В математике , а точнее в проективной геометрии , проективный фрейм или проективный базис — это набор точек в проективном пространстве , который может быть использован для определения однородных координат в этом пространстве. Точнее, в проективном пространстве размерности n проективный фрейм — это набор точек размером n + 2, такой, что ни одна гиперплоскость не содержит n + 1 из них. Проективный фрейм иногда называют симплексом , [1] хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин.
В данной статье рассматриваются только проективные пространства над полем K , хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над телом .
Пусть P ( V ) — проективное пространство размерности n , где V — векторное пространство K размерности n + 1. Пусть — каноническая проекция, которая отображает ненулевой вектор v в соответствующую точку P ( V ) , которая является векторной прямой, содержащей v .
Каждый кадр P ( V ) можно записать как для некоторых векторов V . Определение подразумевает существование ненулевых элементов K таких , что . Заменяя на для и на , получаем следующую характеристику кадра:
Более того, два базиса определяют один и тот же фрейм таким образом, если и только если элементы второго являются произведениями элементов первого на фиксированный ненулевой элемент K.
Так как гомографии P ( V ) индуцируются линейными эндоморфизмами V , то отсюда следует, что для двух фреймов существует ровно одна гомография, отображающая первый на второй. В частности, единственной гомографией, фиксирующей точки фрейма, является тождественное отображение . Этот результат гораздо сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются через аксиомы). Иногда его называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии . [2]
Каждый кадр можно записать как , где — базис V. Проективные координаты или однородные координаты точки p ( v ) над этим кадром — это координаты вектора v на базисе Если изменить векторы, представляющие точку p ( v ), и элементы кадра, координаты умножаются на фиксированный ненулевой скаляр.
Обычно рассматривается проективное пространство P n ( K ) = P ( K n +1 ) . Оно имеет каноническую рамку, состоящую из образа p канонического базиса K n +1 (состоящего из элементов, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1), и (1, 1, ..., 1) . На этой основе однородные координаты p ( v ) являются просто элементами (коэффициентами) v .
Если дано другое проективное пространство P ( V ) той же размерности n и его фрейм F , то существует ровно одна гомография h , отображающая F на канонический фрейм P ( K n +1 ) . Проективные координаты точки a на фрейме F являются однородными координатами h ( a ) на каноническом фрейме P n ( K ) .
В случае проективной прямой рамка состоит из трех различных точек. Если P 1 ( K ) отождествляется с K с добавлением точки на бесконечности ∞ , то ее каноническая рамка — это (∞, 0, 1) . Для любой рамки ( a 0 , a 1 , a 2 ) проективные координаты точки a ≠ a 0 равны ( r , 1) , где r — это перекрестное отношение ( a , a 2 ; a 1 , a 0 ) . Если a = a 0 , перекрестное отношение равно бесконечности, а проективные координаты равны (1,0) .
