В теории чисел высшее составное число — это натуральное число , которое в строгом смысле имеет множество делителей . В частности, оно определяется соотношением числа делителей целого числа и числа, возведенного в некоторую положительную степень.
Для любого возможного показателя степени любое целое число, имеющее наибольшее соотношение, является превосходным составным числом. Это более сильное ограничение, чем у составного числа , которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.
Перечислены первые десять высших высокосложных чисел и их факторизация.
Для высшего весьма составного числа n существует положительное действительное число ε > 0 такое, что для всех натуральных чисел k > 1 имеем где d ( n ) , функция делителя , обозначает количество делителей числа n . Этот термин был придуман Рамануджаном (1915). [1]
Например, число с наибольшим количеством делителей на квадратный корень из самого числа равно 12; это можно продемонстрировать на примере некоторых высококомпозитных материалов около 12.
120 — еще одно превосходящее составное число, поскольку оно имеет наибольшее отношение делителей к самому себе, возведенное в степень 0,4.
Первые 15 высших сложных чисел: 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A002201 в OEIS ) тоже первые 15 колоссально обильные числа , которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на количестве делителей. Однако ни один из наборов не является подмножеством другого.
Все высшие весьма составные числа являются весьма составными . Это легко доказать: если существует некоторое число k , которое имеет то же число делителей, что и n , но меньше самого n (т. е. , но ), то для всех положительных ε, поэтому, если число «n» не является сильно составным , он не может быть выше высококомпозитного.
Эффективное построение множества всех высших весьма составных чисел дается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел. [2] Пусть для любого простого числа p и положительного действительного x . Тогда – превосходное весьма составное число.
Обратите внимание, что произведение не обязательно вычисляется бесконечно, потому что если then , то вычисление произведения может быть прекращено один раз .
Также обратите внимание , что определение аналогично неявному определению высшего составного числа.
Более того, для каждого старшего весьма составного числа существует полуинтервал такой, что .
Из этого представления следует, что существует бесконечная последовательность таких чисел, что для n -го старшего весьма составного числа выполняется
Первые — 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7,… (последовательность A000705 в OEIS ). Другими словами, частное двух последовательных старших весьма составных чисел является простым числом.
Первые несколько высших сложных чисел часто использовались в качестве оснований из-за их высокой делимости по размеру. Например:
Большие SHCN можно использовать и другими способами. 120 отображается как длинная сотня , а 360 — как количество градусов в круге.
![{\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c38b9d424c9e09d9f5484fc8dd20d40f98bec)
