Таблица аккордов Птолемея

Тригонометрическая таблица II века нашей эры

Таблица аккордов , созданная греческим астрономом , геометром и географом Птолемеем в Египте во 2 веке нашей эры, представляет собой тригонометрическую таблицу в Книге I, главе 11 « Альмагеста » Птолемея , ^[1] трактата по математической астрономии . По сути, это эквивалентно таблице значений функции синуса . Это была самая ранняя тригонометрическая таблица, достаточно обширная для многих практических целей, в том числе для астрономии (более ранняя таблица хорд Гиппарха давала хорды только для дуг, кратных 7 ).+1/2° =π/24радианы ). ^[2] С 8-го и 9-го веков синус и другие тригонометрические функции использовались в исламской математике и астрономии, реформируя создание таблиц синуса. ^[3] Хорезми и Хабаш аль-Хасиб позже создали набор тригонометрических таблиц.

Функция аккорда и таблица

Пример: длина хорды, стягивающей a ( 109+1/2)° дуга составляет примерно 98.

Хорда окружности – это отрезок, концы которого лежат на окружности . Птолемей использовал круг, диаметр которого составляет 120 частей. Он составил таблицу длины хорды, конечные точки которой разделены дугой в n  градусов, для n в диапазоне от1/2до 180 с шагом 1/2. В современных обозначениях длина хорды, соответствующей дуге в θ  градусов, равна

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Поскольку θ изменяется от 0 до 180, хорда дуги θ ° изменяется от 0 до 120. Для крошечных дуг хорда относится к углу дуги в градусах так же, как π к 3, или, точнее, отношение можно определить как закрыть по желаниюπ/3 ≈ 1,047 197 55 , сделав θ достаточно малым. Таким образом, для дуги1/2° , длина хорды немного больше угла дуги в градусах. По мере увеличения дуги отношение хорды к дуге уменьшается. Когда дуга достигает 60° , длина хорды в точности равна количеству градусов в дуге, т.е. хорда 60° = 60. Для дуг более 60° хорда меньше дуги, пока дуга не станет равной 180°. ° достигается, когда хорда равна всего 120.

Дробные части длин хорд выражались шестидесятеричными (по основанию 60) цифрами. Например, если сообщается, что длина хорды, образованной дугой 112°, равна 99 29 5, она имеет длину

${\displaystyle 99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},}$

округлено до ближайшего 1/60 ². ^[1]

После столбцов дуги и хорды третий столбец помечен как «шестидесятые». Для дуги  θ ° запись в графе «шестидесятые» равна

${\displaystyle {\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.}$

Это среднее количество шестидесятых единицы, которое необходимо прибавлять к хорде ( θ °) каждый раз, когда угол увеличивается на одну угловую минуту, между записью для  θ ° и записью для ( θ  + 1/2)°. Таким образом, он используется для линейной интерполяции . Гловацкий и Гетче показали, что Птолемей должен был вычислить аккорды с точностью до пяти шестидесятеричных знаков, чтобы достичь степени точности, обнаруженной в «шестидесятом» столбце. ^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}}$

Как Птолемей вычислял аккорды

В главе 10 первой книги «Альмагеста » представлены геометрические теоремы, используемые для вычисления аккордов. Птолемей использовал геометрические рассуждения, основанные на предложении 10 книги XIII « Начал » Евклида , чтобы найти хорды 72 ° и 36 °. Это предложение гласит, что если в круг вписан равносторонний пятиугольник , то площадь квадрата на стороне пятиугольника равна сумме площадей квадратов на сторонах шестиугольника и десятиугольника , вписанных в тот же круг.

Он использовал теорему Птолемея о четырехугольниках, вписанных в окружность, для вывода формул хорды полудуги, хорды суммы двух дуг и хорды разности двух дуг. Теорема утверждает, что для четырехугольника , вписанного в окружность , произведение длин диагоналей равно сумме произведений двух пар длин противоположных сторон. Вывод тригонометрических тождеств основан на вписанном четырехугольнике , одна сторона которого представляет собой диаметр круга.

Чтобы найти хорды дуг 1° и1/2° он использовал приближения, основанные на неравенстве Аристарха . Неравенство гласит, что для дуг α и β , если 0 <  β  <  α  < 90°, то

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

Птолемей показал, что для дуг 1° и1/2° аппроксимации правильно дают первые два шестидесятеричных знака после целой части.

Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы

Длины дуг окружности в градусах и целые части длин хорд выражались в десятичной системе счисления , в которой использовалась 21 буква греческого алфавита со значениями, приведенными в следующей таблице, и символ: ∠′ ", это означает1/2и выпуклый кружок «○», заполняющий пустое пространство (фактически обозначающий ноль). Три буквы, помеченные в таблице ниже как «архаичные», не использовались в греческом языке в течение нескольких столетий до того, как был написан « Альмагест» , но все еще использовались в качестве цифр и музыкальных нот .

${\displaystyle {\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}}$

Так, например, дуга 143+1/2° выражается как ρμγ ∠′. (Поскольку таблица достигает только 180°, греческие цифры для 200 и выше не используются.)

Дробные части длин хорд требовали большой точности и были приведены в двух столбцах таблицы: В первом столбце указано целое число, кратное1/60, в диапазоне 0–59, второе целое число, кратное1/60 ² "=" 1/3600, также в диапазоне 0–59.

Так, в издании Хейберга «Альмагеста» с таблицей аккордов на стр. 48–63 начало таблицы, соответствующее дугам из1/2° до 7+1/2°, выглядит так:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

Далее в таблице можно увидеть десятичные числа, выражающие целые части дуги и длину хорды. Таким образом, дуга 85° записывается как πε ( π для 80 и ε для 5) и не разбивается на 60 + 25. Соответствующая длина хорды равна 81 плюс дробная часть. Целая часть начинается с πα , также не разбитая на 60 + 21. А вот дробная часть,4/60 + 15/60 ², записывается как δ , вместо 4, в1/60столбец, за которым следует ιε для 15, в1/60 ²столбец.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

В таблице по 45 строк на каждой из восьми страниц, всего 360 строк.

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Эксекант
• Fundamentum Astronomiae — книга, излагающая алгоритм точного вычисления синусов, опубликованная в конце 1500-х годов.
• Греческая математика
• Таблица синусов Мадхавы
• Птолемей
• Гамма аккордов
• Версина

Рекомендации

1. Toomer, GJ (1998), Альмагест Птолемея , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6
2. Терстон, стр. 235–236.
3. Берггрен, JL (2016). Эпизоды математики средневекового ислама. дои : 10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.
4. Эрнст Гловацкий и Гельмут Гетче, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplanen neuberechnet. , Мюнхен, 1976.

• Аабо, Асгер (1997), Эпизоды из ранней истории математики , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-613-0
• Кладжетт, Маршалл (2002), Греческая наука в древности , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-8369-2150-2
• Нойгебауэр, Отто (1975), История древней математической астрономии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
• Олаф Педерсен (1974) Обзор Альмагеста , ISBN издательства Университета Оденсе 87-7492-087-1 
• Терстон, Хью (1996), Ранняя астрономия , Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

Внешние ссылки

• Дж. Л. Хейберг Альмагест, Таблица аккордов на страницах 48–63.
• Таблица аккордов Гленна Элерта Птолемея: тригонометрия во втором веке
• Альмагесте на греческом и французском языках, в интернет-архиве.