суммирование Бореля

Борель , тогда еще неизвестный молодой человек, обнаружил, что его метод суммирования дает «правильный» ответ для многих классических расходящихся рядов. Он решил совершить паломничество в Стокгольм, чтобы увидеть Миттаг-Леффлера , который был признанным владыкой комплексного анализа. Миттаг-Леффлер вежливо выслушал то, что сказал Борель, а затем, положив руку на полное собрание сочинений Вейерштрасса , своего учителя, сказал по-латыни: «Учитель запрещает это».

Марк Кац , цитируемый Ридом и Саймоном (1978, стр. 38)

В математике суммирование Бореля — метод суммирования расходящихся рядов , введенный Эмилем Борелем (1899). Он особенно полезен для суммирования расходящихся асимптотических рядов и в некотором смысле дает наилучшую возможную сумму для таких рядов. Существует несколько вариаций этого метода, которые также называются суммированием Бореля, и его обобщение — суммированием Миттаг-Леффлера .

Определение

Существует (по крайней мере) три немного отличающихся метода, называемых суммированием Бореля. Они различаются тем, какие ряды они могут суммировать, но являются согласованными, что означает, что если два метода суммируют один и тот же ряд, они дают один и тот же ответ.

Пусть $A (z)$ обозначает формальный степенной ряд

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},

и определить преобразование Бореля для $A$ как его соответствующий экспоненциальный ряд

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.

Метод экспоненциального суммирования Бореля

Пусть $A n (z)$ обозначает частичную сумму

A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

Слабая форма метода суммирования Бореля определяет сумму Бореля $A$ как

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z).

Если эта сумма сходится в точке $z \in C$ к некоторой функции $a (z)$ , мы говорим, что слабая борелевская сумма $A$ сходится в точке $z$ , и пишем . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$

Метод суммирования интегралов Бореля

Предположим, что преобразование Бореля сходится для всех положительных действительных чисел к функции, растущей достаточно медленно, так что следующий интеграл хорошо определен (как несобственный интеграл), сумма Бореля A $задается$ выражением

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt,

представляющее собой преобразование Лапласа . ${\mathcal {B}}A (z)$

Если интеграл сходится в точке $z \in C$ к некоторому $a (z)$ , мы говорим, что борелевская сумма $A$ сходится в точке $z$ , и пишем . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$

Метод суммирования интегралов Бореля с аналитическим продолжением

Это похоже на метод суммирования интегралов Бореля, за исключением того, что преобразование Бореля не обязательно сходится для всех $t$ , но сходится к аналитической функции t $вблизи$ 0, которая может быть аналитически продолжена вдоль положительной действительной оси .

Основные свойства

Регулярность

Методы $(B)$ и $(wB)$ являются обычными методами суммирования, что означает, что всякий раз, когда $A (z)$ сходится (в стандартном смысле), то сумма Бореля и слабая сумма Бореля также сходятся, и при этом дают одно и то же значение. т.е.

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z ^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).

Регулярность $(B)$ легко увидеть по изменению порядка интегрирования, что справедливо в силу абсолютной сходимости: если $A (z)$ сходится в точке $z$ , то

{\ displaystyle A (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty } a_ {k} z ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty } a_ {k} \ left (\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^ {\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt,}

где самое правое выражение — это в точности сумма Бореля в точке $z$ .

Регулярность $(B)$ и $(wB)$ подразумевает, что эти методы обеспечивают аналитические расширения для $A (z)$ .

Неэквивалентность суммирования Бореля и слабого суммирования Бореля

Любой ряд $A (z),$ который является слабо суммируемым по Борелю в точке $z \in C$ , также является суммируемым по Борелю в точке $z$ . Однако можно построить примеры рядов, которые расходятся при слабом суммировании по Борелю, но которые являются суммируемыми по Борелю. Следующая теорема характеризует эквивалентность двух методов.

Теорема ((Харди 1992, 8.5)).

Пусть

A (z)

— формальный степенной ряд, и зафиксируем

z \in C

, тогда:

Если , то . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$
Если , и тогда . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$

Связь с другими методами суммирования

$(B)$ — частный случай суммирования Миттаг-Леффлера с $α = 1$ .
$(wB)$ можно рассматривать как предельный случай обобщенного метода суммирования Эйлера $(E, q)$ в том смысле, что при $q \to \infty$ область сходимости метода $(E, q)$ сходится к области сходимости для $(B)$ . ^[1]

Теоремы единственности

Всегда существует много различных функций с любым заданным асимптотическим расширением. Однако иногда существует наилучшая возможная функция, в том смысле, что ошибки в конечномерных приближениях являются минимально возможными в некоторой области. Теорема Ватсона и теорема Карлемана показывают, что суммирование Бореля дает такую наилучшую возможную сумму ряда.

Теорема Ватсона

Теорема Ватсона дает условия для функции быть борелевской суммой ее асимптотического ряда. Предположим, что $f$ — функция, удовлетворяющая следующим условиям:

$f$ голоморфна в некоторой области $| z | < R$ , $|arg(z)| < π /2 + ε$ для некоторых положительных $R$ и $ε$ .
В этой области $f$ имеет асимптотический ряд $a 0 + a 1 z + ...$ со свойством, что ошибка

|f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|

ограничено

C^{n+1}n!|z|^{n}

для всех $z$ в области (для некоторой положительной константы $C$ ).

Тогда теорема Ватсона утверждает, что в этой области $f$ задается борелевской суммой своего асимптотического ряда. Точнее, ряд для борелевского преобразования сходится в окрестности начала координат и может быть аналитически продолжен на положительную вещественную ось, а интеграл, определяющий борелевскую сумму, сходится к $f (z)$ для $z$ в области выше.

Теорема Карлемана

Теорема Карлемана показывает, что функция однозначно определяется асимптотическим рядом в секторе при условии, что ошибки приближений конечного порядка не растут слишком быстро. Точнее, она утверждает, что если $f$ аналитична внутри сектора $| z | < C$ , $Re(z) > 0$ и $| f (z)| < | b n z | n$ в этой области для всех $n$ , то $f$ равна нулю при условии, что ряд $1/ b 0 + 1/ b 1 + ...$ расходится.

Теорема Карлемана дает метод суммирования для любого асимптотического ряда, члены которого не растут слишком быстро, так как сумма может быть определена как единственная функция с этим асимптотическим рядом в подходящем секторе, если она существует. Суммирование Бореля немного слабее, чем частный случай этого, когда $b n = cn$ для некоторой константы $c$ . В более общем случае можно определить методы суммирования немного сильнее, чем у Бореля, взяв числа $b n$ немного большими, например, $b n = cn log n$ или $b n = cn log n log log n$ . На практике это обобщение малополезно, так как почти нет естественных примеров рядов, суммируемых этим методом, которые также не могут быть суммированы методом Бореля.

Пример

Функция $f (z) = exp(-1/ z)$ имеет асимптотический ряд $0 + 0 z + ...$ с границей погрешности вида выше в области $|arg(z)| < θ$ для любого $θ < π /2$ , но не задается борелевской суммой ее асимптотического ряда. Это показывает, что число $π /2$ в теореме Ватсона не может быть заменено никаким меньшим числом (если только граница погрешности не будет сделана меньше).

Примеры

Геометрический ряд

Рассмотрим геометрическую прогрессию

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},

который сходится (в стандартном смысле) к $1/(1 - z)$ для $| z | < 1$ . Преобразование Бореля равно

{\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}= е^{zt},

откуда получаем сумму Бореля

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}

который сходится в большей области $Re(z) < 1$ , давая аналитическое продолжение исходного ряда.

Рассматривая вместо этого слабое преобразование Бореля, частичные суммы задаются как $A N (z) = (1 - z N +1)/(1 - z)$ , и поэтому слабая сумма Бореля равна

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},

где, опять же, сходимость имеет место при $Re(z) < 1.$ Альтернативно это можно увидеть, обратившись к части 2 теоремы эквивалентности, поскольку для $Re(z) < 1$ ,

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.

Знакопеременный факторный ряд

Рассмотрим серию

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1)^{k}\cdot z^{k},

тогда $A (z)$ не сходится ни для какого ненулевого $z \in C.$ Преобразование Бореля равно

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}

для $| t | < 1$ , что может быть аналитически продолжено для всех $t$ $\geq 0.$ Таким образом, сумма Бореля равна

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Гамма \left(0,{\frac {1}{z}}\right)

(где $Γ$ — неполная гамма-функция ).

Этот интеграл сходится для всех $z \geq 0$ , поэтому исходный расходящийся ряд суммируем по Борелю для всех таких $z$ . Эта функция имеет асимптотическое разложение при стремлении $z$ к 0, которое задается исходным расходящимся рядом. Это типичный пример того, что суммирование по Борелю иногда «правильно» суммирует расходящиеся асимптотические разложения.

Опять же, поскольку

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1+zt}}=0,

для всех $z$ теорема об эквивалентности гарантирует, что слабое суммирование Бореля имеет одну и ту же область сходимости, $z \geq 0$ .

Пример, в котором эквивалентность не выполняется

Следующий пример расширяет тот, что приведен в (Hardy 1992, 8.5). Рассмотрим

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.

После изменения порядка суммирования преобразование Бореля имеет вид

{\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}

При $z = 2$ сумма Бореля определяется выражением

\int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,

где $S (x)$ — интеграл Френеля . По теореме о сходимости по хордам интеграл Бореля сходится для всех $z \leq 2$ (интеграл расходится для $z > 2$ ).

Для слабой суммы Бореля заметим, что

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0

справедливо только для $z < 1$ , и поэтому слабая сумма Бореля сходится в этой меньшей области.

Результаты существования и область конвергенции

Суммируемость по аккордам

Если формальный ряд $A (z)$ суммируем по Борелю в точке $z 0 \in C$ , то он также суммируем по Борелю во всех точках хорды $O z 0 ,$ соединяющей $z 0$ с началом координат. Более того, существует функция $a (z),$ аналитическая во всем круге с радиусом $O z 0 ,$ такая, что

{\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}}),

для всех $z = θ z 0, θ \in [0,1]$ .

Непосредственным следствием является то, что область сходимости суммы Бореля является звездной областью в $C.$ Об области сходимости суммы Бореля можно сказать больше, чем то, что она является звездной областью, которая называется многоугольником Бореля и определяется особенностями ряда $A (z)$ .

Полигон Бореля

Предположим, что $A (z)$ имеет строго положительный радиус сходимости, так что он аналитичен в нетривиальной области, содержащей начало координат, и пусть $S A$ обозначает множество особенностей $A$ . Это означает, что $P \in S A$ тогда и только тогда, когда $A$ может быть аналитически продолжено вдоль открытой хорды от 0 до $P$ , но не до самого $P$ . Для $P \in S A$ пусть $L P$ обозначает прямую, проходящую через $P ,$ которая перпендикулярна хорде $OP$ . Определим множества

\Pi _{P}=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \},

множество точек, которые лежат по ту же сторону от $L P,$ что и начало координат. Многоугольник Бореля $A$ — это множество

\Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right).

Альтернативное определение было использовано Борелем и Фрагменом (Sansone & Gerretsen 1960, 8.3). Пусть обозначает наибольшую звездную область, на которой существует аналитическое расширение $A$ , тогда — наибольшее подмножество из , такое, что для всех внутренняя часть круга с диаметром OP содержится в . Называть множество многоугольником — это не совсем правильное название, поскольку множество вообще не обязательно должно быть многоугольным; однако, если $A$ $($ $z$ $)$ имеет только конечное число особенностей, то оно фактически будет многоугольником. $S\subset \mathbb {C}$ $\Pi _{A}$ $S$ $P\in \Pi _{A}$ $S$ $\Pi _{A}$ $\Pi _{A}$

Следующая теорема, принадлежащая Борелю и Фрагмену, дает критерии сходимости для суммирования Бореля.

Теорема (Харди 1992, 8.8).

Ряд

A (z)

является

(B)

суммируемым вообще и

(

B

)

расходящимся вообще .

z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})

z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}

Обратите внимание, что $(B)$ суммируемость для зависит от природы точки. $z\in \partial \Pi _{A}$

Пример 1

Пусть $ω i \in C$ обозначает корни степени $m$ из единицы, $i = 1, ..., m$ , и рассмотрим

{\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}

которая сходится на $B (0,1) \subset C.$ Рассматриваемая как функция на $C$ , $A (z)$ имеет особенности в $S A = {ω i : i = 1, ..., m}$ , и, следовательно, многоугольник Бореля задается правильным m -угольником с центром в начале координат, и таким, что $1 \in$ $C$ является средней точкой ребра. $\Pi _{A}$

Пример 2

Официальная серия

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}},

сходится для всех (например, по тесту сравнения с геометрической прогрессией). Однако можно показать ^[2] , что $A$ не сходится ни для какой точки $z$ $\in$ $C$ такой, что $z$ $2$ $n$ $= 1$ для некоторого $n$ . Поскольку множество таких $z$ плотно в единичной окружности, не может быть аналитического расширения $A$ за пределы $B$ $(0,1)$ . Следовательно, наибольшая звездная область, на которую $A$ может быть аналитически продолжена, равна $S$ $=$ $B$ $(0,1)$ , откуда (с помощью второго определения) получаем . В частности, видно, что многоугольник Бореля не является многоугольным. $|z|<1$ $\Pi _{A}=B(0,1)$

Тауберова теорема

Тауберова теорема дает условия, при которых сходимость одного метода суммирования влечет сходимость другого метода. Основная тауберова теорема ^[1] для суммирования Бореля дает условия, при которых слабый метод Бореля влечет сходимость ряда.

Теорема (Харди 1992, 9.13). Если

A

(wB)

суммируемо в точке

z 0 \in C

, и

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,

тогда , и ряд сходится для всех

|

z

| < |

z

0

|

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

Приложения

Суммирование Бореля находит применение в разложениях возмущений в квантовой теории поля. В частности, в двумерной евклидовой теории поля функции Швингера часто могут быть восстановлены из их рядов возмущений с помощью суммирования Бореля (Glimm & Jaffe 1987, стр. 461). Некоторые из особенностей преобразования Бореля связаны с инстантонами и ренормаллонами в квантовой теории поля (Weinberg 2005, 20.7).

Обобщения

Суммирование Бореля требует, чтобы коэффициенты не росли слишком быстро: точнее, $a n$ должно быть ограничено $n! C n +1$ для некоторого $C$ . Существует разновидность суммирования Бореля, которая заменяет факториалы $n!$ на $(kn)!$ для некоторого положительного целого числа $k$ , что позволяет суммировать некоторые ряды с $a n ,$ ограниченным $(kn)! C n +1$ для некоторого $C$ . Это обобщение дается суммированием Миттаг-Леффлера .

В самом общем случае суммирование Бореля обобщается пересуммированием Нахбина , которое можно использовать, когда ограничивающая функция имеет некоторый общий тип (пси-тип), а не экспоненциальный тип .

Смотрите также

Примечания

^ ab Hardy, GH (1992). Расходящиеся ряды . AMS Chelsea, Род-Айленд.
^ "Естественная граница". MathWorld . Получено 19 октября 2016 г.

Ссылки

Борель, Э. (1899), «Мемуар о расходящихся сериях», Ann. наук. Эк. Норм. Супер. , Серия 3, 16 : 9–131, doi : 10.24033/asens.463
Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4728-9, ISBN 978-0-387-96476-8, МР 0887102
Харди, Годфри Гарольд (1992) [1949], серия «Дивергент», Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8218-2649-2, МР 0030620
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978), Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов , Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, МР 0493421
Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексного переменного. I. Голоморфные функции , П. Нордхофф, Гронинген, MR 0113988
Вайнберг, Стивен (2005), Квантовая теория полей. , т. II, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4, г-н 2148467
Захаров, А.А. (2001) [1994], "Метод суммирования Бореля", Энциклопедия математики , Издательство EMS