Пространство петли

Топологическое пространство

В топологии , разделе математики , пространство петель Ω X топологического пространства с точкой X является пространством (базированных) петель в X , т. е. непрерывных пунктированных отображений из пунктированной окружности S ¹ в X , снабженных компактно-открытой топологией . Две петли можно умножить путем конкатенации . С помощью этой операции пространство петель является A ∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .

Множество компонентов пути Ω X , т.е. множество классов эквивалентности базисных гомотопий базисных петель в X , является группой , фундаментальной группой π ₁ ( X ).

Пространства итерированных циклов X образуются путем применения Ω несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Свободное пространство петель топологического пространства X — это пространство отображений из окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как . ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

Как функтор , конструкция свободного пространства петель является сопряженной справа к декартову произведению с окружностью, в то время как конструкция пространства петель является сопряженной справа к редуцированной подвеске . Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной гомотопической теории . (Связанное с этим явление в информатике — каррирование , где декартово произведение является сопряженным к функтору hom .) Неформально это называется двойственностью Экмана–Хилтона .

Двойственность Экмана–Хилтона

Пространство петли двойственно подвеске того же пространства; эта двойственность иногда называется двойственностью Экмана–Хилтона . Основное наблюдение заключается в том, что

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

где — множество гомотопических классов отображений , а — надстройка A, а обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм по сути является каррированием по модулю частных, необходимых для преобразования произведений в редуцированные произведения. ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \approxeq }$

В общем случае не имеет групповой структуры для произвольных пространств и . Однако можно показать, что и имеют естественные групповые структуры, когда и указываются , и вышеупомянутый изоморфизм относится к этим группам. ^[1] Таким образом, установка ( сфера) дает соотношение ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$ ${\displaystyle [Z,\Omega X]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z=S^{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

Это следует из того, что гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены посредством подвешивания друг друга, т.е. [ ^2] ${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

Смотрите также

• Периодичность Ботта
• Пространство Эйленберга–Маклейна
• Свободный цикл
• Основная группа
• Гипотеза Грея
• Список топологий
• Группа циклов
• Путь (топология)
• Квазигруппа
• Спектр (топология)
• Пространство путей (алгебраическая топология)

Ссылки

1. May, JP (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , U. Chicago Press, Чикаго , получено 27 августа 2016 г. (См. главу 8, раздел 2)
2. Топопространства wiki – Пространство петель базового топологического пространства

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные циклические пространства, Annals of Mathematics Studies, т. 90, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, МР  0505692
• Мэй, Дж. Питер (1972), Геометрия пространств итерированных циклов, Lecture Notes in Mathematics, т. 271, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067491, ISBN 978-3-540-05904-2, МР  0420610