Теория представлений симметрической группы

В математике теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп , для которой может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений, от теории симметрических функций до квантово-химических исследований атомов, молекул и твердых тел. ^{[1] [2]}

Симметрическая группа S _n имеет порядок n !. Ее классы сопряженности помечены разбиениями n . Поэтому согласно теории представлений конечной группы число неэквивалентных неприводимых представлений , над комплексными числами , равно числу разбиений n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимых представлений тем же набором, который параметризует классы сопряженности, а именно разбиениями n или, что эквивалентно, диаграммами Юнга размера n .

Каждое такое неприводимое представление фактически может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка, действующая матрицей с целыми коэффициентами); оно может быть явно построено путем вычисления симметризаторов Юнга, действующих на пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга. Размерность представления, соответствующего диаграмме Юнга, задается формулой длины крючка . ${\displaystyle d_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Каждому неприводимому представлению р можно сопоставить неприводимый характер ^хр . Чтобы вычислить χ ^ρ (π), где π — перестановка, можно использовать комбинаторное правило Мурнагана–Накаямы . ^[3] Заметим, что χ ^ρ константа на классах сопряженности, т. е. χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) для всех перестановок σ.

Над другими полями ситуация может стать гораздо сложнее. Если поле K имеет характеристику , равную нулю или большую n , то по теореме Машке групповая алгебра K S _n является полупростой. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы неизвестны в произвольной характеристике. В этом контексте более привычно использовать язык модулей , а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем приведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас неприводимых меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размерности в общем случае неизвестны.

Определение неприводимых модулей симметрической группы над произвольным полем широко рассматривается как одна из важнейших открытых проблем в теории представлений.

Низкоразмерные представления

Симметричные группы

Представления симметрических групп наименьшей размерности могут быть описаны явно ^{[4] [5]} и над произвольными полями. ^{[6] [ нужна страница ]} Наименьшие две степени в нулевой характеристике описаны здесь:

Каждая симметрическая группа имеет одномерное представление, называемое тривиальным представлением , где каждый элемент действует как единичная матрица один за другим. Для n ≥ 2 существует другое неприводимое представление степени 1, называемое знаковым представлением или чередующимся характером , которое принимает перестановку в матрицу один за другим с элементом ±1 на основе знака перестановки . Это единственные одномерные представления симметрических групп, поскольку одномерные представления являются абелевыми, а абелианизация симметрической группы — это C ₂ , циклическая группа порядка 2.

Для всех n существует n -мерное представление симметрической группы порядка n!, называемоеестественное представление перестановки , которое состоит из перестановкиnкоординат. Оно имеет тривиальное подпредставление, состоящее из векторов, координаты которых все равны. Ортогональное дополнение состоит из тех векторов, координаты которых в сумме равны нулю, и когда n ≥ 2, представление на этом подпространстве является( n − 1)-мерным неприводимым представлением, называемымстандартным представлением. Другое( n − 1)-мерное неприводимое представление находится путем тензорирования с представлением знака.Внешняя степень стандартного представлениянеприводима при условии(Fulton & Harris 2004). ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$

Для n ≥ 7 это самые низкоразмерные неприводимые представления S _n – все остальные неприводимые представления имеют размерность не менее n . Однако для n = 4 сюръекция из S ₄ в S ₃ позволяет S ₄ унаследовать двумерное неприводимое представление. Для n = 6 исключительное транзитивное вложение S ₅ в S ₆ производит еще одну пару пятимерных неприводимых представлений.

Переменные группы

Соединение пяти тетраэдров , на которое действует A5 _, давая трехмерное представление.

Теория представлений знакопеременных групп похожа, хотя представление знака исчезает. Для n ≥ 7 неприводимые представления наименьшей размерности — это тривиальное представление в размерности один и ( n − 1) -мерное представление из другого слагаемого представления перестановки, при этом все остальные неприводимые представления имеют более высокую размерность, но есть исключения для меньших n .

Знакопеременные группы при n ≥ 5 имеют только одно одномерное неприводимое представление — тривиальное представление. При n = 3, 4 имеются два дополнительных одномерных неприводимых представления, соответствующих отображениям в циклическую группу порядка 3: A ₃ ≅ C ₃ и A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

• При n ≥ 7 существует только одно неприводимое представление степени n − 1 , и это наименьшая степень нетривиального неприводимого представления.
• При n = 3 очевидный аналог ( n − 1) -мерного представления является приводимым — представление перестановки совпадает с регулярным представлением и, таким образом, распадается на три одномерных представления, поскольку A ₃ ≅ C ₃ абелева; см. дискретное преобразование Фурье для теории представлений циклических групп.
• Для n = 4 существует только одно n − 1 неприводимое представление, но существуют исключительные неприводимые представления размерности 1.
• При n = 5 существуют два дуальных неприводимых представления размерности 3, соответствующих ее действию как икосаэдрической симметрии .
• При n = 6 существует дополнительное неприводимое представление размерности 5, соответствующее исключительному транзитивному вложению A ₅ в  A ₆ .

Тензорные произведения представлений

Коэффициенты Кронекера

Тензорное произведение двух представлений , соответствующих диаграммам Юнга, является комбинацией неприводимых представлений , ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }}$

Коэффициенты называются коэффициентами Кронекера симметрической группы. Они могут быть вычислены из символов представлений (Fulton & Harris 2004): ${\displaystyle C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

Сумма по разбиениям с соответствующими классами сопряженности. Значения символов можно вычислить с помощью формулы Фробениуса . Коэффициенты равны ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\rho }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C_{\rho })}$ ${\displaystyle z_{\rho }}$

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}}$

где — число раз, которое встречается в , так что . ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sum i_{j}j=n}$

Несколько примеров, записанных в терминах диаграмм Юнга (Hamermesh 1989):

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}}$

Существует простое правило вычисления для любой диаграммы Юнга (Hamermesh 1989): результат представляет собой сумму всех диаграмм Юнга, которые получаются путем удаления одного блока и последующего добавления одного блока, где коэффициенты равны единице, за исключением самого себя, коэффициент которого равен , т. е. количеству различных длин строк минус один. ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \#\{\lambda _{i}\}-1}$

Ограничение на неприводимые составляющие есть (Джеймс и Кербер, 1981) ${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }}$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }}$

где глубина диаграммы Юнга — это количество ячеек, не принадлежащих первому ряду. ${\displaystyle d_{\lambda }=n-\lambda _{1}}$

Сниженные коэффициенты Кронекера

Для диаграммы Юнга и , есть диаграмма Юнга размера . Тогда есть ограниченная, неубывающая функция от , и ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\geq \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$

называется приведенным коэффициентом Кронекера ^[7] или стабильным коэффициентом Кронекера . ^[8] Известны границы значения , где достигает своего предела. ^[7] Приведенные коэффициенты Кронекера являются структурными константами категорий Делиня представлений с . ^[9] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\mathbb {N} }$

В отличие от коэффициентов Кронекера, приведенные коэффициенты Кронекера определяются для любой тройки диаграмм Юнга, не обязательно одинакового размера. Если , то совпадает с коэффициентом Литтлвуда-Ричардсона . ^[10] Приведенные коэффициенты Кронекера могут быть записаны как линейные комбинации коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона посредством замены базисов в пространстве симметричных функций, что приводит к выражениям, которые явно являются целыми, хотя и не явно положительными. ^[8] Приведенные коэффициенты Кронекера также могут быть записаны через коэффициенты Кронекера и Литтлвуда-Ричардсона с помощью формулы Литтлвуда ^{[11] [12]} ${\displaystyle |\nu |=|\lambda |+|\mu |}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

И наоборот, можно восстановить коэффициенты Кронекера как линейные комбинации приведенных коэффициентов Кронекера. ^[7]

Редуцированные коэффициенты Кронекера реализованы в системе компьютерной алгебры SageMath . ^{[13] [14]}

Собственные значения комплексных представлений

При наличии элемента типа цикла и порядка собственные значения в комплексном представлении имеют тип с , где целые числа называются циклическими показателями степени относительно представления. ^[15] ${\displaystyle w\in S_{n}}$ ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$ ${\displaystyle m={\text{lcm}}(\mu _{i})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}}$ ${\displaystyle e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle w}$

Существует комбинаторное описание циклических показателей симметрической группы (и их сплетений ). Определяя , пусть -индекс стандартной таблицы Юнга будет суммой значений по спускам таблицы, . Тогда циклические показатели представления , описываемого диаграммой Юнга, являются -индексами соответствующих таблиц Юнга. ^[15] ${\displaystyle \left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

В частности, если имеет порядок , то , и совпадает с главным индексом (суммой спусков). Циклические показатели неприводимого представления тогда описывают, как оно распадается на представления циклической группы , причем интерпретируется как образ в (одномерном) представлении, характеризуемом . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{\mu }(k)=k}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e_{j}}$

Смотрите также

• Знакопеременные многочлены
• Симметричные многочлены
• функтор Шура
• Переписка Робинсона–Шенстеда
• Двойственность Шура–Вейля
• Элемент Джусиса–Мерфи
• Гарнир отношения

Ссылки

1. Филип Р. Банкер и Пер Йенсен (1998) Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. NRC Research Press, Оттава [1] стр. 198-202. ISBN  9780660196282
2. R.Pauncz (1995) Симметрическая группа в квантовой химии , CRC Press, Бока-Ратон, Флорида
3. Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, т. 2
4. Бернсайд, Уильям (1955), Теория групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , MR  0069818
5. Расала, Ричард (1977), «О минимальных степенях характеров Sn», Журнал алгебры , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN  0021-8693, MR  0427445
6. Джеймс и Кербер 1981.
7. Бриан, Эммануэль; Орельяна, Роза; Росас, Мерседес (27 июля 2009 г.). «Устойчивость произведений Кронекера функций Шура». Журнал алгебры . 331 : 11–27. arXiv : 0907.4652 . doi :10.1016/j.jalgebra.2010.12.026. S2CID  16714030.
8. Assaf, Sami H.; Speyer, David E. (2018-09-26). «Модули Шпехта разлагаются как чередующиеся суммы ограничений модулей Шура». Труды Американского математического общества . 148 (3): 1015–1029. arXiv : 1809.10125 . doi : 10.1090/proc/14815. S2CID  119692633.
9. Энтова-Айзенбуд, Инна (2014-07-06). "Категории Делиня и редуцированные коэффициенты Кронекера". arXiv : 1407.1506v1 [math.RT].
10. Двир, Йоав (1996-02-15). «О произведении Кронекера для Sn-характеров». Журнал алгебры . 154 : 125–140. doi : 10.1006/jabr.1993.1008 .
11. Литтлвуд, Д. Э. (1958). «Продукты и плетизмы характеров с ортогональными, симплектическими и симметричными группами». Канадский журнал математики . 10. Канадское математическое общество: 17–32. doi : 10.4153/cjm-1958-002-7 . ISSN  0008-414X.
12. Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (2017-09-23). ​​«Продукты характеров симметрической группы». arXiv : 1709.08098v1 [math.CO].
13. Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (2015-10-01). "Симметричные групповые характеры как симметричные функции (расширенная аннотация)". arXiv : 1510.00438v2 [math.CO].
14. "Характеристики симметрической группы как основания симметрических функций". Справочное руководство Sage 9.3: Комбинаторика . Получено 2021-07-05 .
15. Stembridge, John (1989-12-01). «О собственных значениях представлений групп отражений и сплетений». Pacific Journal of Mathematics . 140 (2). Mathematical Sciences Publishers: 353–396. doi : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN  0030-8730.

Цитируемые публикации

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (2004). «Теория представлений». Graduate Texts in Mathematics . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN  0072-5285.
• Хамермеш, М. (1989). Теория групп и ее применение к физическим проблемам . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC  20218471.
• Джеймс, Гордон; Кербер, Адальберт (1981), Теория представлений симметрической группы , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Рединг, Массачусетс, ISBN 978-0-201-13515-2, МР  0644144
• Джеймс, Г. Д. (1983), «О минимальных размерах неприводимых представлений симметрических групп», Математические труды Кембриджского философского общества , 94 (3): 417–424, Bibcode : 1983MPCPS..94..417J, doi : 10.1017/S0305004100000803, ISSN  0305-0041, MR  0720791, S2CID  123113210