CAT(k) пространство

Тип метрического пространства в математике

В математике пространство , где — действительное число, является особым типом метрического пространства . Интуитивно, треугольники в пространстве (с ) «стройнее», чем соответствующие «модельные треугольники» в стандартном пространстве постоянной кривизны . В пространстве кривизна ограничена сверху . Известным особым случаем является ; полные пространства известны как « пространства Адамара » в честь французского математика Жака Адамара . ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k<0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

Первоначально Александров называл эти пространства « доменами». Термин был придуман Михаилом Громовым в 1987 году и является аббревиатурой от Эли Картана , Александра Даниловича Александрова и Виктора Андреевича Топоногова (хотя Топоногов никогда не исследовал кривизну, ограниченную сверху, в своих публикациях). ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

Определения

Моделируйте треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (в середине) и нулевой (внизу) кривизны.

Для действительного числа пусть обозначает единственную полную односвязную поверхность (действительное двумерное риманово многообразие ) с постоянной кривизной . Обозначим через диаметр , который равен , если и равен , если . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ ${\displaystyle k>0}$

Пусть будет геодезическим метрическим пространством , т.е. метрическим пространством, в котором каждые две точки могут быть соединены геодезическим отрезком, параметризованной длиной дуги непрерывной кривой , длина которой ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$

точно . Пусть будет треугольником в с геодезическими отрезками в качестве сторон. говорят, что удовлетворяет неравенству , если в модельном пространстве существует треугольник сравнения со сторонами той же длины, что и стороны , такой, что расстояния между точками на меньше или равны расстояниям между соответствующими точками на . ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta '}$

Говорят, что геодезическое метрическое пространство является пространством , если каждый геодезический треугольник в с периметром меньше , удовлетворяет неравенству. Говорят, что (не обязательно геодезическое) метрическое пространство является пространством с кривизной , если каждая точка имеет геодезически выпуклую окрестность . Можно сказать, что пространство с кривизной имеет неположительную кривизну . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2D_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle (X,\,d)}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle \leq 0}$

Примеры

• Любое пространство также является пространством для всех . Фактически, верно и обратное: если является пространством для всех , то оно является пространством. ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$ ${\displaystyle \ell >k}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$ ${\displaystyle \ell >k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$
• -мерное евклидово пространство с его обычной метрикой является пространством. В более общем смысле, любое вещественное пространство внутреннего произведения (не обязательно полное) является пространством; наоборот , если вещественное нормированное векторное пространство является пространством для некоторого вещественного , то оно является вещественным пространством внутреннего произведения. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$
• -мерное гиперболическое пространство с его обычной метрикой является пространством, а значит, также является пространством. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$
• Единичная сфера размерности - это пространство. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$
• В более общем смысле стандартное пространство — это пространство. Так, например, независимо от размерности сфера радиуса (и постоянной кривизны ) — это пространство. Обратите внимание, что диаметр сферы (измеренный на поверхности сферы) не равен (измеренный путем прохождения через центр сферы). ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \pi r}$ ${\displaystyle 2r}$
• Проколотая плоскость не является пространством, поскольку она не является геодезически выпуклой (например, точки и не могут быть соединены геодезической с длиной дуги 2), но каждая точка имеет геодезически выпуклую окрестность, поэтому является пространством кривизны . ${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\backslash \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \leq 0}$
• Замкнутое подпространство , заданное , снабженное индуцированной метрикой длины, не является пространством ни для какого . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ and }}z>0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$
• Любое произведение пространств равно . (Это не относится к отрицательным аргументам.) ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

Пространства Адамара

Как частный случай, полное CAT(0) пространство также известно как пространство Адамара ; это по аналогии с ситуацией для многообразий Адамара . Пространство Адамара стягиваемо (имеет гомотопический тип одной точки), и между любыми двумя точками пространства Адамара существует единственный геодезический отрезок, соединяющий их (на самом деле, оба свойства также справедливы для общих, возможно, неполных, CAT(0) пространств). Самое главное, что функции расстояния в пространствах Адамара являются выпуклыми : если две геодезические в X определены на одном и том же интервале времени I , то функция, заданная выражением ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

является выпуклым по t .

Свойства CAT(к) пробелы

Пусть будет пространством. Тогда выполняются следующие свойства: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

• Для любых двух точек (при условии ) существует единственный геодезический отрезок, который соединяется с ; более того, этот отрезок непрерывно изменяется как функция своих конечных точек. ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d(x,y)<D_{k}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Каждая локальная геодезическая с длиной не более является геодезической. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}}$
• Шары радиусом меньше ( геодезически ) выпуклые. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}/2}$
• Шары радиусом меньше являются стягиваемыми. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}}$
• Приближенные середины близки к серединам в следующем смысле: для каждого и каждого существует такое , что, если — середина геодезического отрезка от до с и тогда . ${\displaystyle \lambda <D_{k}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda ,\epsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda }$ $${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$ ${\displaystyle d(m,m')<\epsilon }$
• Из этих свойств следует, что для универсального покрытия каждого пространства является стягиваемым; в частности, высшие гомотопические группы такого пространства тривиальны . Как показывает пример -сферы , в общем случае нет никакой надежды на то, что пространство будет стягиваемым, если . ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k>0}$

Поверхности неположительной кривизны

В области, где кривизна поверхности удовлетворяет условию K ≤ 0 , геодезические треугольники удовлетворяют неравенствам CAT(0) геометрии сравнения , изученным Картаном , Александровым и Топоноговым , и рассмотренным позднее с другой точки зрения Брюа и Титсом . Благодаря видению Громова , эта характеристика неположительной кривизны в терминах базового метрического пространства оказала глубокое влияние на современную геометрию и, в частности, на геометрическую теорию групп . Многие результаты, известные для гладких поверхностей и их геодезических, такие как метод Биркгофа построения геодезических с помощью его процесса укорачивания кривых или теорема Ван Мангольдта и Адамара о том, что односвязная поверхность неположительной кривизны гомеоморфна плоскости, в равной степени справедливы и в этой более общей ситуации.

Неравенство сравнения Александрова

Медиана в треугольнике сравнения всегда длиннее фактической медианы .

Простейшая форма неравенства сравнения, впервые доказанная для поверхностей Александровым около 1940 года, гласит, что

Расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противолежащей стороны всегда меньше соответствующего расстояния в треугольнике сравнения на плоскости с теми же длинами сторон.

Неравенство следует из того факта, что если c ( t ) описывает геодезическую, параметризованную длиной дуги, а a — неподвижная точка, то

f ( t ) = d ( a , c ( t )) ² − t ²

является выпуклой функцией , т.е.

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

Взяв геодезические полярные координаты с началом в точке a так, что ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , выпуклость эквивалентна

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

Переходя к нормальным координатам u , v в точке c ( t ) , это неравенство принимает вид

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

где ( u , v ) соответствует единичному вектору ċ ( t ) . Это следует из неравенства H _r ≥ H , являющегося следствием неотрицательности производной вронскиана H и r из теории Штурма –Лиувилля . ^[1]

Смотрите также

• Теорема Картана–Адамара

Ссылки

1. Бергер 2004; Йост, Юрген (1997), Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты , Лекции по математике, ETH Zurich, Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-5736-9

• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. "Геометрия Александрова, Глава 7" (PDF) . Получено 2011-04-07 .
• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. «Приглашение в геометрию Александрова: пространства CAT[0]». arXiv : 1701.03483 [math.DG].
• Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. С. viii+112. ISBN 3-7643-5242-6. МР  1377265.
• Бергер, Марсель (2004). Панорамный вид римановой геометрии . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65317-2.
• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. стр. XXII+643. ISBN 3-540-64324-9. МР  1744486.
• Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». Очерки теории групп . Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8. New York: Springer. С. 75–263. MR  0919829.
• Хиндави, Мохамад А. (2005). Асимптотические инварианты многообразий Адамара (PDF) . Университет Пенсильвании: докторская диссертация.