stringtranslate.com

Проверенные числовые данные

Проверенные числовые данные , или строгое вычисление , проверенное вычисление , надежное вычисление , численная проверка ( нем . Zuverlässiges Rechnen ) — это числовые данные, включающие математически строгую оценку погрешности (ошибка округления, ошибка усечения, ошибка дискретизации), и это одна из областей численного анализа . Для вычислений используется интервальная арифметика , и все результаты представлены интервалами. Проверенные числовые данные использовались Уориком Такером для решения 14-й проблемы Смейла [1] , и сегодня они признаны мощным инструментом для изучения динамических систем [2] .

Важность

Вычисление без проверки может привести к плачевным результатам. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример Рампа

В 1980-х годах Рамп привел пример. [3] [4] Он создал сложную функцию и попытался получить ее значение. Результаты с одинарной точностью, двойной точностью, расширенной точностью казались правильными, но ее знак плюс-минус отличался от истинного значения.

Фантомное решение

Брейер–Плум–Маккенна использовали спектральный метод для решения краевой задачи уравнения Эмдена и сообщили, что было получено асимметричное решение. [5] Этот результат исследования противоречил теоретическому исследованию Гидаса–Ни–Ниренберга, который утверждал, что асимметричного решения не существует. [6] Решение, полученное Брейером–Плумом–Маккенной, было фантомным решением, вызванным ошибкой дискретизации. Это редкий случай, но он говорит нам, что когда мы хотим строго обсуждать дифференциальные уравнения, численные решения должны быть проверены.

Несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками

Следующие примеры известны как несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками:

Основные темы

Изучение проверенных числовых данных делится на следующие области:

Инструменты

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Такер, Уорик . (1999). «Аттрактор Лоренца существует». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия I-Mathematics , 328 (12), 1197–1202.
  2. ^ Зин Араи, Хироши Кокубу, Павел Пиларчик. Современные разработки в области строгих вычислительных методов в динамических системах.
  3. ^ Рамп, Зигфрид М. (1988). «Алгоритмы для проверенных включений: теория и практика». В «Надежность в вычислениях » (стр. 109–126). Academic Press.
  4. ^ Лох, Юджин; Уолстер, Г. Уильям (2002). Повторный пример Рампа. Reliable Computing, 8(3), 245-248.
  5. ^ Брейер, Б.; Плам, Майкл; Маккенна, Патрик Дж. (2001). «Включения и доказательства существования решений нелинейной краевой задачи спектральными численными методами». В Topics in Numerical Analysis (стр. 61–77). Springer, Вена.
  6. ^ Гидас, Б.; Ни, Вэй-Мин; Ниренберг, Луис (1979). «Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума». Сообщения по математической физике , 68(3), 209–243.
  7. ^ «Провал ракеты Patriot».
  8. ^ Авария рейса 501 ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
  9. ^ Ошибка округления меняет состав парламента
  10. ^ Ямамото, Т. (1984). Границы погрешности для приближенных решений систем уравнений. Японский журнал прикладной математики, 1(1), 157.
  11. ^ Оиси, С., и Рамп, С.М. (2002). Быстрая проверка решений матричных уравнений. Числовая математика, 90 (4), 755–773.
  12. ^ Ямамото, Т. (1980). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. Нумерическая математика, 34 (2), 189–199.
  13. ^ Ямамото, Т. (1982). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. II. Численная математика, 40 (2), 201–206.
  14. ^ Майер, Г. (1994). Проверка результатов для собственных векторов и собственных значений. Темы в проверенных вычислениях, Elsevier, Амстердам, 209-276.
  15. ^ Огита, Т. (2008). Проверенное численное вычисление определителя матрицы. SCAN'2008 Эль-Пасо, Техас, 29 сентября – 3 октября 2008 г., 86.
  16. ^ Шинья Миядзима, Проверенное вычисление для эрмитового положительно определенного решения сопряженного дискретного алгебраического уравнения Риккати, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 350, страницы 80-86, апрель 2019 г.
  17. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для минимального неотрицательного решения несимметричного алгебраического уравнения Риккати, Вычислительная и прикладная математика, том 37, выпуск 4, страницы 4599-4610, сентябрь 2018 г.
  18. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для решения уравнения Сильвестра T-конгруэнции, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 35, выпуск 2, страницы 541-551, июль 2018 г.
  19. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для решения квадратного матричного уравнения, Электронный журнал линейной алгебры, том 34, страницы 137-151, март 2018 г.
  20. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для решений алгебраических уравнений Риккати, возникающих в теории переноса, Численная линейная алгебра с приложениями, том 24, выпуск 5, страницы 1-12, октябрь 2017 г.
  21. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для стабилизации решений дискретных алгебраических уравнений Риккати, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 319, страницы 352-364, август 2017 г.
  22. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для решений непрерывных алгебраических уравнений Риккати, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 32, выпуск 2, страницы 529-544, июль 2015 г.
  23. ^ Рамп, Зигфрид М. (2014). Проверенные точные границы для действительной гамма-функции во всем диапазоне с плавающей точкой. Нелинейная теория и ее приложения, IEICE, 5(3), 339-348.
  24. ^ Яманака, Наоя; Окаяма, Томоаки; Оиси, Синъити (2015, ноябрь). Проверенные границы погрешности для действительной гамма-функции с использованием двойной экспоненциальной формулы на полубесконечном интервале. На Международной конференции по математическим аспектам компьютерных и информационных наук (стр. 224-228). Springer.
  25. ^ Йоханссон, Фредрик (2019). Численная оценка эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм. В Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular Forms in Quantum Field Theory (стр. 269-293). Springer, Cham.
  26. ^ Йоханссон, Фредрик (2019). Строгое вычисление гипергеометрических функций. Труды ACM по математическому программному обеспечению (TOMS), 45(3), 30.
  27. ^ Йоханссон, Фредрик (2015). Строгое высокоточное вычисление дзета-функции Гурвица и ее производных. Численные алгоритмы, 69(2), 253-270.
  28. ^ Миядзима, С. (2018). Быстрое проверенное вычисление для главного корня матрицы pth. en :Journal of Computational and Applied Mathematics , 330, 276-288.
  29. ^ Миядзима, С. (2019). Проверенное вычисление главного логарифма матрицы. Линейная алгебра и ее приложения, 569, 38-61.
  30. ^ Миядзима, С. (2019). Проверенное вычисление матричной экспоненты. Успехи вычислительной математики, 45(1), 137-152.
  31. ^ Йоханссон, Фредрик (2017). Arb: эффективная арифметика интервалов средней точки и радиуса произвольной точности. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.
  32. ^ Йоханссон, Фредрик (2018, июль). Численное интегрирование в арифметике шаров произвольной точности. В Международном конгрессе по математическому программному обеспечению (стр. 255-263). Springer, Cham.
  33. ^ Йоханссон, Фредрик; Меццаробба, Марк (2018). Быстрое и строгое вычисление произвольной точности квадратурных узлов и весов Гаусса-Лежандра. Журнал SIAM по научным вычислениям , 40(6), C726-C747.
  34. ^ Эберхард Цейдлер , Нелинейный функциональный анализ и его приложения IV. Springer Science & Business Media .
  35. ^ Мицухиро Т. Накао, Майкл Плам, Ёситака Ватанабэ (2019) Методы численной проверки и компьютерные доказательства для уравнений в частных производных (серия Спрингера по вычислительной математике).
  36. ^ Оиси, Шиничи; Танабэ, Кунио (2009). Численное включение оптимальной точки для линейного программирования. JSIAM Letters, 1, 5-8.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки