Полиалмаз

Polyform, базовая форма которого представляет собой равносторонний треугольник.

Полиамид (также полиамонд или просто алмаз , а иногда и треугольное полимино ^[1] ) — полиформа , базовая форма которой — равносторонний треугольник . Слово « полиалмаз» является обратным образованием от слова « ромб» , потому что это слово часто используется для описания формы пары равносторонних треугольников, расположенных основанием к основанию, а начальное «ди-» выглядит как греческий префикс , означающий «два-» ( хотя на самом деле слово «алмаз» происходит от греческого ἀδάμας – также основы слова «адамант»). Название было предложено писателем-любителем математики Томасом Х. О'Бейрном в журнале New Scientist 1961, номер 1, страница 164.

Подсчет

Основной комбинаторный вопрос : сколько существует различных полиалмазов с заданным числом ячеек? Как и полимино , полиалмазы могут быть как свободными, так и односторонними. Свободные полиалмазы инвариантны при отражении, а также при перемещении и вращении. Односторонние полиалмазы различают отражения.

Число свободных n -алмазов для n = 1, 2, 3,... равно:

1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, ... (последовательность A000577 в OEIS ).

Количество свободных полиалмазов с дырками дано OEIS : A070764 ; количество свободных полиалмазов без дырок дано OEIS : A070765 ; количество фиксированных полиалмазов определяется OEIS : A001420 ; количество односторонних полиалмазов определяется OEIS : A006534 .

Некоторые авторы также называют бриллиант ( ромб с углом 60°) калиссоном в честь французской конфеты аналогичной формы. ^{[2] [3]}

Симметрии

Возможными симметриями являются зеркальная симметрия, 2-, 3- и 6-кратная вращательная симметрия, каждая из которых сочетается с зеркальной симметрией.

Для 2-кратной вращательной симметрии с зеркальной симметрией и без нее требуется как минимум 2 и 4 треугольника соответственно. Шестикратная вращательная симметрия с зеркальной симметрией и без нее требует как минимум 6 и 18 треугольников соответственно. Асимметрия требует минимум 5 треугольников. Трехкратная вращательная симметрия без зеркальной симметрии требует как минимум 7 треугольников.

В случае только зеркальной симметрии можно выделить ось симметрии, совмещенную с сеткой или повернутую на 30 ° (требуется не менее 4 и 3 треугольников соответственно); то же самое для 3-кратной вращательной симметрии в сочетании с зеркальной симметрией (требуется не менее 18 и 1 треугольника соответственно).

Обобщения

Подобно полимино , но в отличие от полигексов , полиалмазы имеют трехмерные аналоги , образованные путем агрегирования тетраэдров . Однако политетраэдры не замостили 3-пространство так, как полиалмазы могут замостить 2-пространство.

Мозаика

Каждый многогранник порядка 8 или меньше закрывает плоскость, за исключением V-гептиамда. ^[4]

Соответствие с многогексами

Пентиамонд с наложенным соответствующим пентагексом.

Каждый полиалмаз соответствует полигексу , как показано справа. И наоборот, каждый многоугольник также является многоугольником, поскольку каждая шестиугольная ячейка многоугольника представляет собой объединение шести соседних равносторонних треугольников. Ни одна из корреспонденций не является однозначной.

В популярной культуре

Набор из 22 полиромбов, от порядка 1 до порядка 6, представляет собой форму игровых фигур в настольной игре Blokus Trigon , где игроки пытаются выложить плоскость как можно большим количеством полиромбов в соответствии с правилами игры.

Смотрите также

• Треугольная плитка
• Ромбическая плитка
• Сфинкс плитка

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полиаммонд». Математический мир .
• Полиалмазы на Poly Pages. Полиалмазные мозаики.
• VERHEXT — игра-головоломка 1960-х годов от Хайнца Хабера, основанная на шестигранниках (архивировано 3 марта 2016 г., в Wayback Machine ) .

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (9 июля 2021 г.). «А000577». ОЭИС . Фонд OEIS Inc. Проверено 9 июля 2021 г. треугольные полимино (или треугольные полиформы, или полиромбы)
2. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (31 декабря 2015 г.). Математическая космическая одиссея: твердая геометрия в 21 веке. ISBN 9781614442165.
3. Дэвид, Гай; Томей, Карлос (1989). «Проблема Калиссонов». Американский математический ежемесячник . 96 (5): 429–431. дои : 10.1080/00029890.1989.11972212. JSTOR  2325150.
4. «Все полиалмазы восьмого порядка или меньше, за исключением одного из гептиамдов, будут мозаикой плоскости. Исключением является V-образный гептиамонд. Гарднер (6-я книга, стр.248) поставил задачу идентификации этого гептиамда и воспроизвел доказательство невозможности Грегори. Однако в сочетании с другими гептиамондами или другими полиалмазами можно получить замощения с использованием этого V-образного гептиамда».