Поверхность Хирцебруха

Линейчатая поверхность над проективной прямой

В математике поверхность Хирцебруха — линейчатая поверхность над проективной прямой . Их изучал Фридрих Хирцебрух  (1951).

Определение

Поверхность Хирцебруха — это -расслоение ( проективное расслоение ) над проективной прямой , ассоциированное с пучком Обозначение здесь означает: является n -й тензорной степенью пучка скручивания Серра , обратимого пучка или линейного расслоения с ассоциированным дивизором Картье в одной точке. Поверхность изоморфна ; и изоморфна проективной плоскости, раздутой в точке, поэтому она не минимальна. ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Коэффициент ЖКТ

Один из методов построения поверхности Хирцебруха заключается в использовании фактора GIT ^{[1] : 21} , где действие задается как Это действие можно интерпретировать как действие на первые два фактора происходит из действия на , определяющего , а второе действие является комбинацией построения прямой суммы линейных расслоений на и их проективизации. Для прямой суммы это может быть задано многообразием факторов ^{[1] : 24} , где действие задается как Тогда проективизация задается другим -действием ^{[1] : 22,} отправляющим класс эквивалентности в Объединение этих двух действий дает исходный фактор наверху. $${\displaystyle \Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle (\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle \lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle \mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]}$$

Карты перехода

Один из способов построения этого -расслоения - использование функций перехода. Поскольку аффинные векторные расслоения обязательно тривиальны, над картами , определенными с помощью , существует локальная модель расслоения Тогда, отображения перехода, индуцированные из отображений перехода , дают отображение , отправляющее , где - аффинная координатная функция на . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U_{0},U_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ $${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}}$$ $${\displaystyle (X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Характеристики

Проективные расслоения ранга 2 над P1

Обратите внимание, что по теореме Гротендика для любого векторного расслоения ранга 2 на существуют числа такие, что Поскольку взятие проективного расслоения инвариантно относительно тензорного умножения на линейное расслоение, ^[3] линейчатая поверхность, связанная с , является поверхностью Хирцебруха, поскольку это расслоение можно тензорно умножить на . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).}$$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$ ${\displaystyle \Sigma _{b-a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-a)}$

Изоморфизмы поверхностей Хирцебруха

В частности, приведенное выше наблюдение дает изоморфизм между и поскольку существует изоморфизм векторных расслоений ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{-n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}}$$

Анализ ассоциированной симметричной алгебры

Напомним, что проективные расслоения могут быть построены с помощью Relative Proj , который формируется из градуированного пучка алгебр Первые несколько симметричных модулей являются специальными, поскольку существует нетривиальный антисимметричный -модуль . Эти пучки суммированы в таблице Для симметричных пучков они задаются как $${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i>2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}}$$

Теория пересечений

Поверхности Хирцебруха для n > 0 имеют специальную рациональную кривую C на них: Поверхность является проективным расслоением , а кривая C является нулевым сечением . Эта кривая имеет индекс самопересечения − n , и является единственной неприводимой кривой с отрицательным индексом самопересечения. Единственными неприводимыми кривыми с нулевым индексом самопересечения являются слои поверхности Хирцебруха (рассматриваемой как расслоение волокон над ). Группа Пикара порождается кривой C и одним из слоев, и эти генераторы имеют матрицу пересечения , поэтому билинейная форма является двумерной унимодулярной и является четной или нечетной в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Поверхность Хирцебруха Σ _n ( n > 1 ), раздутая в точке на специальной кривой C , изоморфна Σ _{n +1 ,} раздутой в точке не на специальной кривой. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},}$$

Торическое разнообразие

Поверхность Хирцебруха может быть задана действием комплексного тора , причем одно действует на основание с двумя фиксированными точками оси, а другое действует на волокна векторного расслоения , в частности на первую компоненту линейного расслоения, и, следовательно, на проективное расслоение. Это создает открытую орбиту T , создавая торическое многообразие . Его связанный веер разбивает стандартную решетку на четыре конуса (каждый соответствует координатной карте), разделенных лучами вдоль четырех векторов: ^[4] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (1,0),(0,1),(0,-1),(-1,n).}$

Вся вышеизложенная теория обобщается на произвольные торические многообразия, включая построение многообразия как частного и с помощью координатных карт, а также явную теорию пересечений.

Любая гладкая торическая поверхность, за исключением , может быть построена путем многократного раздутия поверхности Хирцебруха в T -неподвижных точках. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Смотрите также

• Проективный пучок

Ссылки

1. Манетти, Марко (2005-07-14). "Лекции о деформациях комплексных многообразий". arXiv : math/0507286 .
2. Гатманн, Андреас. «Алгебраическая геометрия» (PDF) . Fachbereich Mathematik - ТУ Кайзерслаутерна .
3. "Раздел 27.20 (02NB): Скручивание обратимыми пучками и относительная Proj — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 23.05.2020 .
4. Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон Б.; Шенк, Генри К. (2011). Торические многообразия . Аспирантура по математике. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр. 112. ISBN 978-0-8218-4819-7.
5. Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон Б.; Шенк, Генри К. (2011). Торические многообразия . Аспирантура по математике. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр. 496. ISBN 978-0-8218-4819-7.

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, МР 1406314
• Хирцебрух, Фридрих (1951), «Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten», Mathematische Annalen , 124 : 77–86, doi : 10.1007/BF01343552, hdl : 21.11116/0000-0004-3A56-B , ISSN  0025-5831, MR  0045384, S2CID  122844063

Внешние ссылки

• Атлас Манифолда
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952