Равнодиагональный четырехугольник

Равнодиагональный четырехугольник, показывающий его равные диагонали, ромб Вариньона и перпендикулярные бимедианы

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , две диагонали которого имеют одинаковую длину. Равнодиагональные четырехугольники играли важную роль в древнеиндийской математике , где четырехугольники сначала классифицировались в зависимости от того, были ли они равнодиагоналями, а затем в более специализированные типы. ^[1]

Особые случаи

Примерами равнодиагональных четырёхугольников являются равнобедренные трапеции , прямоугольники и квадраты .

Равнодиагональный воздушный змей, максимизирующий отношение периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рело.

Среди всех четырехугольников, фигура, имеющая наибольшее отношение периметра к диаметру , — это равнодиагональный воздушный змей с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12. ^[2]

Характеристика

Выпуклый четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона , параллелограмм, образованный серединами его сторон, является ромбом . Эквивалентным условием является то, что бимедианы четырехугольника (диагонали параллелограмма Вариньона) перпендикулярны . ^[3]

Выпуклый четырехугольник с длинами диагоналей и и длинами бимедиан является равнодиагональным тогда и только тогда, когда ^{[4] : Предложение 1} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Область

Площадь K равнодиагонального четырехугольника можно легко вычислить , если известны длины бимедиан m и n . Четырехугольник равнодиагональный тогда и только тогда, когда ^{[5] : стр.19,   [4] : Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Это является прямым следствием того факта, что площадь выпуклого четырехугольника в два раза больше площади его параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырехугольника. Используя формулы для длин бимедиан , площадь также может быть выражена через стороны a, b, c, d равнодиагонального четырехугольника и расстояние x между серединами диагоналей как ^{[5] : стр.19}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Другие формулы площади можно получить, положив p = q в формулах площади выпуклого четырехугольника .

Связь с другими типами четырехугольников

Параллелограмм равнодиагонален тогда и только тогда, когда он является прямоугольником, ^[6] а трапеция равнодиагонален тогда и только тогда, когда она является равнобедренной трапецией . Вписанные равнодиагональные четырехугольники — это в точности равнобедренные трапеции.

Существует двойственность между равнодиагональными четырехугольниками и ортодиагональными четырехугольниками : четырехугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона является ортодиагональным (ромбом), а четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона является равнодиагональным (прямоугольником). ^[3] Эквивалентно, четырехугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда он имеет перпендикулярные бимедианы, и он имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда он имеет равные бимедианы. ^[7] Сильвестр (2006) приводит дальнейшие связи между равнодиагональными и ортодиагональными четырехугольниками с помощью обобщения теоремы ван Аубеля . ^[8]

Четырехугольники, которые являются как ортодиагональными, так и равнодиагональными, и в которых диагонали по крайней мере такой же длины, как все стороны четырехугольника, имеют максимальную площадь для своего диаметра среди всех четырехугольников, решая случай n  = 4 задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат является одним из таких четырехугольников, но есть бесконечно много других. Равнодиагональные, ортодиагональные четырехугольники были названы четырехугольниками середины квадрата ^{[4] : стр. 137,} потому что они единственные, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в серединах сторон четырехугольника) является квадратом. Такой четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d имеет площадь ^{[4] : Теор.16}

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).}$

Среднеквадратный параллелограмм — это в точности квадрат.

• 
  пример четырехугольника в середине квадрата
• 
  трапеция в форме середины квадрата
• 
  воздушный змей в форме середины квадрата
• 
  «среднеквадратный параллелограмм», квадрат

Ссылки

1. Коулбрук, Генри-Томас (1817), Алгебра с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары, Джон Мюррей, стр. 58.
2. Болл, Д.Г. (1973), «Обобщение числа π», Mathematical Gazette , 57 (402): 298–303, doi :10.2307/3616052, Гриффитс, Дэвид; Калпин, Дэвид (1975), «Пи-оптимальные многоугольники», Mathematical Gazette , 59 (409): 165–175, doi :10.2307/3617699.
3. de Villiers, Michael (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии, Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN 9780557102952.
4. Йозефссон, Мартин (2014), «Свойства равнодиагональных четырехугольников», Forum Geometricorum , 14 : 129–144.
5. Josefsson, Martin (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21.
6. Гердес, Паулюс (1988), «О культуре, геометрическом мышлении и математическом образовании», Образовательные исследования в области математики , 19 (2): 137–162, doi :10.1007/bf00751229, JSTOR  3482571.
7. Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25. См. в частности теорему 7 на стр. 19.
8. Сильвестр, Джон Р. (2006), «Расширения теоремы Ван Аубеля», The Mathematical Gazette , 90 (517): 2–12, JSTOR  3621406.

Внешние ссылки

• Свойство равнодиагонального четырехугольника, подобное свойству Ван Обеля, в Dynamic Geometry Sketches, интерактивных геометрических эскизах.