Развертываемая поверхность

Поверхность можно выровнять без искажений

Цилиндр является примером развертывающейся поверхности.

В математике развертывающаяся поверхность ( или торс : архаично) — это гладкая поверхность с нулевой гауссовой кривизной . То есть это поверхность, которую можно развернуть на плоскость без искажения (т. е. ее можно согнуть без растяжения или сжатия). И наоборот, это поверхность, которую можно получить путем преобразования плоскости (т. е. «складыванием», «сгибанием», «прокаткой», «резанием» и/или «склеиванием»). В трех измерениях все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми поверхностями (но не наоборот). В четырехмерном пространстве существуют развертывающиеся поверхности , которые ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ не являются линейчатыми. ^[1]

Огибающая однопараметрического семейства плоскостей называется развертывающейся поверхностью .

Подробности

Развертываемые поверхности, которые могут быть реализованы в трехмерном пространстве, включают в себя:

• Цилиндры и, в более общем смысле, «обобщенный» цилиндр; его поперечное сечение может быть любой гладкой кривой.
• Конусы и, в более общем смысле, конические поверхности ; от вершины
• Олоид и сферикон являются представителями особого семейства твердых тел , которые при качении по плоской поверхности развивают всю свою поверхность .
• Плоскости (тривиально); которые можно рассматривать как цилиндр, поперечное сечение которого представляет собой линию
• Касательные развертывающиеся поверхности, которые строятся путем продолжения касательных линий пространственной кривой.
• Тор имеет метрику , относительно которой он является развертываемым, которая может быть вложена в трехмерное пространство с помощью теоремы вложения Нэша ^[2] и имеет простое представление в четырех измерениях как декартово произведение двух окружностей: см. тор Клиффорда .

Формально, в математике, развертывающаяся поверхность — это поверхность с нулевой гауссовой кривизной . Одним из следствий этого является то, что все «развертываемые» поверхности, встроенные в трехмерное пространство, являются линейчатыми поверхностями (хотя гиперболоиды являются примерами линейчатых поверхностей, которые не являются развертываемыми). Из-за этого многие развертываемые поверхности можно визуализировать как поверхность, образованную перемещением прямой линии в пространстве. Например, конус образуется путем удержания одной конечной точки линии неподвижной при перемещении другой конечной точки по окружности .

Приложение

Сравнение касательной и секущей цилиндрической, конической и азимутальной картографических проекций со стандартными параллелями, показанными красным цветом

Развертываемые поверхности имеют ряд практических применений.

Развертываемые механизмы — это механизмы, которые соответствуют развертываемой поверхности и могут демонстрировать движение (развертывание) за пределами поверхности. ^{[3] [4]}

Многие картографические проекции подразумевают проекцию Земли на развертываемую поверхность, а затем «развертку» поверхности в область на плоскости.

Поскольку развертываемые поверхности могут быть созданы путем изгибания плоского листа, они также важны при изготовлении предметов из листового металла , картона и фанеры . Отрасль , которая широко использует развернутые поверхности, — это судостроение . ^[5]

Неразвертываемая поверхность

Большинство гладких поверхностей (и большинство поверхностей вообще) не являются развертывающимися поверхностями. Неразвертывающиеся поверхности по-разному называются имеющими « двойную кривизну », « двойную кривизну », « сложную кривизну », « ненулевую гауссову кривизну » и т. д.

Некоторые из наиболее часто используемых неразвертываемых поверхностей:

• Сферы не являются развертывающимися поверхностями ни в какой метрике , поскольку их нельзя развернуть на плоскость.
• Геликоид представляет собой линейчатую поверхность, но в отличие от линейчатых поверхностей, упомянутых выше, он не является развертывающейся поверхностью.
• Гиперболический параболоид и гиперболоид — это немного разные дважды линейчатые поверхности, но в отличие от упомянутых выше линейчатых поверхностей ни одна из них не является развертывающейся поверхностью.

Применение неразвертывающихся поверхностей

Многие сетчатые оболочки , натяжные конструкции и подобные им конструкции приобретают прочность за счет использования (любой) двоякоизогнутой формы.

Смотрите также

• Развитие (дифференциальная геометрия)
• Развертываемый ролик

Ссылки

1. Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
2. Боррелли, В.; Джабран, С.; Лазарус, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклое интегрирование», Труды Национальной академии наук , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , PMID  22523238 .
3. "Развиваемые механизмы | О разрабатываемых механизмах". compliantmechanisms . Получено 2019-02-14 .
4. Хауэлл, Ларри Л.; Лэнг, Роберт Дж.; Маглби, Спенсер П.; Циммерман, Трент К.; Нельсон, Тодд Г. (2019-02-13). «Развертываемые механизмы на развертываемых поверхностях». Science Robotics . 4 (27): eaau5171. doi : 10.1126/scirobotics.aau5171 . ISSN  2470-9476. PMID  33137737.
5. Нолан, Т.Дж. (1970), Автоматизированное проектирование развертывающихся поверхностей корпуса , Энн-Арбор: University Microfilms International

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Развертываемая поверхность». MathWorld .
• Примеры развертываемых поверхностей на сайте Rhino3DE