Неравенство Птолемея

Четыре точки и шесть дистанций к ним. Точки не лежат на одной окружности, поэтому неравенство Птолемея для этих точек строгое.

В евклидовой геометрии неравенство Птолемея связывает шесть расстояний , определяемых четырьмя точками на плоскости или в многомерном пространстве. Он утверждает, что для любых четырех точек A , B , C и D выполняется следующее неравенство :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

Он назван в честь греческого астронома и математика Птолемея .

Четыре точки можно расположить любым из трех различных способов (считая развороты неразличимыми), чтобы сформировать три разных четырехугольника , для каждого из которых сумма произведений противоположных сторон не менее велика, чем произведение диагоналей. Таким образом, три члена произведения в неравенстве можно аддитивно переставить, чтобы поместить любой из них в правую часть неравенства, поэтому три произведения противоположных сторон или диагоналей любого из четырехугольников должны подчиняться неравенству треугольника . ^[1]

В качестве частного случая теорема Птолемея утверждает, что неравенство становится равенством, когда четыре точки лежат в циклическом порядке на окружности . Другой случай равенства возникает, когда четыре точки лежат на одной прямой . Неравенство не обобщается с евклидовых пространств на произвольные метрические пространства . Пространства, в которых оно остается действительным, называются пространствами Птолемея ; они включают пространства внутреннего произведения , пространства Адамара и расстояния кратчайшего пути на графах Птолемея .

Предположения и вывод

Неравенство Птолемея часто формулируется для частного случая, когда четыре точки являются вершинами выпуклого четырехугольника , заданного в циклическом порядке. ^{[2] [3]} Однако в более общем смысле теорема применима к любым четырем точкам; не требуется, чтобы образуемый ими четырехугольник был выпуклым, простым или даже плоским.

Для точек на плоскости неравенство Птолемея можно вывести из неравенства треугольника путем инверсии с центром в одной из четырех точек. ^{[4] [5]} В качестве альтернативы его можно получить, интерпретируя четыре точки как комплексные числа , используя тождество комплексного числа:

${\displaystyle (A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D)}$

построить треугольник, длины сторон которого являются произведениями сторон данного четырехугольника, и применить к этому треугольнику неравенство треугольника. ^[6] Можно также рассматривать точки как принадлежащие комплексной проективной прямой , выражать неравенство в виде того, что абсолютные значения двух перекрестных отношений точек в сумме дают по крайней мере одну, и вывести это из того факта, что перекрестие -коэффициенты сами по себе в сумме дают ровно единицу. ^[7]

Доказательство неравенства для точек в трехмерном пространстве можно свести к плоскому случаю, заметив, что для любого неплоского четырехугольника можно вращать одну из точек вокруг диагонали до тех пор, пока четырехугольник не станет плоским, увеличивая длину другой диагонали и сохраняя остальные пять расстояний постоянными. ^[6] В пространствах размерности выше трех любые четыре точки лежат в трехмерном подпространстве, и можно использовать то же трехмерное доказательство.

Четыре конциклические точки

Для четырех точек, расположенных по кругу , неравенство Птолемея становится равенством, известным как теорема Птолемея :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

В доказательстве неравенства Птолемея, основанном на инверсии, преобразование четырех сокруговых точек путем инверсии с центром в одной из них приводит к тому, что три других становятся коллинеарными, поэтому равенство треугольника для этих трех точек (из которого можно вывести неравенство Птолемея) также становится равенством. ^[5] Для любых остальных четырех точек неравенство Птолемея является строгим.

В трех измерениях

Четыре некомпланарные точки A , B , C и D в 3D образуют тетраэдр. В этом случае справедливо строгое неравенство: . ^[8] ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

В общих метрических пространствах

Граф циклов , в котором расстояния не подчиняются неравенству Птолемея.

Неравенство Птолемея в более общем смысле справедливо в любом пространстве внутреннего продукта , ^{[1] [9]} , и всякий раз, когда оно верно для реального нормированного векторного пространства , это пространство должно быть пространством внутреннего продукта. ^{[9] [10]}

Для других типов метрического пространства неравенство может быть действительным, а может и не быть. Пространство, в котором оно имеет место, называется Птолемеевым . Например, рассмотрим граф циклов с четырьмя вершинами , показанный на рисунке, у которого все длины ребер равны 1. Сумма произведений противоположных сторон равна 2. Однако диагонально противоположные вершины находятся на расстоянии 2 друг от друга, поэтому произведение диагоналей равно 4 и больше суммы произведений сторон. Следовательно, кратчайшие пути в этом графе не являются птолемеевскими. Графы, в которых расстояния подчиняются неравенству Птолемея, называются графами Птолемея и имеют ограниченную структуру по сравнению с произвольными графами; в частности, они запрещают индуцированные циклы длиной более трех, такие как показанный. ^[11]

Пространства Птолемея включают все пространства CAT(0) и, в частности, все пространства Адамара . Если полное риманово многообразие является птолемеевым, оно обязательно является пространством Адамара. ^[12]

Внутренние пространства продукта

Предположим, что это норма векторного пространства. Тогда эта норма удовлетворяет неравенству Птолемея: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

скалярный продукт^[13]параллелограмма ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in X.}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

тождество поляризации

Смотрите также

• Греческая математика  - Математика древних греков
• Закон параллелограмма  : сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов двух диагоналей.
• Поляризационная идентичность  - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.
• Птолемей  – римский математик, астроном, географ II века.
• Таблица аккордов Птолемея  - тригонометрическая таблица II века нашей эры.
• Теорема Птолемея  - связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на общей окружности.

Рекомендации

1. Schoenberg, IJ (1940), «О метрических дугах исчезающей кривизны Менгера», Annals of Mathematics , Second Series, 41 (4): 715–726, doi : 10.2307/1968849, JSTOR  1968849, MR  0002903.
2. Стил, Дж. Майкл (2004), «Упражнение 4.6 (Неравенство Птолемея)», Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств , сборники задач MAA, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
3. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009), «6.1 Неравенство Птолемея», Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Математическая ассоциация Америки, стр. 82–83, ISBN. 9780883853429.
4. Апостол (1967) приписывает доказательство, основанное на инверсии, учебникам Р. А. Джонсона (1929) и Говарда Ивса (1963).
5. Станкова, Звезделина ; Райк, Том, ред. (2008), «Проблема 7 (неравенство Птолемея)», Десятилетие математического кружка Беркли: американский опыт , Библиотека математических кружков MSRI, том. 1, Американское математическое общество, с. 18, ISBN 9780821846834.
6. Апостол 1967.
7. Сильвестр, Джон Р. (2001), «Предложение 9.10 (теорема Птолемея)», Геометрия: древняя и современная , Oxford University Press, стр. 229, ISBN 9780198508250.
8. Чжу, Ханлинь (1984). «68,25 Неравенство тетраэдра». Математический вестник . 68 (445): 200–202. дои : 10.2307/3616345. ISSN  0025-5572.
9. Джайлз, младший (2000), «Упражнение 12», Введение в анализ нормированных линейных пространств , серия лекций Австралийского математического общества, том. 13, Издательство Кембриджского университета, с. 47, ISBN 9780521653756.
10. Шенберг, IJ (1952), «Замечание о характеристике М.М. Дэя пространств внутреннего продукта и гипотезе Л.М. Блюменталя», Proceedings of the American Mathematical Society , 3 (6): 961–964, doi : 10.2307/2031742, JSTOR  2031742, МР  0052035.
11. Ховорка, Эдвард (1981), «Характеристика графов Птолемея», Журнал теории графов , 5 (3): 323–331, doi : 10.1002/jgt.3190050314, MR  0625074.
12. Бакли, С.М.; Фальк, К.; Рэйт, DJ (2009), «Пространства Птолемея и CAT (0)», Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017/S0017089509004984 , MR  2500753.
13. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика». Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275. JSTOR  2688275. МР  0225213.