Теорема Птолемея

Связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на общей окружности.

Теорема Птолемея представляет собой соотношение между этими длинами в вписанном четырехугольнике. ${\displaystyle \definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}}$

В евклидовой геометрии теорема Птолемея представляет собой соотношение между четырьмя сторонами и двумя диагоналями вписанного четырехугольника (четырехугольника, вершины которого лежат на общей окружности). Теорема названа в честь греческого астронома и математика Птолемея (Клавдия Птолемея). ^[1] Птолемей использовал эту теорему в качестве вспомогательного средства для создания своей таблицы хорд , тригонометрической таблицы, которую он применил в астрономии.

Если вершины вписанного четырехугольника расположены по порядку A , B , C и D , то теорема утверждает, что:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$

Это отношение может быть выражено словесно следующим образом:

Если четырёхугольник вписанный, то произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.

Более того, верно и обратное утверждение теоремы Птолемея:

В четырехугольнике, если сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей, то четырехугольник можно вписать в окружность, т. е. он является вписанным четырехугольником .

Следствия о вписанных многоугольниках

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Следствием из теоремы Птолемея является красивая теорема ^[2] о равностороннем треугольнике, вписанном в окружность.

Дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность, и точка на этой окружности.

Расстояние от точки до самой дальней вершины треугольника представляет собой сумму расстояний от точки до двух ближайших вершин.

Доказательство: следует непосредственно из теоремы Птолемея:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$

Квадрат

Любой квадрат можно вписать в круг, центром которого является центр квадрата. Если общая длина четырех ее сторон равна , то длина диагонали равна согласно теореме Пифагора , и соотношение Птолемея, очевидно, выполняется. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$

Прямоугольник

Теорема Пифагора: «manifestum est» : Коперник

В более общем смысле, если четырехугольник представляет собой прямоугольник со сторонами a и b и диагональю d, то теорема Птолемея сводится к теореме Пифагора. В этом случае центр круга совпадает с точкой пересечения диагоналей. Тогда произведение диагоналей равно d ² , а правая часть соотношения Птолемея равна сумме a ²  +  b ² .

Коперник, который широко использовал теорему Птолемея в своих тригонометрических работах, называет этот результат «поризмом» или самоочевидным следствием:

Более того, ясно ( manifestum est ), что если дана хорда, стягивающая дугу, то можно найти и ту хорду, которая стягивает остальную часть полукруга. ^[3]

Пентагон

Золотое сечение следует из этого применения теоремы Птолемея.

Более интересный пример — соотношение между длиной стороны a и (общей) длиной b пяти хорд правильного пятиугольника. Заполняя квадрат , отношение дает золотое сечение : ^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}}$

Сторона десятиугольника

Сторона вписанного десятиугольника

Если теперь диаметр AF провести пополам DC так, что DF и CF являются сторонами c вписанного десятиугольника, теорему Птолемея можно снова применить - на этот раз к вписанному четырехугольнику ADFC с диаметром d в качестве одной из его диагоналей:

${\displaystyle ad=2bc}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$где золотое сечение. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.}$^[5]

откуда сторона вписанного десятиугольника получается через диаметр круга. Теорема Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику AFD, затем дает «b» в терминах диаметра, а «а» сторона пятиугольника ^[6] после этого рассчитывается как

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b\left(\varphi -1\right).}$

Как писал Коперник (вслед за Птолемеем):

«Даны диаметр круга, даны также стороны треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, которые описывает тот же круг». ^[7]

Доказательства

Визуальное доказательство

Анимированное визуальное доказательство теоремы Птолемея, основанное на Деррике и Херштейне (2012).

Анимация здесь демонстрирует наглядную демонстрацию теоремы Птолемея, основанной на работе Деррика и Херштейна (2012). ^[8]

Доказательство подобием треугольников.

Конструкции доказательства теоремы Птолемея.

Пусть ABCD — вписанный четырехугольник . На хорде BC вписанные углы ∠BAC = ∠BDC, а на AB ∠ADB = ∠ACB. Построим K на AC так, чтобы ∠ABK = ∠CBD; поскольку ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Итак, по общим углам △ABK подобен △DBC, а △ABD подобен △KBC. Таким образом, AK/AB = CD/BD и CK/BC = DA/BD; эквивалентно, AK⋅BD = AB⋅CD и CK⋅BD = BC⋅DA. Сложив два равенства, мы получаем AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, а факторизация дает (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. Но AK+CK = AC, поэтому AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, QED ^[9]

Написанное доказательство справедливо только для простых вписанных четырехугольников. Если четырехугольник самопересекающийся, то K будет находиться вне отрезка AC. Но в данном случае AK−CK = ±AC, что дает ожидаемый результат.

Доказательство тригонометрическими тождествами.

Пусть вписанные углы, образуемые , и равны соответственно , и , а радиус круга равен , тогда имеем , , , , и , и исходное равенство, которое необходимо доказать, преобразуется в вид ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CD}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$ ${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$ ${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$ ${\displaystyle AD=2R\sin(180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma ))}$ ${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$

из которого множитель исчез, разделив на него обе части уравнения. ${\displaystyle 4R^{2}}$

Теперь, используя формулы суммы и , легко показать, что обе части приведенного выше уравнения равны ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$ ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{aligned}}}$

КЭД

Вот еще одно, возможно, более наглядное доказательство с использованием элементарной тригонометрии. Определим новый четырехугольник , вписанный в ту же окружность, где такие же, как в , и , лежащий на той же хорде , что и , определяется , . Тогда имеет те же длины ребер и, следовательно, те же вписанные углы, опирающиеся на соответствующие ребра, что и , только в другом порядке. То есть , и , соответственно, и . Также и имеют такую ​​же площадь. Затем, ${\displaystyle ABCD'}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |{\overline {AD'}}|=|{\overline {CD}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {CD'}}|=|{\overline {AD}}|}$ ${\displaystyle ABCD'}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle AB,BC}$ ${\displaystyle AD'}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle ABCD'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (ABCD)&={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma );\\\mathrm {Area} (ABCD')&={\frac {1}{2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180^{\circ }-\alpha -\gamma )+{\frac {1}{2}}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma )\\&={\frac {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma ).\end{aligned}}}$

КЭД

Доказательство обращением

Доказательство теоремы Птолемея методом обращения окружности.

Выберем вспомогательную окружность радиуса с центром D, относительно которой описанная окружность ABCD переворачивается в прямую (см. рисунок). Тогда Тогда и можно выразить как , и соответственно. Умножение каждого члена на и использование дает равенство Птолемея. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'.}$ ${\displaystyle A'B',B'C'}$ ${\displaystyle A'C'}$ ${\textstyle {\frac {AB\cdot DB'}{DA}}}$ ${\textstyle {\frac {BC\cdot DB'}{DC}}}$ ${\textstyle {\frac {AC\cdot DC'}{DA}}}$ ${\textstyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'}}}$ ${\textstyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$

КЭД

Обратите внимание, что если четырехугольник не является вписанным, то A', B' и C' образуют треугольник и, следовательно, A'B'+B'C' > A'C', что дает нам очень простое доказательство неравенства Птолемея, которое представлено ниже. .

Доказательство с использованием комплексных чисел

Вставьте ABCD, определив четыре отдельные точки . Определить перекрестное соотношение ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}}$ ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \zeta :={\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\in \mathbb {C} _{\neq 0}}$.

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|{\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|\zeta \right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&\geq \left|(\zeta +1)(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\right|\left|z_{B}-z_{D}\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда . Это доказывает неравенство Птолемея в целом, так как остается только показать, что лежат последовательно расположенные на окружности (возможно, бесконечного радиуса, т.е. на прямой) в том и только том случае, если . ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{>0}}$

Из полярной формы комплексного числа следует ${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arg(\zeta )&=\arg {\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{B}-z_{C}){\pmod {2\pi }}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]-\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\angle ABC-\angle CDA-\pi {\pmod {2\pi }}\\&=0\end{aligned}}}$

причем последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда ABCD является циклическим, поскольку четырехугольник является циклическим тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна . ${\displaystyle \pi }$

КЭД

Обратите внимание, что это доказательство эквивалентно выполнению, наблюдая, что цикличность ABCD, т. е. дополнительность и , эквивалентна условию ${\displaystyle \angle ABC}$ ${\displaystyle \angle CDA}$

${\displaystyle \arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}}$;

в частности, существует вращение, при котором это 0 (т.е. все три произведения являются положительными действительными числами), и согласно которому теорема Птолемея ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \arg }$

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

тогда непосредственно устанавливается из простого алгебраического тождества

${\displaystyle (z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D}).}$

Следствия

${\displaystyle |S_{1}|=\sin(\theta _{1})}$

Следствие 1: Теорема Пифагора

В случае круга единичного диаметра стороны любого вписанного четырехугольника ABCD численно равны синусам углов , на которые они опираются. Точно так же диагонали равны синусу суммы любой пары углов, на которые они опираются. Тогда мы можем записать теорему Птолемея в следующей тригонометрической форме: ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{4}}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

Применяя определенные условия к стягиваемым углам , можно вывести ряд важных следствий, используя вышеизложенное в качестве отправной точки. В дальнейшем важно иметь в виду, что сумма углов . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }}$

Следствие 1. Теорема Пифагора.

Пусть и . Тогда (поскольку противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными). Тогда: ^[10] ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$

Следствие 2. Закон косинусов.

Следствие 2: закон косинусов

Позволять . Прямоугольник из следствия 1 теперь представляет собой симметричную трапецию с равными диагоналями и парой равных сторон. Параллельные стороны различаются по длине на единицы, где: ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$ ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$

В этом случае будет проще вернуться к стандартной формулировке теоремы Птолемея:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}}$

Правило косинусов треугольника ABC.

Следствие 3. Сложный угол синус (+)

Позволять

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }.}$

Затем

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

Поэтому,

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$

Формула синуса составного угла (+). ^[11]

Следствие 4. Синус сложного угла (−)

Позволять . Затем . Следовательно, ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}}$

Формула синуса составного угла (-). ^[11]

Этот вывод соответствует Третьей теореме, записанной Коперником вслед за Птолемеем в «Альмагесте» . В частности, если заданы стороны пятиугольника (стягивающего 36° по окружности) и шестиугольника (стягивающего 30° по окружности), можно вычислить хорду, стягивающую 6°. Это был решающий шаг в древнем методе расчета таблиц аккордов. ^[12]

Следствие 5. Сложный угол косинус (+)

Это следствие является ядром Пятой теоремы, записанной Коперником вслед за Птолемеем в «Альмагесте».

Позволять . Затем . Следовательно ${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}}$

Формула косинуса составного угла (+)

Несмотря на недостаток ловкости наших современных тригонометрических обозначений, из приведенных выше следствий должно быть ясно, что в теореме Птолемея (или, проще говоря, Второй теореме) древний мир имел в своем распоряжении чрезвычайно гибкий и мощный тригонометрический инструмент, который позволял знатокам этих раз, чтобы составить точные таблицы аккордов (соответствующие таблицам синусов) и использовать их в своих попытках понять и нанести на карту космос, каким они его видели. Поскольку таблицы аккордов были составлены Гиппархом за три столетия до Птолемея, мы должны предположить, что он знал о «Второй теореме» и ее производных. Следуя по следам древних астрономов, история записывает звездный каталог Тимохариса Александрийского. Если, что кажется вероятным, составление таких каталогов требовало понимания «Второй теоремы», то истинные истоки последней впоследствии исчезают в тумане древности, но не может быть неразумным предполагать, что астрономы, архитекторы и инженеры-строители Древний Египет, возможно, имел некоторые знания об этом.

Неравенство Птолемея

Это не вписанный четырехугольник. Равенство здесь никогда не выполняется и неравномерно в направлении, указанном неравенством Птолемея.

Уравнение в теореме Птолемея никогда не верно для нециклических четырехугольников. Неравенство Птолемея является расширением этого факта и представляет собой более общую форму теоремы Птолемея. В нем говорится, что если задан четырехугольник ABCD , то

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный . Этот частный случай эквивалентен теореме Птолемея.

Сопутствующая теорема о соотношении диагоналей

Теорема Птолемея дает произведение диагоналей (вписанного четырехугольника), зная стороны, следующая теорема дает то же самое для отношения диагоналей. ^[13]

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}}$

Доказательство : Известно, что площадь треугольника, вписанного в круг диаметром, равна: ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}}$

Записав площадь четырехугольника как сумму двух треугольников, имеющих одну и ту же описанную окружность, мы получим два соотношения для каждого разложения.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}}$

Приравнивая, получаем заявленную формулу.

Следствие : Зная произведение и отношение диагоналей, мы выводим их непосредственные выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AC\cdot BD\cdot {\frac {AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}\\[8pt]BD^{2}&={\frac {AC\cdot BD}{\frac {AC}{BD}}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Теорема Кейси
• Греческая математика

Примечания

1. К. Птолемей, Альмагест , Книга 1, Глава 10.
2. Уилсон, Джим. «Теорема Птолемея». ссылка проверена 8 апреля 2009 г.
3. De Revolutionibus Orbium Coelestium: Страница 37. См. последние две строки этой страницы. Коперник называет теорему Птолемея «Теоремой второй».
4. Предложение 8 в книге XIII «Начал» Евклида с помощью подобных треугольников доказывает тот же результат: а именно, что длина a (сторона пятиугольника) делит длину b (соединяющую альтернативные вершины пятиугольника) в «среднем и крайнем отношении».
5. И аналогичным образом предложение 9 в книге XIII «Начал» Евклида с помощью подобных треугольников доказывает, что длина c (сторона десятиугольника) делит радиус в «среднем и крайнем соотношении».
6. Интересную статью о построении правильного пятиугольника и определении длины стороны можно найти по следующей ссылке [1]
7. De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: теорема Primum
8. В. Деррик, Дж. Херштейн (2012) Доказательство без слов: теорема Птолемея, The College Mathematics Journal, т.43, №5, стр.386
9. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 42, Математическая ассоциация Америки , с. 112, ISBN 9780883853481.
10. В De Revolutionibus Orbium Coelestium Коперник не ссылается на теорему Пифагора по имени, но использует термин «поризм» - слово, которое в этом конкретном контексте может показаться обозначающим наблюдение или очевидное следствие другой существующей теоремы. «Поризм» можно посмотреть на страницах 36 и 37 DROC (электронная копия Гарварда).
11. «Синус, косинус и теорема Птолемея».
12. Чтобы понять Третью теорему, сравните диаграмму Коперника, показанную на странице 39 гарвардской копии De Revolutionibus, с диаграммой для вывода греха (AB), найденной на приведенной выше веб-странице.
13. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА, 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 112–113. 

Рекомендации

• Коксетер, Х.С.М. и С.Л. Грейцер (1967) «Теорема Птолемея и ее расширения». §2.6 в книге «Возвращение к геометрии» , Математическая ассоциация Америки , стр. 42–43.
• Коперник (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium , английский перевод найден в книге « На плечах гигантов» (2002) под редакцией Стивена Хокинга , ISBN Penguin Books 0-14-101571-3 
• Амарасингхе, GWIS (2013) Краткое элементарное доказательство теоремы Птолемея, Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии (GJARCMG) 2 (1): 20–25 (pdf).

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Птолемея для циклического четырехугольника.
• MathPages – О теореме Птолемея
• Элерт, Гленн (1994). «Таблица аккордов Птолемея». Электронный мир .
• Теорема Птолемея о разрубании узла
• Доказательство сложного угла при разрезании узла
• Теорема Птолемея. Архивировано 24 июля 2011 г. в Wayback Machine на PlanetMath.
• Неравенство Птолемея в MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium в Гарварде.
• Глубокие тайны: Великая пирамида, золотое сечение и королевский локоть
• Теорема Птолемея Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Книга XIII «Начал» Евклида.