Предельная теорема Коши

Математическая теорема

Предельная теорема Коши , названная в честь французского математика Огюстена-Луи Коши , описывает свойство сходящихся последовательностей . Она утверждает, что для сходящейся последовательности последовательность арифметических средних ее первых членов сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность, то есть с влечет . ^{[1] [2]} Теорема была найдена Коши в 1821 году, ^[1] впоследствии был опубликован ряд связанных и обобщенных результатов, в частности Отто Штольцем (1885) и Эрнесто Чезаро (1888). ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})/n\ \to a}$

Сопутствующие результаты и обобщения

Если арифметические средние в предельной теореме Коши заменить на взвешенные арифметические средние, то они также сойдутся. Точнее, для последовательности с и последовательности положительных действительных чисел с один имеет . ^{[2] [1]} ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle (p_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to 0}$ ${\displaystyle {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to a}$

Этот результат можно использовать для вывода теоремы Штольца–Чезаро , более общего результата, частным случаем которого является предельная теорема Коши. ^[2]

Для геометрических средних последовательности существует аналогичный результат. То есть для последовательности с и имеем . ^{[2] [1]} ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}\ \to a}$

Средние арифметические в предельной теореме Коши также называются средними Чезаро . В то время как предельная теорема Коши подразумевает, что для сходящегося ряда его средние Чезаро также сходятся, обратное неверно. То есть средние Чезаро могут сходиться, а исходная последовательность — нет. Применение последнего факта к частичным суммам ряда позволяет назначать действительные значения некоторым расходящимся рядам и приводит к концепции суммирования Чезаро и суммируемых рядов . В этом контексте предельная теорема Коши может быть обобщена до теоремы Сильвермана–Теплица . ^{[1] [4]}

Доказательство

Пусть и такое, что для всех . Ввиду того, что существует с для всех . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |a_{k}-a|\leq {\tfrac {\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle k\geq N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)=0}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle n\geq M}$

Теперь для всех вышеперечисленных выходов: ${\displaystyle n\geq \max(N,M)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)-a\right|&=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a)\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}(a_{k}-a)\right|\\&\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}-a|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {(n-N)\varepsilon }{2n}}\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$^[2]

Ссылки

1. Конрад Кнопп : Бесконечные последовательности и ряды . Дувр, 1956, стр. 33-36
2. Harro Heuser : Lehrbuch der Analysis – Teil 1 , 17-е издание, Vieweg + Teubner 2009, ISBN 9783834807779, стр. 176-179 (немецкий)
3. J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Правдоподобные и подлинные расширения правила Лопиталя . В: Mathematics Magazine , Vol. 85, No. 1, Februar 2012, pp. 52–60, doi:10.4169/math.mag.85.1.52 ( JSTOR  10.4169/math.mag.85.1.52)
4. Иоганн Боос: Классические и современные методы суммирования . Oxford University Press, 2000, ISBN 9780198501657, стр. 9

Дальнейшее чтение

• Сен-Мин: Заметка о предельной теореме Коши . В: The American Mathematical Monthly , том 57, № 1 (январь 1950 г.), стр. 28–31 (JSTOR)

Внешние ссылки

• Средние значения Чезаро и предельная теорема Коши в SOS math
• Среднее Чезаро - доказательство предельной теории Коши на ProofWiki