Трансверсальность (математика)

В математике трансверсальность — это понятие, описывающее, как пространства могут пересекаться ; трансверсальность можно рассматривать как «противоположность» касания , и она играет роль в общем положении . Она формализует идею общего пересечения в дифференциальной топологии . Она определяется путем рассмотрения линеаризаций пересекающихся пространств в точках пересечения.

Определение

Поперечные кривые на поверхности сферы

Непоперечные кривые на поверхности сферы

Говорят, что два подмногообразия данного конечномерного гладкого многообразия пересекаются трансверсально , если в каждой точке пересечения их отдельные касательные пространства в этой точке вместе порождают касательное пространство объемлющего многообразия в этой точке. ^[1] Многообразия, которые не пересекаются, являются пустотно трансверсальными. Если многообразия имеют дополнительную размерность (т. е. их размерности в сумме равны размерности объемлющего пространства ), условие означает, что касательное пространство к объемлющему многообразию является прямой суммой двух меньших касательных пространств. Если пересечение трансверсально, то пересечение будет подмногообразием, коразмерность которого равна сумме коразмерностей двух многообразий. При отсутствии условия трансверсальности пересечение может не быть подмногообразием, имея некоторую особую точку .

В частности, это означает, что трансверсальные подмногообразия дополнительной размерности пересекаются в изолированных точках (т.е. 0-многообразие ). Если оба подмногообразия и окружающее многообразие ориентированы , их пересечение ориентировано. Когда пересечение нульмерно, ориентация — это просто плюс или минус для каждой точки.

Одной из нотаций для трансверсального пересечения двух подмногообразий и данного многообразия является . Эта нотация может быть прочитана двумя способами: либо как « и пересекаются трансверсально», либо как альтернативная нотация для теоретико-множественного пересечения и , когда это пересечение трансверсально. В этой нотации определение трансверсальности читается как ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}+T_{p}L_{2}.}$

Трансверсальность карт

Понятие трансверсальности пары подмногообразий легко расширяется до трансверсальности подмногообразия и отображения на объемлющее многообразие или до пары отображений на объемлющее многообразие, спрашивая, порождают ли проекции касательных пространств вдоль прообраза точек пересечения образов все касательное пространство объемлющего многообразия. ^[2] Если отображения являются вложениями , это эквивалентно трансверсальности подмногообразий.

Значение трансверсальности для разных измерений

Трансверсальность зависит от окружающего пространства. Две показанные кривые являются поперечными, если рассматривать их как вложенные в плоскость, но не если рассматривать их как вложенные в плоскость в трехмерном пространстве

Предположим, что у нас есть трансверсальные отображения и где и — многообразия с размерностями и соответственно. ${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M}$ ${\displaystyle f_{2}:L_{2}\to M}$ ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$ ${\displaystyle m}$

Значение трансверсальности сильно различается в зависимости от относительных размеров и . Связь между трансверсальностью и касанием наиболее ясна, когда . ${\displaystyle M,L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$

Мы можем рассмотреть три отдельных случая:

1. Когда , невозможно, чтобы образ касательных пространств и охватывал касательное пространство в любой точке. Таким образом, любое пересечение между и не может быть трансверсальным. Однако непересекающиеся многообразия пусто удовлетворяют условию, поэтому можно сказать, что они пересекаются трансверсально. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$
2. Когда , образ касательных пространств и должен непосредственно суммироваться с касательным пространством в любой точке пересечения. Таким образом, их пересечение состоит из изолированных знаковых точек, т.е. нульмерного многообразия. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$
3. Когда эта сумма не обязательно должна быть прямой. Фактически она не может быть прямой, если и являются погружениями в точке пересечения, как это происходит в случае вложенных подмногообразий. Если отображения являются погружениями, пересечение их образов будет многообразием размерности ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m.}$

Продукт пересечения

Если заданы любые два гладких подмногообразия, можно возмутить любое из них на произвольно малую величину так, чтобы полученное подмногообразие пересеклось трансверсально с фиксированным подмногообразием. Такие возмущения не влияют на класс гомологии многообразий или их пересечений. Например, если многообразия дополнительной размерности пересекаются трансверсально, знаковая сумма числа их точек пересечения не изменится, даже если мы изотопируем многообразия другому трансверсальному пересечению. (Точки пересечения можно подсчитать по модулю 2, игнорируя знаки, чтобы получить более грубый инвариант.) Это сводится к билинейному произведению пересечений на классах гомологии любой размерности, которое является двойственным по Пуанкаре к произведению чашек на когомологиях . Подобно произведению чашек, произведение пересечений является градуированно-коммутативным .

Примеры поперечных пересечений

Простейшим нетривиальным примером трансверсальности являются дуги на поверхности . Точка пересечения двух дуг является трансверсальной тогда и только тогда, когда она не является касанием, т. е. их касательные линии внутри касательной плоскости к поверхности различны.

В трехмерном пространстве две кривые могут быть трансверсальными только тогда, когда они имеют пустое пересечение, поскольку их касательные пространства могли бы генерировать не более чем двумерное пространство. Кривые, трансверсальные поверхностям, пересекаются в точках, а поверхности, трансверсальные друг другу, пересекаются в кривых. Кривые, которые касаются поверхности в точке (например, кривые, лежащие на поверхности), не пересекают поверхность трансверсально.

Вот более специализированный пример: предположим, что — простая группа Ли и — ее алгебра Ли. По теореме Джекобсона–Морозова каждый нильпотентный элемент может быть включен в -тройку . Теория представлений говорит нам, что . Пространство является касательным пространством в к присоединенной орбите и, таким образом, аффинное пространство пересекает орбиту трансверсально. Пространство известно как «срез Слодового» в честь Петера Слодового . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$ ${\displaystyle (e,h,f)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$ ${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$

Приложения

Оптимальное управление

В областях, использующих вариационное исчисление или связанный с ним принцип максимума Понтрягина , условие трансверсальности часто используется для управления типами решений, найденных в задачах оптимизации. Например, это необходимое условие для кривых решения задач вида:

Минимизируйте случаи, когда одна или обе конечные точки кривой не зафиксированы. ${\displaystyle \int {F(x,y,y^{\prime })}dx}$

Во многих из этих задач решение удовлетворяет условию, что кривая решения должна пересекать поперечно нульклиналь или некоторую другую кривую, описывающую конечные условия.

Гладкость пространств решений

Используя теорему Сарда , гипотеза которой является частным случаем трансверсальности отображений, можно показать, что трансверсальные пересечения между подмногообразиями пространства дополнительных размерностей или между подмногообразиями и отображениями в пространство сами являются гладкими подмногообразиями. Например, если гладкое сечение касательного расслоения ориентированного многообразия — т. е. векторное поле — рассматривается как отображение из базы в полное пространство и пересекает нулевое сечение (рассматриваемое либо как отображение, либо как подмногообразие) трансверсально, то нулевое множество сечения — т. е. особенности векторного поля — образует гладкое 0-мерное подмногообразие базы, т. е. множество точек со знаком. Знаки согласуются с индексами векторного поля, и, таким образом, сумма знаков — т. е. фундаментальный класс нулевого множества — равна эйлеровой характеристике многообразия. В более общем случае для векторного расслоения над ориентированным гладким замкнутым конечномерным многообразием нулевое множество сечения, трансверсального нулевому сечению, будет подмногообразием базы коразмерности, равной рангу векторного расслоения, а его класс гомологии будет двойственным по Пуанкаре классу Эйлера расслоения.

Крайне частным случаем этого является следующий случай: если дифференцируемая функция от действительных чисел до действительных чисел имеет ненулевую производную в нуле функции, то этот нуль является простым, т. е. если график трансверсален оси x в этом нуле; нулевая производная будет означать горизонтальную касательную к кривой, которая будет соответствовать касательному пространству к оси x .

Для бесконечномерного примера оператор d-bar является сечением некоторого расслоения банахова пространства над пространством отображений из римановой поверхности в почти комплексное многообразие . Нулевое множество этого сечения состоит из голоморфных отображений. Если можно показать, что оператор d-bar трансверсален нулевому сечению, это пространство модулей будет гладким многообразием. Эти соображения играют фундаментальную роль в теории псевдоголоморфных кривых и теории Громова–Виттена . (Заметим, что для этого примера определение трансверсальности должно быть уточнено, чтобы иметь дело с банаховыми пространствами !)

Грамматика

«Трансверсальный» — существительное; прилагательное — «поперечный».

цитата из JHC Whitehead, 1959 ^[3]

Смотрите также

• Теорема трансверсальности

Примечания

1. Гийемен и Поллак 1974, стр.30.
2. Гийемен и Поллак 1974, стр. 28.
3. Хирш (1976), стр.66

Ссылки

• Том, Рене (1954). «Глобальные собственности дифференцируемых разновидностей». Комментарий. Математика. Хелв. 28 (1): 17–86. дои : 10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• Гийемен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.