460) центов уже или шире, чем его энгармонический эквивалент. Например, d6 (или волчья пятая часть) на 12 ε центов уже, чем каждый P5, а каждый A2 на 12 ε центов шире, чем каждый m3. Этот интервал размером 12 ε известен как запятая Пифагора , в точности равная противоположности уменьшенной секунды (≈ -23,460 цента). Это означает, что ε также можно определить как одну двенадцатую пифагорейской запятой.
Четыре из вышеупомянутых интервалов получили в пифагорейской настройке особое название. В следующей таблице представлены эти конкретные названия вместе с альтернативными названиями, которые обычно используются для некоторых других интервалов. Пифагорова запятая не совпадает с уменьшенной секундой, так как ее размер (524288:531441) является обратным уменьшенной пифагорейской секунде (531441:524288). Кроме того , дитон и полудитон характерны для пифагорейской настройки, тогда как тон и тритон используются в целом для всех систем настройки. Несмотря на свое название, полудитон (3 полутона, или около 300 центов) вряд ли можно рассматривать как половину дитона (4 полутона, или около 400 центов). Все интервалы с приставкой полуторный- настроены правильно , а их отношение частот , представленное в таблице, представляет собой сверхчастичное число (или эпиморное отношение). То же самое справедливо и для октавы.
Система восходит к Древней Месопотамии [4] и состояла из чередующихся восходящих квинт и нисходящих квинт; см. Музыка Месопотамии § Теория музыки . В древнегреческой музыке современные авторы теории музыки в основном приписывали эту систему Пифагору (который жил около 500 г. до н.э.); Древние греки заимствовали большую часть своей теории музыки из Месопотамии, включая диатоническую гамму, пифагорейский строй и лады. Китайская шкала Ши-эр-лу использует те же интервалы, что и шкала Пифагора, и была изобретена между 600 г. до н.э. и 240 г. н.э. [2] [9]
Из-за волчьего интервала при использовании 12-тональной пифагорейской темперации этот строй сегодня используется редко, хотя считается, что он получил широкое распространение. В музыке, в которой тональность меняется нечасто или которая не очень гармонически авантюрна, волчий интервал вряд ли станет проблемой, поскольку в таких произведениях будут слышны не все возможные квинты. В расширенной пифагорейской настройке нет волчьего интервала, все идеальные квинты составляют ровно 3:2.
Поскольку большинство квинт 12-тонового пифагорейского темперамента имеют простое соотношение 3:2, они звучат очень «гладко» и согласно. Трети, напротив, большинство из которых имеют относительно сложные соотношения 81:64 (для мажорных третей) и 32:27 (для второстепенных третей), звучат менее плавно в зависимости от инструмента. [10]
Примерно с 1510 года, когда терции стали рассматриваться как созвучия, означающая темперамент и, в частности, четверть запятой, означающая тон , которая настраивает терции на относительно простое соотношение 5:4 , стала самой популярной системой настройки клавиатуры. В то же время синтоно-диатоническая справедливая интонация была положена сначала Рамосом , а затем Зарлино как нормальный строй певцов.
Однако у Meante были свои собственные проблемы с гармонией. Его волчьи интервалы оказались даже хуже, чем у пифагорейской настройки (настолько, что часто требовалось 19 тональностей на октаву вместо 12 в пифагорейской настройке). Как следствие, Meanone подходил не для всей музыки. Примерно с 18 века, когда росло желание инструментов менять тональность и, следовательно, избегать волчьего интервала, это привело к широкому использованию хороших темпераментов и, в конечном итоге, равного темперамента .
Пифагорейский темперамент все еще можно услышать в некоторых частях современной классической музыки у певцов и инструментов без фиксированной настройки, таких как скрипки . Если у исполнителя есть неаккомпанементный пассаж, основанный на гаммах, он будет склонен использовать пифагорейскую интонацию, поскольку это позволит гамме звучать лучше всего, а затем возвращается к другим темперациям для других пассажей (просто интонация для аккордовых или арпеджио фигур и равная темперация, когда в сопровождении фортепиано или оркестра). Такие изменения никогда не отмечаются явно и почти не заметны публике, а просто звучат «в тон».
![{\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ центов}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e3fb3b0b08eacfa4f426c6d8d29bb7b28e168f)
{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)