Площадь поверхности

Мера двумерной поверхности

Сфера радиуса r имеет площадь поверхности 4 πr ² .

Площадь поверхности (символ A ) твердого тела является мерой общей площади , которую занимает поверхность объекта. ^[1] Математическое определение площади поверхности при наличии криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т. е. объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых площадь поверхности является суммой площадей его граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , назначается площадь поверхности с использованием их представления в виде параметрических поверхностей . Это определение площади поверхности основано на методах исчисления бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .

Общее определение площади поверхности было предложено Анри Лебегом и Германом Минковским на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , которая изучает различные понятия площади поверхности для нерегулярных объектов любого размера. Важным примером является содержание Минковского поверхности.

Определение

Хотя площади многих простых поверхностей известны с древности, строгое математическое определение площади требует большой осторожности. Это должно обеспечить функцию

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

которая присваивает положительное действительное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему нескольким естественным требованиям. Наиболее фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого равна сумме площадей частей . Более строго, если поверхность S является объединением конечного числа частей S ₁ , …, S _r , которые не перекрываются, за исключением своих границ, то

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

Площади поверхности плоских многоугольных фигур должны соответствовать их геометрически определенной площади . Поскольку площадь поверхности является геометрическим понятием, площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми, и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности для широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в параметрической форме

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

с непрерывно дифференцируемой функцией Площадь отдельного куска определяется по формуле ${\displaystyle {\vec {r}}.}$

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

Таким образом, площадь S _D получается путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости uv . Площадь всей поверхности затем получается путем сложения площадей частей, используя аддитивность площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для различных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графиков z = f ( x , y ) и поверхностей вращения . ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$

Фонарь Шварца с осевыми срезами и радиальными вершинами. Предел площади при и стремлении к бесконечности не сходится. В частности, он не сходится к площади цилиндра. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Одной из тонкостей площади поверхности, по сравнению с длиной дуги кривых, является то, что площадь поверхности не может быть определена просто как предел площадей многогранных форм, аппроксимирующих данную гладкую поверхность. Герман Шварц продемонстрировал , что уже для цилиндра различные выборы аппроксимирующих плоских поверхностей могут приводить к различным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца . ^{[2] [3]}

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковским . В то время как для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень нерегулярна или шероховата, то ей вообще может быть невозможно присвоить площадь. Типичным примером является поверхность с шипами, распределенными по всей поверхности плотным образом. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталов . Расширения понятия площади, которые частично выполняют свою функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей, изучаются в геометрической теории меры . Конкретным примером такого расширения является содержание Минковского поверхности.

Общие формулы

Отношение площадей поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиусом r и высотой h .

Приведенные ниже формулы можно использовать для того, чтобы показать, что площадь поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находятся в соотношении 2 : 3 , как следует.

Пусть радиус равен r , а высота равна h ( для сферы она равна 2r ) .

$${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}$$

Открытие этого соотношения приписывается Архимеду . ^[4]

В химии

Площадь поверхности частиц разного размера.

Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции . Например, железо в виде тонкого порошка будет гореть , ^[5] тогда как в виде твердых блоков оно достаточно стабильно для использования в структурах. Для различных применений может быть желательна минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии

Внутренняя мембрана митохондрии имеет большую площадь поверхности из-за складок, что обеспечивает более высокую скорость клеточного дыхания (электронная микрофотография ). ^[6]

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, таким как регуляция температуры тела и пищеварение . ^[7] Животные используют свои зубы для измельчения пищи на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для пищеварения. ^[8] Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивая площадь, доступную для всасывания. ^{[9] У} слонов большие уши , что позволяет им регулировать собственную температуру тела. ^[10] В других случаях животным необходимо минимизировать площадь поверхности; ^[11] например, люди складывают руки на груди, когда им холодно, чтобы минимизировать потерю тепла.

Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки накладывает верхние ограничения на размер, так как объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальное пространство или в другие клетки. ^[12] Действительно, представляя клетку как идеализированную сферу радиусом r , объем и площадь поверхности составляют, соответственно, V = (4/3) πr ³ и SA = 4 πr ² . Результирующее отношение площади поверхности к объему, следовательно, составляет 3/ r . Таким образом, если клетка имеет радиус 1 мкм, отношение SA:V равно 3; тогда как если радиус клетки вместо этого составляет 10 мкм, то отношение SA:V становится равным 0,3. При радиусе клетки 100 отношение SA:V равно 0,03. Таким образом, площадь поверхности круто падает с увеличением объема.

Смотрите также

• Длина периметра
• Проектируемая площадь
• Теория БЭТ , метод измерения удельной площади поверхности материалов
• Сферическая область
• Поверхностный интеграл

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Площадь поверхности». MathWorld .
2. "Парадокс Шварца" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 года . Получено 21 марта 2017 года .
3. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 . Получено 24 июля 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
4. Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники». Институт математических наук Куранта. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Получено 2 января 2007 года .
5. Наср, Сомайе; Плакнетт, Кевин П. (20 февраля 2014 г.). «Кинетика восстановления железной руды метаном для химического петлевого сжигания». Энергия и топливо . 28 (2): 1387–1395. doi :10.1021/ef402142q. ISSN  0887-0624.
6. Помар, Патрик; Вайе, Жак; Кулари, Бенедикт; Шеффер, Жак; Субанье, Винсент; Мюллер, Дэвид М.; Брет, Даниэль; ди Раго, Жан-Поль; Велюр, Жан (1 февраля 2002 г.). «АТФ-синтаза участвует в формировании морфологии митохондриальных крист». Журнал ЭМБО . 21 (3): 221–230. дои : 10.1093/emboj/21.3.221. ПМЦ 125827 . ПМИД  11823415. 
7. Нарасимхан, Арунн (1 июля 2008 г.). «Почему у слонов большие уши?». Resonance . 13 (7): 638–647. doi :10.1007/s12045-008-0070-5. ISSN  0973-712X.
8. Фехер, Джозеф (2012), «Рот и пищевод», Количественная физиология человека , Elsevier, стр. 689–700, doi :10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3, ISBN 978-0-12-382163-8, получено 30 марта 2024 г.
9. "Microvillus | Описание, анатомия и функции | Britannica". www.britannica.com . Получено 30 марта 2024 г. .
10. Райт, ПГ (1984). «Почему слоны хлопают ушами?». African Zoology . 19 (4): 266–269. ISSN  2224-073X.
11. Стокс, Джоди М.; Тейлор, Найджел А.С.; Типтон, Майкл Дж.; Гринлиф, Джон Э. (1 мая 2004 г.). «Физиологические реакции человека на воздействие холода». Авиация, космос и экологическая медицина . 75 (5): 444–457. PMID  15152898.
12. Дивер, Джеймс Р. (1 ноября 1978 г.). «Моделирование пределов размера клетки». The American Biology Teacher . 40 (8): 502–504. doi :10.2307/4446369. ISSN  0002-7685. JSTOR  4446369.

• Ю.Д. Бураго; В.А. Залгаллер; Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], «Площадь», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Внешние ссылки

• Видеоролик о площади поверхности в Thinkwell