Теорема Биркгофа–Гротендика

Классифицирует голоморфные векторные расслоения над комплексной проективной прямой

В математике теорема Биркгофа –Гротендика классифицирует голоморфные векторные расслоения над комплексной проективной прямой . В частности, каждое голоморфное векторное расслоение над является прямой суммой голоморфных линейных расслоений . Теорема была доказана Александром Гротендиком  (1957, теорема 2.1), ^[1] и более или менее эквивалентна факторизации Биркгофа, введенной Джорджем Дэвидом Биркгофом  (1909). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

Заявление

Точнее, формулировка теоремы выглядит следующим образом.

Каждое голоморфное векторное расслоение на голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

Обозначение подразумевает, что каждое слагаемое является твистом Серра некоторое количество раз тривиального расслоения . Представление уникально с точностью до перестановки множителей.

Обобщение

Тот же результат справедлив в алгебраической геометрии для алгебраического векторного расслоения над для любого поля . ^[3] Он также справедлив для с одной или двумя точками орбифолда и для цепочек проективных прямых, встречающихся вдоль узлов. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Приложения

Одно из применений этой теоремы заключается в том, что она дает классификацию всех когерентных пучков на . У нас есть два случая: векторные расслоения и когерентные пучки, поддерживаемые вдоль подмногообразия, так что где n — степень жирной точки в . Поскольку единственными подмногообразиями являются точки, у нас есть полная классификация когерентных пучков. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {CP} ^{1}}$

Смотрите также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• последовательность Эйлера
• Принцип разделения
• К-теория
• Прыжковая линия

Ссылки

1. Гротендик, Александр (1957). «Классификация голоморфных волокон в сфере Римана». Американский журнал математики . 79 (1): 121–138. дои : 10.2307/2372388. JSTOR  2372388. S2CID  120532002.
2. Биркгоф, Джордж Дэвид (1909). «Особые точки обыкновенных линейных дифференциальных уравнений». Труды Американского математического общества . 10 (4): 436–470. doi : 10.2307/1988594 . ISSN  0002-9947. JFM  40.0352.02. JSTOR  1988594.
3. Хазевинкель, Михиль ; Мартин, Клайд Ф. (1982). «Короткое элементарное доказательство теоремы Гротендика об алгебраических векторных расслоениях над проективной прямой». Журнал чистой и прикладной алгебры . 25 (2): 207–211. doi : 10.1016/0022-4049(82)90037-8 .
4. Мартенс, Йохан; Таддеус, Михаэль (2016). «Вариации на тему Гротендика». Compositio Mathematica . 152 : 62–98. arXiv : 1210.8161 . Bibcode : 2012arXiv1210.8161M. doi : 10.1112/S0010437X15007484. S2CID  119716554.

Дальнейшее чтение

• Оконек, Кристиан; Шнайдер, Михаэль; Шпиндлер, Хайнц (1980). Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах . Современная классика Биркхойзера. Биркхойзер Базель. doi :10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8.
• Саламон, С.М.; Берстолл, FE (1987). «Турниры, флаги и гармонические карты». Математические Аннален . 277 (2): 249–266. дои : 10.1007/BF01457363. S2CID  120270501.

Внешние ссылки

• Роман Безрукавников. 18.725 Алгебраическая геометрия (LEC # 24 Биркгоф–Гротендик, Риман–Рох, двойственность Серра) Осень 2015 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .