Радикальная ось

Все точки, относительные расстояния которых до двух окружностей одинаковы

  Два круга с центрами в точках М ₁ , М ₂

  Радикальная ось с точкой выборки P

  Тангенциальные расстояния от обеих окружностей до точки P

Касательные линии должны быть равны по длине для любой точки на радикальной оси: _Если P _, T1 , T2 лежат на общей касательной, то P является серединой ⁠ ⁠ ${\displaystyle |PT_{1}|=|PT_{2}|.}$ ${\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}.}$

В евклидовой геометрии радикальная ось двух неконцентрических окружностей — это множество точек, мощности которых по отношению к окружностям равны. По этой причине радикальная ось также называется линией мощности или биссектрисой мощности двух окружностей. Подробно:

Для двух окружностей c ₁ , c ₂ с центрами M ₁ , M ₂ и радиусами r ₁ , r ₂ мощности точки P относительно окружностей равны

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.}$

Точка P принадлежит радикальной оси, если

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P).}$

Если окружности имеют две общие точки, радикальная ось является общей секущей окружностей.
Если точка P находится вне окружностей, P имеет одинаковое тангенциальное расстояние до обеих окружностей.
Если радиусы равны, радикальная ось является отрезком биссектрисы M 1 _, M 2 _. В
любом случае радикальная ось является линией, перпендикулярной ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

О нотациях

Обозначение радикальной оси использовал французский математик М. Шасль как ось радикала . ^[1]
Ж. В. Понселе использовал хорду идеальную . ^[2]
Ж. Плюккер ввел термин хорда . ^[3]
И. Штейнер назвал радикальную ось линией равных мощностей ( нем . Linie der gleichen Potenzen ), которая вела к линии мощности ( Potenzgerade ). ^[4]

Характеристики

Геометрическая форма и ее положение

Пусть — радиус-векторы точек . Тогда определяющее уравнение радикальной прямой можно записать в виде: ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2}}$ ${\displaystyle P,M_{1},M_{2}}$

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0}$

Определение и расчет ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

Из правильного уравнения получаем

• Множество точек радикальной оси действительно является прямой и перпендикулярно прямой, проходящей через центры окружностей.

( — нормальный вектор к радикальной оси !) ${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$

Разделив уравнение на , получаем гессианскую нормальную форму . Подставив векторы положений центров, получаем расстояния центров до радикальной оси: ${\displaystyle 2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,

с . ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$

( может быть отрицательным, если не находится между .) ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

Если окружности пересекаются в двух точках, радикальная линия проходит через общие точки. Если они только касаются друг друга, радикальная линия является общей касательной.

Специальные позиции

Радикальная ось: вариации

• Радикальная ось двух пересекающихся окружностей является их общей секущей.

Радикальная ось двух соприкасающихся окружностей является их общей касательной.

Радикальная ось двух непересекающихся окружностей является общей секущей двух удобных равностепенных окружностей (см. ниже).

Ортогональные окружности

Точки касания касательных лежат на ортогональной окружности (зеленого цвета) ${\displaystyle P}$

• Для точки вне окружности и двух точек касания уравнение выполняется и лежит на окружности с центром и радиусом . Окружность пересекает ортогонально. Следовательно: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle |PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi _{i}(P)}}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Если — точка радикальной оси, то четыре точки лежат на окружности , которая пересекает данные окружности ортогонально . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

• Радикальная ось состоит из всех центров окружностей , пересекающих данные окружности ортогонально.

Система ортогональных окружностей

Описанный в предыдущем разделе метод построения пучка окружностей, пересекающих две заданные окружности ортогонально, можно распространить на построение двух ортогонально пересекающихся систем окружностей: ^{[5] [6]}

Пусть будут две отдельно лежащие окружности (как в предыдущем разделе), их центры и радиусы и их радикальная ось. Теперь все окружности будут определяться с центрами на прямой , которые вместе с прямой также являются радикальной осью. Если есть такая окружность, центр которой имеет расстояние до центра и радиус . Из результата в предыдущем разделе получается уравнение ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }}\quad }$, где зафиксированы. ${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$

Уравнение можно переписать так: ${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$.

Система ортогональных окружностей: построение

Если радиус задан, из этого уравнения можно найти расстояние до (фиксированной) радикальной оси нового центра. На диаграмме цвет новых кругов фиолетовый. Любой зеленый круг (см. диаграмму) имеет свой центр на радикальной оси и пересекает круги ортогонально и, следовательно, все новые круги (фиолетовые) тоже. Выбрав (красную) радикальную ось в качестве оси y, а линию в качестве оси x, два пучка кругов имеют уравнения: ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$

фиолетовый: ${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

зеленый: ${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

( это центр зеленого круга.) ${\displaystyle \;(0,y_{g})}$

Свойства:
а) Любые два зеленых круга пересекаются на оси x в точках , полюсах ортогональной системы окружностей. Это означает, что ось x является радикальной прямой зеленых кругов. б) Фиолетовые круги не имеют общих точек. Но, если рассматривать действительную плоскость как часть комплексной плоскости, то любые два фиолетовых круга пересекаются на оси y (их общей радикальной оси) в точках . ${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$
${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$

Параболическая ортогональная система

Коаксиальные круги: типы

Особые случаи:
а) В случае, если зеленые круги касаются друг друга в начале координат с осью x в качестве общей касательной, а фиолетовые круги имеют ось y в качестве общей касательной. Такая система кругов называется коаксиальными параболическими кругами (см. ниже). б) Сжимаясь к ее центру , т. е. , уравнения переходят в более простую форму и получается . ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$
${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}=0}$ ${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$

Вывод:
а) Для любого действительного числа пучок окружностей ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

обладает свойством: ось Y является радикальной осью . ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$

В случае, если окружности пересекаются в точках . ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$ ${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$

В случае, если у них нет общих точек. ${\displaystyle w<0}$

В случае, если они касаются в точке , а ось Y является их общей касательной. ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle (0,0)}$

б) Для любого действительного числа два пучка окружностей ${\displaystyle w}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

образуют систему ортогональных окружностей . Это означает: любые две окружности пересекаются ортогонально. ${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$

в) Из уравнений в б) получается представление без координат:

Ортогональная система окружностей к заданным полюсам ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Для данных точек , их середины и биссектрисы их отрезка справедливы два уравнения ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle g_{12}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$

с на , но не между , и на ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g_{12}}$

описать ортогональную систему окружностей, однозначно определяемую полюсами системы. ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Ведь нужно задать и оси системы. Система параболическая : ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$

с дальше и дальше . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Конструкция циркуля и линейки:

Ортогональная система окружностей: построение с помощью циркуля и линейки

Система ортогональных окружностей однозначно определяется своими полюсами : ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

1. Осями (радикальными осями) являются прямые и биссектрисы отрезков полюсов. ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$
2. Круги (зеленые на схеме) имеют центры на . Их можно легко нарисовать. Для точки радиус равен . ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$
3. Чтобы нарисовать окружность второго карандаша (на схеме синего цвета) с центром в , нужно определить радиус, применяя теорему Пифагора : (см. схему). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle r_{M}}$ ${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$

В случае, если оси должны быть выбраны дополнительно. Система параболическая и может быть легко нарисована. ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$

Коаксиальные круги

Определение и свойства:

Пусть будут две окружности и их степенные функции. Тогда для любого ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

есть уравнение окружности (см. ниже). Такая система окружностей называется коаксиальными окружностями , образованными окружностями . (В случае уравнения описывает радикальную ось .) ^{[7] [8]} ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Степенная функция равна ${\displaystyle c(\lambda )}$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$.

Нормированное уравнение (коэффициенты при ) имеет вид . ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$

Простой расчет показывает:

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$имеют ту же радикальную ось, что и . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Переходя к бесконечности, можно узнать, что являются членами системы соосных окружностей: . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$

(E): Если пересекаются в двух точках , то любая окружность содержит также , а прямая является их общей радикальной осью. Такая система называется эллиптической . (P): Если касаются в , то любая окружность касается и в точке . Общая касательная является их общей радикальной осью. Такая система называется параболической . (H): Если не имеют общих точек , то любая пара системы также . Радикальная ось любой пары окружностей является радикальной осью . Система называется гиперболической . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Подробно:

Вводя координаты такие, что

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$,

тогда ось Y является их радикальной осью (см. выше).

Вычисление степенной функции дает уравнение нормированной окружности: ${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

Завершение квадрата и подстановка (x-координата центра) дает центрированную форму уравнения ${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$.

В случае, если окружности имеют две точки ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

в общем и система соосных окружностей является эллиптической .

В случае, если окружности имеют общую точку и система является параболической . ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$ ${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$

В случае, если окружности не имеют общих точек и система является гиперболической . ${\displaystyle r_{1}<d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

Альтернативные уравнения:
1) В определяющем уравнении коаксиальной системы окружностей можно использовать и кратные степенных функций.
2) Уравнение одной из окружностей можно заменить уравнением искомой радикальной оси. Радикальную ось можно рассматривать как окружность с бесконечно большим радиусом. Например:

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$,

описывает все окружности, которые имеют с первой окружностью прямую в качестве радикальной оси. 3) Для того чтобы выразить равный статус двух окружностей, часто используется следующая форма: ${\displaystyle x=x_{2}}$

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

Однако в этом случае представление окружности по параметрам не является единственным . ${\displaystyle \mu ,\nu }$

Приложения:
а) Инверсии окружностей и преобразования Мёбиуса сохраняют углы и обобщенные окружности . Поэтому ортогональные системы окружностей играют существенную роль в исследованиях этих отображений. ^{[9] [10]}
б) В электромагнетизме коаксиальные окружности появляются как линии поля . ^[11]

Радикальный центр трех окружностей, построение радикальной оси

Радикальный центр трех окружностей
Зеленый круг пересекает три окружности ортогонально.

• Для трех окружностей , никакие две из которых не являются концентрическими, существует три радикальные оси . Если центры окружностей не лежат на одной прямой, радикальные оси пересекаются в общей точке , радикальном центре трех окружностей. Ортогональная окружность с центрами вокруг двух окружностей также ортогональна третьей окружности ( радикальной окружности ). ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ ${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Доказательство: радикальная ось содержит все точки, которые имеют одинаковое тангенциальное расстояние до окружностей . Точка пересечения и имеет одинаковое тангенциальное расстояние до всех трех окружностей. Следовательно, является точкой радикальной оси , также. ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle c_{i},c_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{31}}$

Это свойство позволяет построить радикальную ось двух непересекающихся окружностей с центрами : Нарисуем третью окружность с центром, не коллинеарным данным центрам, которая пересекает . Радикальные оси можно нарисовать. Их точка пересечения является радикальным центром трех окружностей и лежит на . Прямая, через которую проходит перпендикуляр, является радикальной осью . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle g_{13},g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

Дополнительный метод строительства:

Построение радикальной оси с кругами равной мощности. Это . ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$

Все точки, имеющие одинаковую мощность по отношению к данной окружности, лежат на окружности, концентрической с . Назовем ее равномощной окружностью . Это свойство можно использовать для дополнительного метода построения радикальной оси двух окружностей: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Для двух непересекающихся окружностей можно построить две равномощные окружности , которые имеют одинаковую мощность относительно (см. рисунок). Подробно: . Если мощность достаточно велика, окружности имеют две общие точки, которые лежат на радикальной оси . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

Отношение к биполярным координатам

В общем случае любые две непересекающиеся, неконцентрические окружности можно совместить с окружностями системы биполярных координат . В этом случае радикальная ось — это просто -ось этой системы координат. Каждая окружность на оси, проходящей через два фокуса системы координат, пересекает две окружности ортогонально. Максимальный набор окружностей, все из которых имеют центры на данной прямой и все пары которых имеют одну и ту же радикальную ось, называется пучком соосных окружностей . ${\displaystyle y}$

Радикальный центр в трилинейных координатах

Если окружности представлены в трилинейных координатах обычным образом, то их радикальный центр удобно задать в виде некоторого определителя. В частности, пусть X = x  :  y  :  z обозначает переменную точку в плоскости треугольника ABC со сторонами a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, и представим окружности следующим образом:

( dx + ey + fz )( ax + by + cz ) + g ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( hx + iy + jz )( ax + by + cz ) + k ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( lx + my + nz )( ax + by + cz ) + p ( ayz + bzx + cxy ) = 0

Тогда радикальный центр — это точка

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}$

Радикальная плоскость и гиперплоскость

Радикальная плоскость двух неконцентрических сфер в трех измерениях определяется аналогично: это геометрическое место точек, из которых касательные к двум сферам имеют одинаковую длину. ^[12] Тот факт, что это геометрическое место является плоскостью, следует из вращения в третьем измерении из того факта, что радикальная ось является прямой линией.

Такое же определение можно применить к гиперсферам в евклидовом пространстве любой размерности, задавая радикальную гиперплоскость двух неконцентрических гиперсфер.

Примечания

1. Мишель Шасль, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Брауншвейг, 1856, стр. 312
2. Ф. Фишер: Lehrbuch der analytische Geometry , Дармштадт, 1851 г., Verlag Ernst Kern, стр. 67
3. Х. Шварц: Die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene , Verlag HW Schmidt, Halle, 1858, p. 218
4. Якоб Штайнер: Einige geometrische Betrachtungen . В: Journal für die reine und angewandte Mathematik , Band 1, 1826, стр. 165
5. А. Шенфлис, Р. Курант: Einführung in die Analytische Geometry der Ebene und des Raumes , Springer-Verlag, 1931, стр. 113
6. К. Каратеодори: Funktionentheorie , Birkhäuser-Verlag, Базель, 1961, ISBN 978-3-7643-0064-7, стр. 46
7. Дэн Педоу: Круги: математический взгляд , Математическая ассоциация Америки, 2020, ISBN 9781470457327, стр. 16
8. Р. Лахлан: Элементарный трактат о современной чистой геометрии , MacMillan&Co, Нью-Йорк, 1893, стр. 200
9. Каратеодори: Funktionentheorie , с. 47.
10. Р. Зауэр: Ingenieur-Mathematik: Zweiter Band: Differentialgleichungen und Funktionentheorie , Springer-Verlag, 1962, ISBN 978-3-642-53232-0, стр. 105
11. Клеменс Шефер: Elektrodynamic und Optik , Verlag: De Gruyter, 1950, ISBN 978-3-11-230936-0, стр. 358.
12. См. онлайн-словарь Merriam–Webster.

Ссылки

• RA Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (переиздание издания 1929 года под ред. Houghton Mifflin). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.

Дальнейшее чтение

• C. Stanley Ogilvy (1990). Excursions in Geometry. Дувр. С. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• HSM Coxeter , SL Greitzer (1967). Geometry Revisited . Вашингтон, округ Колумбия : Математическая ассоциация Америки . стр. 31–36, 160–161. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Кларк Кимберлинг, «Центры треугольников и центральные треугольники», Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Радикальная линия". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Хордовая теорема". MathWorld .
• Анимация в Cut-the-knot