Прямая задача электрокардиологии

Имитация реалистичного сердцебиения.

Схематическая диаграмма нормального синусового ритма сердца человека, отображаемая на ЭКГ.

Прямая задача электрокардиологии — это вычислительный и математический подход к изучению электрической активности сердца через поверхность тела. ^[1] Основная цель этого исследования — вычислительное воспроизведение электрокардиограммы (ЭКГ), которая имеет важное клиническое значение для определения патологий сердца, таких как ишемия и инфаркт , или для проверки фармацевтического вмешательства. Учитывая их важные функциональные возможности и относительно небольшую инвазивность, методы электрокардиографии довольно часто используются в качестве клинических диагностических тестов . Таким образом, естественно перейти к вычислительному воспроизведению ЭКГ, что означает математическое моделирование поведения сердца внутри тела. ^[1]

Три основные части прямой модели ЭКГ:

• модель электрической активности сердца;
• модель диффузии электрического потенциала внутри туловища, представляющая экстракардиальную область;
• некоторые специфические состояния связи сердца и туловища. ^[2]

Таким образом, для получения ЭКГ необходимо рассмотреть математическую электрическую модель сердца в сочетании с диффузионной моделью в пассивном проводнике , которая описывает распространение электричества внутри туловища . ^[1]

Связанная модель обычно представляет собой трехмерную модель, выраженную в терминах уравнений с частными производными . Такая модель обычно решается с помощью метода конечных элементов для пространственной эволюции решения и полунеявных численных схем, включающих конечные разности для временной эволюции решения. Однако вычислительные затраты таких методов, особенно при трехмерном моделировании, довольно высоки. Таким образом, часто рассматриваются упрощенные модели, решающие, например, электрическую активность сердца независимо от проблемы на туловище. Чтобы обеспечить реалистичные результаты, необходимо использовать трехмерные анатомически реалистичные модели сердца и туловища. ^[1]

Другим возможным упрощением является динамическая модель, состоящая из трех обыкновенных дифференциальных уравнений . ^[3]

Модели сердечной ткани

Электрическая активность сердца обусловлена ​​потоком ионов через клеточную мембрану , между внутриклеточным и внеклеточным пространством, что определяет волну возбуждения вдоль сердечной мышцы , которая координирует сокращение сердца и, таким образом, насосное действие сердца, которое позволяет ему проталкивать кровь через кровеносную систему . Моделирование электрической активности сердца, таким образом, связано с моделированием потока ионов на микроскопическом уровне и с распространением волны возбуждения вдоль мышечных волокон на макроскопическом уровне. ^{[1] [4]}

Между математической моделью на макроскопическом уровне Виллем Эйнтховен и Август Уоллер определили ЭКГ через концептуальную модель диполя, вращающегося вокруг фиксированной точки, проекция которого на ось отведения определяла записи отведений. Затем двумерная реконструкция сердечной активности во фронтальной плоскости стала возможной с использованием отведений конечностей Эйнтховена I, II и III в качестве теоретической основы. ^[5] Позднее вращающийся сердечный диполь был признан неадекватным и был заменен многополярными источниками, движущимися внутри ограниченной области туловища. Основным недостатком методов, используемых для количественной оценки этих источников, является отсутствие в них деталей, которые, однако, очень важны для реалистичного моделирования сердечных явлений. ^[4]

С другой стороны, микроскопические модели пытаются представить поведение отдельных клеток и связать их, учитывая их электрические свойства. ^{[6] [7] [8]} Эти модели представляют некоторые проблемы, связанные с различными масштабами, которые необходимо охватить, в частности, учитывая, что, особенно для крупномасштабных явлений, таких как повторный вход или поверхностный потенциал тела, коллективное поведение клеток важнее, чем поведение каждой отдельной клетки. ^[4]

Третий вариант моделирования электрической активности сердца заключается в рассмотрении так называемого «подхода middle-out», когда модель включает как более низкий, так и более высокий уровень детализации. Этот вариант рассматривает поведение блока клеток, называемого континуальной клеткой, что позволяет избежать проблем масштаба и детализации. Полученная модель называется бидоменной моделью , которую часто заменяют ее упрощением — монодоменной моделью . ^[4]

Модель бидомена

Стилизованное изображение человеческого торса, описывающее область и обозначение, рассматриваемые для прямой задачи электрокардиографии. Рассматриваются две разделенные области и их граница, которые представляют сердце и человеческий торс вокруг него.

Основное предположение модели бидомена заключается в том, что сердечная ткань может быть разделена на две омически проводящие непрерывные среды, соединенные, но разделенные клеточной мембраной. Эти среды называются внутриклеточными и внеклеточными областями, первая представляет клеточные ткани, а вторая — пространство между клетками. ^{[2] [1]}

Стандартная формулировка модели бидомена, включая динамическую модель для ионного тока, выглядит следующим образом ^[2] где и являются трансмембранным и внеклеточным потенциалами соответственно, является ионным током, который зависит также от так называемой переменной гейтинга (учитывая ионное поведение на клеточном уровне), а является внешним током, приложенным к домену. Более того, и являются тензорами внутриклеточной и внеклеточной проводимости, является отношением поверхности к объему клеточной мембраны и является емкостью мембраны на единицу площади. Здесь домен представляет сердечную мышцу. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle u_{e}}$ ${\displaystyle I_{\text{ion}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle I_{\text{app}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{H}}$

Граничные условия для этой версии модели бидомена получены посредством предположения об отсутствии потока внутриклеточного потенциала за пределами сердца, что означает, что где обозначает границу области сердца, а — внешняя единица, нормальная к . ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma }$$ ${\displaystyle \Sigma =\partial \Omega _{H}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Монодоменная модель

Модель монодомена представляет собой упрощение модели бидомена, которая, несмотря на некоторые нефизиологические предположения, способна представлять реалистичные электрофизиологические явления, по крайней мере, в том, что касается трансмембранного потенциала . ^{[2] [1]} ${\displaystyle V_{m}}$

Стандартная формулировка представляет собой следующее уравнение в частных производных, единственным неизвестным которого является трансмембранный потенциал: где — параметр, связывающий тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости. ^[2] ${\displaystyle V_{m}}$ $${\displaystyle \chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}}$$ ${\displaystyle \lambda }$

Граничное условие, используемое для этой модели, следующее ^[9] $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.}$$

Модель ткани туловища

В прямой задаче электрокардиографии туловище рассматривается как пассивный проводник, и его модель может быть выведена на основе уравнений Максвелла в квазистатическом предположении. ^{[1] [2]}

Стандартная формулировка состоит из частного дифференциального уравнения с одним неизвестным скалярным полем, потенциалом туловища . По сути, модель туловища представляет собой следующее обобщенное уравнение Лапласа , где — тензор проводимости, а — область, окружающая сердце, т. е. туловище человека. ^[2] ${\displaystyle u_{T}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}}$ ${\displaystyle \Omega _{T}}$

Вывод

Что касается модели бидомена, то модель торса может быть выведена из уравнений Максвелла и уравнения непрерывности после некоторых допущений. Прежде всего, поскольку электрическая и магнитная активность внутри тела генерируется на низком уровне, можно рассмотреть квазистатическое предположение. Таким образом, тело можно рассматривать как пассивный проводник, что означает, что его емкостный, индуктивный и распространяющий эффект можно игнорировать. ^[1]

В квазистатическом предположении уравнения Максвелла имеют вид ^[1] , а уравнение непрерывности имеет вид ^[1] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

Поскольку его ротор равен нулю, электрическое поле можно представить градиентом скалярного потенциального поля, потенциалом туловища

где отрицательный знак означает, что ток течет из областей с более высоким потенциалом в области с более низким. ^[1]

Тогда общая плотность тока может быть выражена через ток проводимости и другие различные приложенные токи, так что из уравнения непрерывности следует, ^[1]

Затем, подставляя ( 1 ) в ( 2 ) $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{\text{app}}=I_{v}}$$

где — ток на единицу объема. ^[1] ${\displaystyle I_{v}}$

Наконец, поскольку, кроме сердца, внутри туловища нет других источников тока, ток на единицу объема можно установить равным нулю, что дает обобщенное уравнение Лапласа, которое представляет собой стандартную формулировку диффузионной задачи внутри туловища ^[1] $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.}$$

Граничное условие

Граничные условия учитывают свойства среды, окружающей туловище, т.е. воздуха вокруг тела. Обычно воздух имеет нулевую проводимость, что означает, что ток не может течь снаружи туловища. Это переводится в следующее уравнение ^[1] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}}$$

где — единичная внешняя нормаль к туловищу, а — граница туловища, то есть поверхность туловища. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {n} _{T}}$ ${\displaystyle \Gamma _{T}}$

Проводимость туловища

Обычно считается, что торс имеет изотропную проводимость, что означает, что ток течет одинаково во всех направлениях. Однако торс не является пустой или однородной оболочкой, а содержит различные органы, характеризующиеся различными коэффициентами проводимости, которые могут быть получены экспериментально. Простой пример параметров проводимости в торсе, который учитывает кости и легкие, приведен в следующей таблице. ^[2]

Модели сердце-торс

Связь между моделью электрической активности и моделью туловища достигается посредством подходящих граничных условий на эпикарде, т.е. на поверхности интерфейса между сердцем и туловищем. ^{[1] [2]}

Модель сердце-торс может быть полностью связана, если рассматривается идеальная электрическая передача между двумя доменами, или может быть не связана, если электрическая модель сердца и модель торса решаются отдельно с ограниченным или несовершенным обменом информацией между ними. ^[2]

Полностью соединенные модели сердца и туловища

Полная связь между сердцем и туловищем достигается путем наложения идеального условия электрической передачи между сердцем и туловищем. Это делается с учетом следующих двух уравнений, которые устанавливают связь между внеклеточным потенциалом и потенциалом туловища ^[2] Эти уравнения обеспечивают непрерывность как потенциала, так и тока через эпикард. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{e}&=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{\text{on }}\Sigma .\end{aligned}}}$$

Используя эти граничные условия, можно получить две различные полностью связанные модели сердце-торс, рассматривая либо бидоменную, либо монодоменную модель для электрической активности сердца. С численной точки зрения, обе модели являются вычислительно очень дорогими и имеют схожие вычислительные затраты. ^[2]

Альтернативные граничные условия

Граничные условия, которые представляют собой идеальную электрическую связь между сердцем и туловищем, являются наиболее используемыми и классическими. Однако между сердцем и туловищем находится перикард , мешок с двойной стенкой, содержащий серозную жидкость, которая оказывает специфическое влияние на электрическую передачу. Учитывая емкость и резистивный эффект перикарда, альтернативные граничные условия, которые учитывают этот эффект, можно сформулировать следующим образом ^[10] ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle R_{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{p}{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &=R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad &{\text{on }}\Sigma \end{aligned}}}$$

Формулировка с использованием бидоменной модели

Полностью связанная модель сердца и туловища, рассматривающая бидоменную модель для электрической активности сердца, в своей полной форме выглядит следующим образом ^[2], где первые четыре уравнения являются частными дифференциальными уравнениями, представляющими бидоменную модель, ионную модель и модель туловища, в то время как остальные представляют граничные условия для бидоменной модели и модели туловища и условия связи между ними. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}}$$

Формулировка с использованием модели монодомена

Полностью связанная модель сердце-торс, рассматривающая модель монодомена для электрической активности сердца, сложнее, чем проблема бидомена. Действительно, условия связи связывают потенциал торса с внеклеточным потенциалом, который не вычисляется моделью монодомена. Таким образом, необходимо использовать также второе уравнение модели бидомена (при тех же предположениях, при которых выводится модель монодомена), что дает: ^[2] $${\displaystyle \nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.}$$

Таким образом, условия сопряжения не нужно менять, и полная модель сердца и туловища состоит из двух различных блоков: ^[2]

• Сначала необходимо решить монодоменную модель с ее обычным граничным условием: $${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• Затем необходимо решить связанную модель, включающую вычисление внеклеточного потенциала, модель туловища и условия сопряжения: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$

Несвязанные модели сердца и туловища

Полностью связанные модели сердца и туловища являются очень подробными моделями, но они также требуют больших вычислительных затрат для решения. ^[2] Возможное упрощение обеспечивается так называемым несвязанным предположением , в котором сердце считается полностью электрически изолированным от сердца. ^[2] Математически это делается путем предположения, что ток не может течь через эпикард, от сердца к туловищу, а именно ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma .}$$

Применяя это уравнение к граничным условиям полностью связанных моделей, можно получить две несвязанные модели сердца и туловища, в которых электрические модели могут быть решены отдельно от модели туловища, что снижает вычислительные затраты. ^[2]

Несвязанная модель сердца и туловища с бидоменной моделью

Несвязанная версия полностью связанной модели сердца и туловища, которая использует бидомен для представления электрической активности сердца, состоит из двух отдельных частей: ^[2]

• Бидоменная модель в изолированном виде $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma .\end{cases}}}$$
• Диффузионная модель туловища в ее стандартной формулировке с условием потенциальной непрерывности $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

Несвязанная модель сердца и туловища с моделью модомена

Как и в случае полностью связанной модели сердца-торса, которая использует модель монодомена, в соответствующей несвязанной модели также необходимо вычислить внеклеточный потенциал. В этом случае необходимо решить три различные и независимые проблемы: ^[2]

• Модель монодомена с обычным граничным условием: $${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• Задача вычисления внеклеточного потенциала с граничным условием на эпикарде, предписывающим отсутствие внутриклеточного тока: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$
• Диффузионная модель туловища с граничным условием потенциальной непрерывности на эпикарде: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

Расчет электрокардиограммы

Прекардиальные отведения на ЭКГ

Решение полностью связанных или несвязанных моделей сердце-торс позволяет получить электрический потенциал, генерируемый сердцем в каждой точке человеческого торса, и в частности на всей поверхности торса. Определяя положения электродов на торсе, можно найти временную эволюцию потенциала в таких точках. Затем электрокардиограммы могут быть вычислены, например, по 12 стандартным отведениям, учитывая следующие формулы ^[2] где и являются стандартными положениями электродов. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {I} &=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\\mathrm {II} &=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots ,6\end{cases}}}$$ ${\displaystyle u_{W}=(u_{T}(L)+u_{T}(R)+u_{T}(F))/3}$ ${\displaystyle L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1}^{6}}$

Численные методы

Модели сердце-торс выражаются в терминах уравнений с частными производными , неизвестные которых являются функцией как пространства, так и времени. Они, в свою очередь, связаны с ионной моделью, которая обычно выражается в терминах системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Для решения этих задач можно использовать различные численные схемы. Обычно для дискретизации пространства применяется метод конечных элементов , а для дискретизации времени — полунеявные конечно-разностные схемы. ^{[1] [2]}

Несвязанные модели сердце-торс являются наиболее простыми для численного анализа, поскольку электрическая модель сердца может быть решена отдельно от модели туловища, так что могут быть применены классические численные методы для решения каждой из них. Это означает, что бидоменные и монодоменные модели могут быть решены, например, с помощью формулы обратной дифференциации для дискретизации по времени, в то время как проблемы вычисления внеклеточного потенциала и потенциала туловища могут быть легко решены путем применения только метода конечных элементов, поскольку они не зависят от времени. ^{[1] [2]}

Полностью связанные модели сердце-торс, напротив, более сложны и требуют более сложных числовых моделей. Например, полностью связанная модель сердце-торс, которая использует модель бидомена для электрической симуляции поведения сердца, может быть решена с использованием методов доменной декомпозиции , таких как доменная декомпозиция Дирихле-Неймана. ^{[2] [11]}

Геометрическая модель туловища

Трехмерная модель туловища, включающая большинство органов. ^[12]

Для моделирования электрокардиограммы с использованием полностью связанных или несвязанных моделей необходима трехмерная реконструкция человеческого торса. Сегодня диагностические методы визуализации, такие как МРТ и КТ, могут обеспечить достаточно точные изображения, которые позволяют детально реконструировать анатомические части человека и, таким образом, получить подходящую геометрию торса. Например, Visible Human Data ^[13] является полезным набором данных для создания трехмерной модели торса с подробным описанием внутренних органов, включая скелетную структуру и мышцы. ^[1]

Динамическая модель электрокардиограммы

Даже если результаты достаточно подробны, решение трехмерной модели обычно довольно затратно. Возможным упрощением является динамическая модель, основанная на трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнениях. ^[3]

Квазипериодичность сердечного ритма воспроизводится трехмерной траекторией вокруг притягивающего предельного цикла на плоскости. Главные пики ЭКГ, которые являются P, Q, R, S и T, описываются под фиксированными углами , что дает следующие три ОДУ ^[3] ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\alpha z-\omega y\\[1ex]y'&=\alpha y+\omega x\\[1ex]z'&=\textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{aligned}}}$$с , , ${\textstyle \alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta \theta _{i}=(\theta -\theta _{i}){\bmod {(}}2\pi )}$ ${\displaystyle \theta ={\text{atan}}2(y,x)}$

Уравнения можно легко решить с помощью классических численных алгоритмов, таких как методы Рунге-Кутты для ОДУ. ^[3]

Смотрите также

• Монодоменная модель
• Модель бидомена
• Электрокардиография

Ссылки

1. Пуллан, Эндрю Дж.; Буист, Мартин Л.; Ченг, Лео К. (2005). Математическое моделирование электрической активности сердца: от клетки к поверхности тела и обратно . World Scientific. ISBN 978-9812563736.
2. Boulakia, Мюриэль; Казо, Серж; Фернандес, Мигель А.; Жербо, Жан-Фредерик; Земземи, Неджиб (24 декабря 2009 г.). «Математическое моделирование электрокардиограмм: численное исследование» (PDF) . Анналы биомедицинской инженерии . 38 (3): 1071–1097. дои : 10.1007/s10439-009-9873-0. PMID  20033779. S2CID  10114284.
3. McSharry, PE; Clifford, GD; Tarassenko, L.; Smith, LA (март 2003 г.). «Динамическая модель для генерации синтетических сигналов электрокардиограммы». IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 50 (3): 289–294. CiteSeerX 10.1.1.65.2929 . doi :10.1109/TBME.2003.808805. PMID  12669985. S2CID  544816. 
4. Lines, GT; Buist, ML; Grottum, P.; Pullan, AJ; Sundnes, J.; Tveito, A. (1 июля 2002 г.). «Математические модели и численные методы для прямой задачи в электрофизиологии сердца». Computing and Visualization in Science . 5 (4): 215–239. doi :10.1007/s00791-003-0101-4. S2CID  123211416.
5. Эйнтховен, Уоллер (1903). «Гальванометрическая регистрация менструальных электрокардиограмм, zugleich eine Beurteilung der Anwendung des Capillarelektrometers in der Physiologie». Архив Пфлюгерса . 99 (9–10): 472–480. дои : 10.1007/BF01811855. S2CID  10400303.
6. Henriquez, CS; Plonsey, R. (1987). «Влияние резистивных разрывов на форму волны и скорость в одном сердечном волокне». Med. Biol. Eng. Comput . 25 (4): 428–438. doi :10.1007/BF02443364. PMID  3450994. S2CID  3038844.
7. Muller-Borer, BJ; Erdman, DJ; Buchanan, JW (1994). «Электрическая связь и распространение импульсов в анатомически моделированной желудочковой ткани». IEEE Trans. Biomed. Eng . 41 (5): 445–454. doi :10.1109/10.293219. PMID  8070804. S2CID  14407776.
8. Хрен, Р.; Ненонен, Дж.; Хорачек, Б. М. (1998). «Смоделированные карты эпикардиального потенциала во время стимулированной активации отражают волокнистую структуру миокарда». Annals of Biomedical Engineering . 26 (6): 1022–1035. doi :10.1114/1.73. PMID  9846940. S2CID  9978399.
9. Кинер, Джеймс; Снейд, Джеймс (2009). Математическая физиология 2009: системная физиология ii (2-е пересмотренное издание). Springer. ISBN 978-1-4939-3709-7.
10. Boulakia, Muriel; Fernández, Miguel A.; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (2007). "Towards the Numerical Simulation of Electrocardiograms". Функциональная визуализация и моделирование сердца . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4466. Springer. pp. 240–249. doi :10.1007/978-3-540-72907-5_25. ISBN 978-3-540-72906-8.
11. Фернандес, Мигель А.; Земземи, Неджиб (1 июля 2010 г.). «Разделенные схемы временного марширования в вычислительной кардиоэлектрофизиологии и численном моделировании ЭКГ» (PDF) . Mathematical Biosciences . 226 (1): 58–75. doi :10.1016/j.mbs.2010.04.003. ISSN  0025-5564. PMID  20416327. S2CID  8792966.
12. Феррер, Ана; Себастьян, Рафаэль; Санчес-Кинтана, Дамиан; Родригес, Хосе Ф.; Годой, Эдуардо Дж.; Мартинес, Лаура; Саис, Хавьер (2 ноября 2015 г.). «Детальные анатомические и электрофизиологические модели предсердий и туловища человека для моделирования активации предсердий». ПЛОС ОДИН . 10 (11): e0141573. Бибкод : 2015PLoSO..1041573F. дои : 10.1371/journal.pone.0141573 . ISSN  1932-6203. ПМЦ 4629897 . ПМИД  26523732. 
13. Spitzer, V.; Ackerman, MJ; Scherzinger, AL; Whitlock, D. (1 марта 1996 г.). «Видимый самец человека: технический отчет». Журнал Американской ассоциации медицинской информатики . 3 (2): 118–130. doi : 10.1136/jamia.1996.96236280 . PMC 116294. PMID  8653448 .