Евклидово расстояние

Длина отрезка прямой

Использование теоремы Пифагора для вычисления двумерного евклидова расстояния

В математике евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве — это длина отрезка прямой между ними. Его можно вычислить из декартовых координат точек с помощью теоремы Пифагора , и поэтому его иногда называют пифагорейским расстоянием .

Эти названия происходят от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора . В греческой дедуктивной геометрии, примером которой являются «Начала » Евклида , расстояния представлялись не числами, а отрезками одинаковой длины, которые считались «равными». Понятие расстояния присуще инструменту циркулю , используемому для рисования окружности , все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от общей центральной точки . Связь между теоремой Пифагора и вычислением расстояний была установлена ​​только в 18 веке.

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние среди пар точек от двух объектов. Известны формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов, такими как расстояние от точки до прямой . В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства , и были изучены другие расстояния, кроме евклидовых. В некоторых приложениях в статистике и оптимизации вместо самого расстояния используется квадрат евклидова расстояния.

Формулы расстояний

Одно измерение

Расстояние между любыми двумя точками на действительной прямой равно абсолютному значению числовой разности их координат, их абсолютной разности . Таким образом, если и являются двумя точками на действительной прямой, то расстояние между ними определяется по формуле: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Более сложная формула, дающая то же значение, но более легко обобщающая на более высокие измерения, выглядит так: ^[1]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

В этой формуле возведение в квадрат и последующее извлечение квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением. ^[1]

Два измерения

В евклидовой плоскости пусть точка имеет декартовы координаты и пусть точка имеет координаты . Тогда расстояние между и определяется по формуле: ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

Это можно увидеть, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальными и вертикальными сторонами, имеющему отрезок от до в качестве гипотенузы. Две квадратные формулы внутри квадратного корня дают площади квадратов на горизонтальных и вертикальных сторонах, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами . Если полярные координаты являются и полярные координаты являются , то их расстояние ^[2] определяется по закону косинусов : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Когда и выражены как комплексные числа в комплексной плоскости , можно использовать ту же формулу для одномерных точек, выраженных как действительные числа, хотя здесь знак абсолютного значения указывает на комплексную норму : ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Более высокие измерения

Вывод формулы -мерного евклидова расстояния путем многократного применения теоремы Пифагора ${\displaystyle n}$

В трех измерениях для точек, заданных их декартовыми координатами, расстояние равно

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

В общем случае для точек, заданных декартовыми координатами в -мерном евклидовом пространстве, расстояние равно ^[5] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

Евклидово расстояние можно также выразить более компактно через евклидову норму разности евклидовых векторов :

$${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

Объекты, отличные от точек

Для пар объектов, которые не являются одновременно точками, расстояние можно проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками двух объектов, хотя также обычно используются более сложные обобщения от точек до множеств, такие как расстояние Хаусдорфа . ^[6] Формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов включают:

• Расстояние от точки до прямой на евклидовой плоскости ^[7]
• Расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве ^[7]
• Расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве ^[8]

Расстояние от точки до кривой можно использовать для определения параллельной ей кривой , другой кривой, все точки которой имеют одинаковое расстояние до данной кривой. ^[9]

Характеристики

Евклидово расстояние является прототипическим примером расстояния в метрическом пространстве [ 10 ^] и подчиняется всем определяющим свойствам метрического пространства: ^[11]

• Он симметричен , что означает, что для всех точек и , . То есть (в отличие от расстояния по дороге с односторонним движением) расстояние между двумя точками не зависит от того, какая из двух точек является отправной точкой, а какая — пунктом назначения. ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• Он положительный , то есть расстояние между любыми двумя различными точками является положительным числом , в то время как расстояние от любой точки до самой себя равно нулю. ^[11]
• Он подчиняется неравенству треугольника : для каждых трех точек , , и , . Интуитивно, путешествие от до через не может быть короче, чем путешествие напрямую от до . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Другое свойство, неравенство Птолемея , касается евклидовых расстояний между четырьмя точками , , , и . Оно гласит, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Для точек на плоскости это можно перефразировать как утверждение, что для каждого четырехугольника произведение противоположных сторон четырехугольника в сумме дает по крайней мере такое же большое число, как произведение его диагоналей. Однако неравенство Птолемея применяется в более общем смысле к точкам в евклидовых пространствах любой размерности, независимо от того, как они расположены. ^[12] Для точек в метрических пространствах, которые не являются евклидовыми пространствами, это неравенство может быть неверным. Евклидова геометрия расстояний изучает свойства евклидова расстояния, такие как неравенство Птолемея, и их применение для проверки того, исходят ли заданные наборы расстояний из точек в евклидовом пространстве. ^[13]

Согласно теореме Бекмана–Куорлза , любое преобразование евклидовой плоскости или многомерного евклидова пространства, сохраняющее единичные расстояния, должно быть изометрией , сохраняющей все расстояния. ^[14]

Квадрат евклидова расстояния

Во многих приложениях, и в частности при сравнении расстояний, может быть более удобно опустить последний квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний, поскольку квадратный корень не меняет порядок ( если и только если ). Значение, полученное в результате этого упущения, является квадратом евклидова расстояния и называется квадратом евклидового расстояния . ^[15] Например, минимальное евклидово остовное дерево может быть определено с использованием только порядка между расстояниями, а не их числовых значений. Сравнение квадратов расстояний дает тот же результат, но позволяет избежать ненужного вычисления квадратного корня и обходит проблемы числовой точности. ^[16] Как уравнение, квадрат расстояния может быть выражен как сумма квадратов : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат евклидова расстояния имеет центральное значение в статистике , где он используется в методе наименьших квадратов , стандартном методе подгонки статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадрата расстояний между наблюдаемыми и оценочными значениями, ^[17] и как простейшая форма расхождения для сравнения распределений вероятностей . ^[18] Сложение квадратов расстояний друг с другом, как это делается при подгонке по методу наименьших квадратов, соответствует операции над (неквадратичными) расстояниями, называемой пифагорейским сложением . ^[19] В кластерном анализе квадраты расстояний могут использоваться для усиления эффекта более длинных расстояний. ^[15]

Квадрат евклидова расстояния не образует метрическое пространство, так как не удовлетворяет неравенству треугольника. ^[20] Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое является негладким (вблизи пар равных точек) и выпуклым, но не строго выпуклым. Таким образом, квадрат расстояния предпочтительнее в теории оптимизации , так как он позволяет использовать выпуклый анализ . Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее проще решить с помощью квадрата расстояния. ^[21]

Совокупность всех квадратов расстояний между парами точек из конечного множества может быть сохранена в евклидовой матрице расстояний и в этой форме используется в геометрии расстояний. ^[22]

Обобщения

В более продвинутых областях математики, при рассмотрении евклидова пространства как векторного пространства , его расстояние связано с нормой, называемой евклидовой нормой , определяемой как расстояние каждого вектора от начала координат . Одним из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами является то, что она остается неизменной при произвольных вращениях пространства вокруг начала координат. ^[23] По теореме Дворецкого , каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет высокоразмерное подпространство, на котором норма приблизительно евклидова; евклидова норма является единственной нормой с этим свойством. ^[24] Ее можно распространить на бесконечномерные векторные пространства как норму L2 или расстояние L2 ^{. [25]} Евклидово расстояние придает евклидову пространству структуру топологического пространства , евклидовую топологию , с открытыми шарами (подмножествами точек, ^{находящихся} на расстоянии, меньшем заданного, от заданной точки) в качестве его ^{окрестностей} . [ ^26]

Сравнение расстояний Чебышева, Евклида и такси для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Другие общие расстояния в реальных координатных пространствах и функциональных пространствах : ^[27]

• Расстояние Чебышева ( расстояние L∞ ), которое измеряет расстояние как максимальное из расстояний по каждой координате ^.
• Расстояние такси ( расстояние L1 ), также называемое ^{манхэттенским} расстоянием, измеряется как сумма расстояний по каждой координате.
• Расстояние Минковского ( расстояние L ^p ) — обобщение, объединяющее евклидово расстояние, расстояние такси и расстояние Чебышёва.

Для точек на поверхностях в трех измерениях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния, длины кратчайшей кривой, принадлежащей поверхности. В частности, для измерения расстояний по большой окружности на Земле или других сферических или почти сферических поверхностях использовались расстояния, включающие расстояние гаверсинуса, дающее расстояния по большой окружности между двумя точками на сфере из их долгот и широт, и формулы Винсенти, также известные как «расстояние Винсента» для расстояния на сфероиде. ^[28]

История

Евклидово расстояние — это расстояние в евклидовом пространстве . Оба понятия названы в честь древнегреческого математика Евклида , чьи «Начала» стали стандартным учебником по геометрии на многие столетия. ^[29] Понятия длины и расстояния широко распространены в разных культурах, могут быть датированы самыми ранними сохранившимися «протописьменными» бюрократическими документами из Шумера в четвертом тысячелетии до нашей эры (задолго до Евклида), ^[30] и, как предполагается, развиваются у детей раньше, чем связанные с ними понятия скорости и времени. ^[31] Но понятие расстояния, как числа, определяемого из двух точек, на самом деле не появляется в « Началах » Евклида . Вместо этого Евклид подходит к этому понятию неявно, через конгруэнтность отрезков, через сравнение длин отрезков и через концепцию пропорциональности . ^[32]

Теорема Пифагора также является древней, но она смогла занять центральную роль в измерении расстояний только после изобретения декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Сама формула расстояния была впервые опубликована в 1731 году Алексисом Клеро . ^[33] Из-за этой формулы евклидово расстояние также иногда называют пифагорейским расстоянием. ^[34] Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. историю геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний между точками в математических пространствах, появилась еще позже, с формулировкой неевклидовой геометрии в 19 веке . ^[35] Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более чем трех измерений также впервые появилось в 19 веке в работе Огюстена-Луи Коши . ^[36]

Ссылки

1. Смит, Карл (2013), Предварительное исчисление: функциональный подход к построению графиков и решению проблем, Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
2. Коэн, Дэвид (2004), Предварительное исчисление: проблемно-ориентированный подход (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
3. Ауфманн, Ричард Н.; Баркер, Вернон К.; Нейшн, Ричард Д. (2007), Колледжская тригонометрия (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
4. Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2014), «3.1.1 Расстояние между двумя точками», Комплексные числа от А до ... Я (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
5. Табак, Джон (2014), Геометрия: язык пространства и формы, Факты о файле математической библиотеки, Infobase Publishing, стр. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
6. Ó Searcóid, Mícheál (2006), «2.7 Расстояния от множеств до множеств», Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, стр. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
7. Ballantine, JP; Jerbert, AR (апрель 1952 г.), «Расстояние от прямой или плоскости до точки», Классные заметки, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi :10.2307/2306514, JSTOR  2306514
8. Белл, Роберт Дж. Т. (1914), «49. Кратчайшее расстояние между двумя линиями», Элементарный трактат по координатной геометрии трех измерений (2-е изд.), Macmillan, стр. 57–61
9. Маекава, Такаши (март 1999), «Обзор смещенных кривых и поверхностей», Computer-Aided Design , 31 (3): 165–173, doi :10.1016/s0010-4485(99)00013-5
10. Иванов, Олег А. (2013), Просто как π?: Введение в высшую математику, Springer, стр. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
11. Стрихартц, Роберт С. (2000), Путь анализа, Jones & Bartlett Learning, стр. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
12. Адам, Джон А. (2017), «Глава 2. Введение в «физику» лучей», Лучи, волны и рассеяние: темы классической математической физики , Принстонская серия по прикладной математике, Издательство Принстонского университета, стр. 26–27, doi : 10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
13. Либерти, Лео; Лавор, Карлайл (2017), Евклидова дистанционная геометрия: введение, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, стр. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
14. Бекман, Ф. С.; Куорлз, Д. А. младший (1953), «Об изометриях евклидовых пространств», Труды Американского математического общества , 4 (5): 810–815, doi : 10.2307/2032415 , JSTOR  2032415, MR  0058193
15. Spencer, Neil H. (2013), "5.4.5 Квадраты евклидовых расстояний", Основы многомерного анализа данных , CRC Press, стр. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
16. Яо, Эндрю Чи Чи (1982), «О построении минимальных остовных деревьев в k -мерных пространствах и связанных с ними проблемах», SIAM Journal on Computing , 11 (4): 721–736, doi :10.1137/0211059, MR  0677663
17. Рэндольф, Карен А .; Майерс, Лора Л. (2013), Базовая статистика в многомерном анализе, Карманный справочник по методам исследования социальной работы, Oxford University Press, стр. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
18. Чисар, И. (1975), « Геометрия I -дивергенции вероятностных распределений и проблемы минимизации», Annals of Probability , 3 (1): 146–158, doi : 10.1214/aop/1176996454 , JSTOR  2959270, MR  0365798
19. Молер, Клив и Дональд Моррисон (1983), «Замена квадратных корней пифагорейскими суммами» (PDF) , IBM Journal of Research and Development , 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , doi :10.1147/rd.276.0577 
20. Милке, Пол В.; Берри, Кеннет Дж. (2000), «Методы перестановки на основе евклидовых расстояний в атмосферной науке», в Браун, Тимоти Дж.; Милке, Пол В. младший (ред.), Статистический анализ и визуализация данных в атмосферных науках , Springer, стр. 7–27, doi :10.1007/978-1-4757-6581-6_2
21. Каплан, Вилфред (2011), Максимумы и минимумы с приложениями: практическая оптимизация и двойственность, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, т. 51, John Wiley & Sons, стр. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
22. Альфаких, Абдо Й. (2018), Евклидовы матрицы расстояний и их применение в теории жесткости, Springer, стр. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
23. Копейкин, Сергей; Эфроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011), Релятивистская небесная механика Солнечной системы, John Wiley & Sons, стр. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
24. Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии, Тексты для выпускников по математике , Springer, стр. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
25. Ciarlet, Philippe G. (2013), Линейный и нелинейный функциональный анализ с приложениями, Общество промышленной и прикладной математики, стр. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
26. Ричмонд, Том (2020), Общая топология: Введение, Де Грюйтер, стр. 32, ISBN 978-3-11-068657-9
27. Кламрот, Катрин (2002), «Раздел 1.1: Нормы и метрики», Проблемы размещения отдельных объектов с барьерами , Springer Series in Operations Research, Springer, стр. 4–6, doi :10.1007/0-387-22707-5_1
28. Паниграхи, Нараян (2014), «12.2.4 Формула гаверсинуса и 12.2.5 Формула Винсенти», Вычисления в географических информационных системах, CRC Press, стр. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9
29. Чжан, Цзинь (2007), Визуализация для поиска информации , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
30. Хёйруп, Йенс (2018), «Месопотамская математика» (PDF) , в Джонс, Александр; Тауб, Либа (ред.), Кембриджская история науки, том 1: Древняя наука , Cambridge University Press, стр. 58–72, архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2021 г. , извлечено 21 октября 2020 г.
31. Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), «Понимание относительных скоростей, расстояний и продолжительности движения», Developmental Psychology , 17 (4): 490–493, doi :10.1037/0012-1649.17.4.490
32. Хендерсон, Дэвид В. (2002), «Обзор геометрии: Евклид и далее Робина Хартшорна», Бюллетень Американского математического общества , 39 : 563–571, ​​doi : 10.1090/S0273-0979-02-00949-7
33. Маор, Эли (2019), Теорема Пифагора: 4000-летняя история, Princeton University Press, стр. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6
34. Ранкин, Уильям К.; Маркли, Роберт П.; Эванс, Селби Х. (март 1970 г.), «Пифагорейское расстояние и оценочное сходство схематических стимулов», Perception & Psychophysics , 7 (2): 103–107, doi : 10.3758/bf03210143
35. Милнор, Джон (1982), «Гиперболическая геометрия: первые 150 лет» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 6 (1): 9–24, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14958-8 , MR  0634431
36. Рэтклифф, Джон Г. (2019), Основы гиперболических многообразий, Graduate Texts in Mathematics , т. 149 (3-е изд.), Springer, стр. 32, ISBN 978-3-030-31597-9