Действие Прока

Действие массивного абелева калибровочного поля

В физике , в частности в теории поля и физике элементарных частиц , действие Прока описывает массивное поле спина -1 массы m в пространстве-времени Минковского . Соответствующее уравнение представляет собой релятивистское волновое уравнение , называемое уравнением Прока . ^[1] Действие и уравнение Прока названы в честь румынского физика Александру Прока .

Уравнение Прока входит в Стандартную модель и описывает три массивных векторных бозона , то есть Z- и W-бозоны.

В данной статье используется метрическая сигнатура (+−−−) и обозначение тензорного индекса на языке 4-векторов .

Плотность Лагранжа

Поле, о котором идет речь, представляет собой комплексный 4-потенциал , где — это своего рода обобщенный электрический потенциал , а — обобщенный магнитный потенциал . Поле преобразуется как комплексный 4-вектор . ${\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle B^{\mu }}$

Плотность Лагранжа определяется по формуле: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

где — скорость света в вакууме , — приведенная постоянная Планка , — 4-градиент . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Уравнение

Уравнение движения Эйлера–Лагранжа для этого случая, также называемое уравнением Прока , имеет вид:

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

что эквивалентно конъюнкции ^[3]

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

с (в массивном случае)

${\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}$

что можно назвать обобщенным условием калибровки Лоренца . Для ненулевых источников, со всеми включенными фундаментальными константами, уравнение поля имеет вид:

${\displaystyle c{{\mu }_{0}}{{j}^{\nu }}=\left({{g}^{\mu \nu }}\left({{\partial }_{\sigma }}{{\partial }^{\sigma }}+{{m}^{2}}{{c}^{2}}/{{\hbar }^{2}}\right)-{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\right){{B}_{\mu }}}$

Когда , уравнения без источника сводятся к уравнениям Максвелла без заряда или тока, а вышеприведенное сводится к уравнению заряда Максвелла. Это уравнение поля Прока тесно связано с уравнением Клейна–Гордона , поскольку оно второго порядка в пространстве и времени. ${\displaystyle m=0}$

В нотации векторного исчисления уравнения, не имеющие источника, имеют вид:

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}$

и является оператором Даламбера . ${\displaystyle \Box }$

Крепление датчика

Действие Прока — это калибровочно-фиксированная версия действия Штюкельберга через механизм Хиггса . Квантование действия Прока требует использования ограничений второго рода .

Если , то они не инвариантны относительно калибровочных преобразований электромагнетизма ${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

где — произвольная функция. ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Электромагнитное поле
• Фотон
• Квантовая электродинамика
• Квантовая гравитация
• Векторный бозон
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Клейна-Гордона (спин 0)
• Уравнение Дирака (спин 1/2)

Ссылки

1. Физика элементарных частиц (2-е издание), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-470-03294-7
2. В. Грейнер, «Релятивистская квантовая механика», Springer, стр. 359, ISBN 3-540-67457-8 
3. Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

Дальнейшее чтение

• Суперсимметрия Демистифицирована, П. Лабелль, McGraw–Hill (США), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4 
• Квантовая теория поля, Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика Демистифицирована, Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9