ПОВМ

Обобщенное измерение в квантовой механике

В функциональном анализе и квантовой информатике положительная операторнозначная мера ( POVM ) — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM представляют собой обобщение проекционнозначных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе.

POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[1] Они широко используются в области квантовой информации .

Определение

Обозначим через гильбертово пространство и измеримое пространство с борелевской σ-алгеброй на . POVM — это определенная функция , значения которой являются положительными ограниченными самосопряженными операторами , такими что для каждого и ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

является неотрицательной счетно-аддитивной мерой на σ-алгебре и является тождественным оператором . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

В простейшем случае POVM представляет собой набор положительных полуопределенных эрмитовых матриц в конечномерном гильбертовом пространстве, сумма которых равна единичной матрице , ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVM отличается от меры с проекционным значением тем, что для мер с проекционным значением значения должны быть ортогональными проекциями . ${\displaystyle F}$

В квантовой механике ключевым свойством POVM является то, что он определяет меру вероятности в пространстве результатов, поэтому ее можно интерпретировать как вероятность (плотность) результата при измерении квантового состояния . То есть элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении квантового измерения квантового состояния определяется выражением ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

где находится оператор трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Простейший случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональных проекторов , сумма которых дает единичную матрицу : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Формулы вероятности для PVM такие же, как и для POVM. Важным отличием является то, что элементы POVM не обязательно ортогональны. Как следствие, количество элементов POVM может быть больше размерности гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, количество элементов PVM не превышает размерности гильбертова пространства. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

Теорема Наймарка о расширении

Примечание. Альтернативное написание этого слова — «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка о расширении ^[4] показывает, как POVM могут быть получены из PVM, действующих на большее пространство. Этот результат имеет решающее значение в квантовой механике, поскольку он дает возможность физически реализовать измерения POVM. ^{[5] : 285}

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве, теорема Наймарка гласит, что если POVM, действующая в гильбертовом пространстве размерности , то существует PVM , действующая в гильбертовом пространстве размерность и изометрию такие, что для всех , ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Один из способов построить такую ​​PVM и изометрию ^{[6] [7]} — положить , и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Вероятность получения результата с помощью этой PVM и состояния, соответствующим образом преобразованного с помощью изометрии, такая же, как и вероятность получения результата с исходной POVM: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Prob}}(i)&=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)\\&=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\left[\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\right]\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}\left(\sum _{j=1}^{n}{\sqrt {F_{j}}}_{A}^{\dagger }\otimes {\langle j|}_{B}\right)\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\left(\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {F_{k}}}_{A}\otimes {|k\rangle }_{B}\right)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\operatorname {I} _{A}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\right)\\&=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})\end{aligned}}}$

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации ПОВМ, расширив изометрию до унитарной , то есть найдя такую, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V=U(\operatorname {I} _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Это всегда можно сделать. Рецепт реализации измерения POVM, описанного в квантовом состоянии, состоит в том, чтобы подготовить вспомогательное устройство в этом состоянии , развить его вместе с унитарным и выполнить проективное измерение вспомогательного устройства, описываемого PVM . ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |0\rangle _{B}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{|i\rangle \langle i|_{B}\}_{i=1}^{n}}$

Обратите внимание, что в этой конструкции размерность большего гильбертова пространства определяется как . Это не минимально возможный уровень, поскольку более сложная конструкция дает POVM ранга 1. ^{[5] : 285} ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$ ${\displaystyle d_{A'}=n}$

Состояние после измерения

Состояние после измерения определяется не самой POVM, а скорее PVM, которая его физически реализует. Поскольку существует бесконечно много разных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы убедиться в этом, заметим, что для любого унитарного оператора ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

также будет иметь свойство , так что использование изометрии ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

в приведенной выше конструкции также будет реализован тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии , результирующая унитарная единица принимает его вместе с вспомогательной функцией для состояния ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

и проективное измерение на вспомогательной колонке схлопнется до состояния ^{[3] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

о получении результата . Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности , соответствующее состояние после измерения определяется выражением ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарного . Обратите внимание, что while всегда эрмитово, как правило, не обязательно должно быть эрмитовым. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Еще одно отличие от проективных измерений заключается в том, что измерения POVM, как правило, не повторяются. Если при первом измерении был получен результат, то вероятность получения иного результата при втором измерении равна ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

которые могут быть ненулевыми, если и не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяемо. ${\displaystyle M_{i_{0}}}$ ${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Пример: однозначная дискриминация квантовых состояний.

Представление состояний в сфере Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначного распознавания квантовых состояний состояний и . Заметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Предположим, у вас есть квантовая система с двумерным гильбертовым пространством, которое, как вы знаете, находится либо в состоянии, либо в состоянии , и вы хотите определить, в каком из них оно находится. Если и ортогональны, эта задача проста: множество образует PVM, и проективное измерение в этом базисе с уверенностью определит состояние. Если же и не ортогональны, то эта задача невыполнима в том смысле, что не существует измерения ни ПВМ, ни ПОВМ, которое позволило бы их достоверно различить. ^{[3] : 87} Невозможность идеального различения неортогональных состояний является основой квантовых информационных протоколов, таких как квантовая криптография , подбрасывание квантовой монеты и квантовые деньги . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Задача однозначного распознавания квантовых состояний (UQSD) — следующая лучшая вещь: никогда не допускать ошибок относительно того, является ли состояние или , ценой иногда неубедительного результата. Это можно сделать с помощью проекционных измерений. ^[8] Например, если вы измеряете PVM , где квантовое состояние ортогонально , ​​и получаете результат , то вы точно знаете, что состояние было . Если результат был , то он неубедителен. Аналогичные рассуждения справедливы и для PVM , где – состояние, ортогональное . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Однако это неудовлетворительно, поскольку невозможно обнаружить и то , и другое с помощью одного измерения, а вероятность получения окончательного результата меньше, чем при использовании POVM. POVM, который дает наибольшую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется как ^{[8] [9]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }.}$

Обратите внимание, что , когда получен результат, мы уверены, что квантовое состояние таково , а когда получен результат, мы уверены, что квантовое состояние таково . ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Вероятность получения окончательного результата определяется выражением

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

когда квантовая система находится в состоянии или с той же вероятностью. Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса, названный в честь авторов, которые стали пионерами исследования UQSD. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Используя приведенную выше конструкцию, мы можем получить проективное измерение, которое физически реализует эту ПОВМ. Квадратные корни элементов POVM определяются выражением

${\displaystyle {\sqrt {F_{\psi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{?}}}={\sqrt {\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

где

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Обозначая три возможных состояния вспомогательной функции как , , и инициализируя ее в этом состоянии , мы видим, что результирующее унитарное состояние принимает состояние вместе с вспомогательной функцией для ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}(|\psi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle |{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle ,}$

и аналогичным образом требуется государство вместе с служащими, чтобы ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}(|\varphi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle |{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle .}$

Измерение на вспомогательном устройстве затем дает желаемые результаты с той же вероятностью, что и POVM.

Этот POVM использовался для экспериментального различения неортогональных состояний поляризации фотона, используя степень свободы пути в качестве вспомогательного средства. Реализация ПОВМ при проективном измерении немного отличалась от описанной здесь. ^{[13] [14]}

Смотрите также

• НИЦ-ПОВМ
• Квантовые измерения
• Математическая формулировка квантовой механики
• Матрица плотности
• Квантовая операция
• Проекционная мера
• Векторная мера

Рекомендации

1. Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод :2004РвМП...76...93П. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
2. Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Акад. Нажимать. п. 35. ISBN 978-0-12-206150-9.
3. М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)
4. И. М. Гельфанд и М. А. Неймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] НС 12(54) (1943), 197–213.
5. А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Академическое издательство Клувер, 1993.
6. Дж. Прескилл, Конспекты лекций по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html
7. Дж. Уотрус. Теория квантовой информации. Издательство Кембриджского университета, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
8. Дж. А. Бергу; У. Герцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В Париже; Й. Ржегачек (ред.). Оценка квантового состояния . Спрингер. стр. 417–465. дои : 10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN 978-3-540-44481-7.
9. Шефлз, Энтони (2000). «Квантовая государственная дискриминация». Современная физика . Информа ЮК Лимитед. 41 (6): 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Бибкод : 2000ConPh..41..401C. дои : 10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514. S2CID  119340381.
10. Иванович, ID (1987). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. Эльзевир Б.В. 123 (6): 257–259. Бибкод : 1987PhLA..123..257I. дои : 10.1016/0375-9601(87)90222-2. ISSN  0375-9601.
11. Дикс, Д. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Буквы по физике А. Эльзевир Б.В. 126 (5–6): 303–306. Бибкод : 1988PhLA..126..303D. дои : 10.1016/0375-9601(88)90840-7. ISSN  0375-9601.
12. Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. Эльзевир Б.В. 128 (1–2): 19. Бибкод : 1988PhLA..128...19P. дои : 10.1016/0375-9601(88)91034-1. ISSN  0375-9601.
13. Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гизин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Физический обзор А. АПС. 54 (5): 3783–3789. Бибкод : 1996PhRvA..54.3783H. doi : 10.1103/PhysRevA.54.3783. ПМИД  9913923.
14. РБМ Кларк; А. Шефлес; С.М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимальной однозначной государственной дискриминации». Физический обзор А. АПС. 63 (4): 040305(R). arXiv : Quant-ph/0007063 . Бибкод : 2001PhRvA..63d0305C. doi : 10.1103/PhysRevA.63.040305. S2CID  39481893.

• ПОВМ
  • К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспекты лекций по физике 190, Springer (1983).
  • А. С. Холево , Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, Изд-во Северной Голландии. Сай, Амстердам (1982).

Внешние ссылки

• Интерактивная демонстрация дискриминации квантовых состояний