Мономиальный базис

Базис многочленов, состоящий из одночленов

В математике мономиальный базис кольца многочленов — это его базис (как векторное пространство или свободный модуль над полем или кольцом коэффициентов ), состоящий из всех мономов . Мономы образуют базис, поскольку каждый многочлен может быть однозначно записан в виде конечной линейной комбинации мономов (это является непосредственным следствием определения многочлена).

Один неопределенный

Кольцо полиномов K [ x ] одномерных полиномов над полем K является векторным пространством K , имеющим (бесконечный) базис. В более общем случае, если K является кольцом , то K [ x ] является свободным модулем , имеющим тот же базис. $${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$$

Многочлены степени не выше d образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), имеющее в качестве базиса. $${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}}$$

Канонической формой многочлена является его выражение на этой основе: или, используя более короткую сигма-запись : $${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},}$$ $${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.}$$

Мономиальный базис естественным образом полностью упорядочен , либо по возрастанию степеней , либо по убыванию степеней. $${\displaystyle 1<x<x^{2}<\cdots ,}$$ $${\displaystyle 1>x>x^{2}>\cdots .}$$

Несколько неопределенных

В случае нескольких неизвестных одночлен — это произведение , где — неотрицательные целые числа . Поскольку показатель степени равен нулю, это означает, что соответствующая неопределенность не встречается в одночлене; в частности, — одночлен. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ $${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},}$$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{0}=1,}$ ${\displaystyle 1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}}$

Подобно случаю одномерных многочленов, многочлены в образуют векторное пространство (если коэффициенты принадлежат полю) или свободный модуль (если коэффициенты принадлежат кольцу), имеющий в качестве базиса множество всех одночленов, называемое мономиальным базисом . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Однородные многочлены степени образуют подпространство , базисом которого являются одночлены степени . Размерность этого подпространства — это число одночленов степени , которое равно , где — биномиальный коэффициент . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=d_{1}+\cdots +d_{n}}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},}$$ ${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$

Многочлены степени не выше образуют также подпространство, базисом которого являются одночлены степени не выше. Количество этих одночленов есть размерность этого подпространства, равная ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle {\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.}$$

В отличие от одномерного случая, в многомерном случае нет естественного общего порядка мономиального базиса. Для задач, требующих выбора общего порядка, таких как вычисления базиса Грёбнера , обычно выбирают допустимый мономиальный порядок – то есть общий порядок на множестве мономов, такой что и для каждого монома $${\displaystyle m<n\iff mq<nq}$$ $${\displaystyle 1\leq m}$$ ${\displaystyle m,n,q.}$

Смотрите также

• Метод Хорнера
• Полиномиальная последовательность
• Полином Ньютона
• полином Лагранжа
• полином Лежандра
• форма Бернштейна
• Чебышевская форма