Проще говоря, это метод преобразования полиномиального уравнения степени с некоторыми ненулевыми промежуточными коэффициентами , так что некоторые или все преобразованные промежуточные коэффициенты равняются точно нулю.
где по модулю . То есть любой элемент является полиномом из , который, таким образом, является примитивным элементом из . В : будут и другие варианты выбора примитивного элемента : для любого такого выбора мы по определению будем иметь:
,
с полиномами и более . Теперь, если является минимальным полиномом для более , мы можем вызвать преобразование Чирнхауза .
Поэтому множество всех преобразований Чирнхауза неприводимого многочлена следует описывать как пробегающее все способы изменения , но оставляющее то же самое. Эта концепция используется, например, при приведении квинтик к форме Бринга – Джеррарда . Существует связь с теорией Галуа , когда Галуа является расширением . Тогда группу Галуа можно рассматривать как все преобразования Чирнхауза в себя.
История
В 1683 году Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус опубликовал метод переписывания многочлена такой степени, что члены и имеют нулевые коэффициенты. В своей статье Чирнхаус сослался на метод Рене Декарта , позволяющий уменьшить квадратичный многочлен так, чтобы этот член имел нулевой коэффициент.
В 1786 году эта работа была расширена Эрландом Сэмюэлем Брингом, который показал, что любой общий полином пятой степени можно уменьшить аналогичным образом.
В 1834 году Джордж Джеррард еще больше расширил работу Чирнхауса, показав, что преобразование Чирнхауса можно использовать для исключения , и для общего полинома степени . [3]
^ аб фон Чирнхаус, Эренфрид Вальтер; Грин, РФ (01.03.2003). «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения». Бюллетень ACM SIGSAM . 37 (1): 1–3. дои : 10.1145/844076.844078 . ISSN 0163-5824. S2CID 18911887.
^ ab CB Boyer (1968) История математики . Уайли, Нью-Йорк, стр. 472–473. Как сообщает : Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация Чирнхаузена». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 февраля 2022 г.